Tema 1. Mesura abstracta. Àlgebres, s-àlgebres i mesures Mesures completes. Anells, semianells i premesures. Premesures de Lebesgue-Stieltjes. Mesures exteriors. Conjunts mesurables respecte a una mesura exterior. Extensió d’una mesura. Teorema de Carathodory-Hahn. Teoremes d’aproximació. Mesures de Lebesgue-Stieltjes. Mesures reals i complexes. Variació total. Teorema de descomposició de Jordan i Hahn.

Tema 2. Integració respecte a una mesura. Funcions mesurables. Aproximació per funcions simples. Convergència c.p.p. (convergència quasi segura) i teorema d’Egoroff. Funcions integrables i la seua integral Propietats. Teoremes de convergència de Lebesgue. Equi-integrabilitat i teorema de convergència de Vitali. Integració respecte a mesures especials.

Tema 3. Producte de mesures. Mesurabilitat en el producte cartesià. La mesura producte. Teoremes de Fubini i de Tonelli. Compleció de la mesura producte. Aplicacions del teorema de Fubini.

Tema 4. Continuïtat absoluta. Mesures mútuament singulars. Mesures contínues i discretes: teorema de descomposició. Definició de mesura absolutament contínua respecte a una altra. Exemples. Teoremes de Radon-Nikod´ym i de descomposició de Lebesgue. Funcions de densitat: la derivada de Radon-Nikod´ym. Mesures absolutament contínues respecte de la mesura de Lebesgue en R. Diferenciació de mesures. Probabilitat condicional.

Kakutani.

El contingut del curs vol donar a conèixer a l’alumnat una introducció bàsica als conceptes claus de teoria de la mesura. Fonamentalment són aquests:

(1) El teorema d’extensió de Carathéodory-Hahn, que permet, per exemple, estendre qualsevol premesura definida solament sobre intervals a una única mesura completa.

(2) Les propietats bàsiques de la integral definida a partir d’una mesura, inclosos els essencials teoremes de convergència.

(3) El teorema de Fubini sobre mesures producte.

(4) El teorema de Radon-Nikod´ym, generalització del teorema fonamental del càlcul a mesures abstractes i, potser, el resultat clau en teoria de la mesura.

Així mateix es faran pràctiques corresponents sobre els temes indicats i algun altre del programa. Es vol que l’alumnat siga capaç d’alternar l’abstracció pròpia de la teoria de la mesura mitjançant la resolució de qüestions teòriques amb l’aplicació de les tècniques estudiades al càlcul d’integrals i mesures de conjunts.

(1) Ash, R. B.: Measure, integration and functional analysis. Academic Press., 1972. (TP)

(2) Aliprantis, Ch.; Burkinshaw, O.: Principles of Real Analysis. Academic Press. 1990. (T)

(3) Billingsley, P.: Probability and Measure John Wiley and Sons, 1986. (T)

(4) De Barra, G.: Measure Theory and Integration. Ellis Hoewood Ltd., 1981. (TP)

(5) Cohn, D. L.: Measure Theory. . Birkhauser, 1980. (P)

(6) Evans, L. C.: Gariepy, R. F. : Measure Theory and Fine Properties of Functions CRC Press Inc, 1992. (T)

(7) George, C.: Exercises et problemaes d’integration, Gauthier-Villars, Paris, 1980. (P)

(8) Halmos, P. R. : Measure Theory Springer, 1974. (T)

(9) Hewitt, E.: Stromberg, K. : Real and Abstract Analysis Springer, 1965. (T)

(10) Munroe, M.E.: Measure and Integration, Addison-Wesley , London, 1968. (TP)

(11) Rudin, W.: Analisis real y complex mac Graw-Hill., 1988. (TP)

(12) Stroock, D. W.: A Concise Introduction to the Theory of Integration . Birkhäuser, 1994. (T)

(13) Weir, A. J.: General Integration and Measure Cambridge Univ. Press, 1974. (T)

(14) Zaanen, A. C.: Integration North-Hollland, 1967. (TP)

Hi haurà un examen amb contingut teòric i pràctic de l’assignatura.