3. El significado real de la geometría de Lobatchevsky        En 1868 el italiano Eugenio Beltrami publicó Ensayo sobre la interpretación de la Geometría no euclídea, que proporcionó un modelo para la geometría no-euclidiana de Lobatchevsky dentro de la geometría euclídea 3-dimensional. Consideró una curva llamada tractriz (ver figura 5). Una de las propiedades de esta curva es que la longitud del segmento de tangente comprendido entre el punto de tangencia y el punto de corte con el eje OY es constante. El eje OY es una asíntota. Al girar la curva alrededor de su asíntota se engendra una superficie llamada seudoesfera, representada en la parte derecha de la figura 5.

FIGURA 5: Tractriz y seudoesfera

       Beltrami hizo notar que la geometría intrínseca de la seudoesfera coincide con la geometría sobre parte del plano de Lobatchevsky. De este modo, esta geometría no euclidiana tiene un perfecto significado real: no es más que una exposición abstracta de la geometría sobre la seudoesfera.

       Pero, como hemos mencionado con anterioridad, Beltrami sólo estableció una correspondencia entre la sudoesfera y parte del plano de Lobatchevsky. El problema de dar una interpretación real a todo el plano y el espacio quedaba sin solventarse. La solución fue dada más tarde por el matemático alemán Felix Christian Klein (1849-1925).

       Las ideas más generales del modelo que propuso Klein en 1870 para esta particular geometría son las siguientes: En un plano usual tomamos el interior de un círculo; un punto se considera como un punto; una recta, como una cuerda (excluyendo los extremos); un movimento se toma como una transformación que transforma el círculo en sí mismo y las cuerdas en cuerdas; la situación de los puntos (un punto está sobre una recta; un punto está entre otros dos) se considera con el sentido usual. La regla para medir longitudes y ángulos (y también áreas) se deduce de la forma en que se definen los movimientos; la igualdad de segmentos y ángulos (o de figuras arbitrarias) también se define, y esta misma definición es aplicables a la operación de transportar un segmento a lo largo de otro.

       Con todas estas condiciones, a cada teorema de la geometría de Lobatchevsky en el plano corresponde un hecho verdadero de la geometría de Euclides dento del círculo, y viceversa: todo hecho de este tipo se puede reinterpretar en forma de un teroema de la geometría de Lobatchevsky.

       Pero aún fue más lejos: diseñó un modelo para el espacio de esta geometría. Análogamente al caso del plano, consideró una el interior de una esfera (ver figura 6).

FIGURA 6: La Esfera de Klein

       Una recta se interpreta como una cuerda, un plano como un círculo cuya circunferencia esté sobre la esfera; pero la superficie de la esfera, y por tanto los puntos extremos de las cuerdas y las circunferencias de esos círculos, se excluyen; finalmente, un movimiento se define como una transformación de la esfera en sí misma que transforma cuerdas en cuerdas.

       Cuando se dio este modelo de la geometría de Lobatchevsky se estableció al mismo tiempo que su geometría tiene un significado real sencillo. La geometría de Lobatchevsky es válida porque se puede tomar como exposición concreta de la geometría en un círculo o en una esfera. Al mismo tiempo se probó su carácter no contradictorio: sus resultados no pueden llevar a contradicciones porque cada uno de ellos se puede trasladar al lenguaje de la geometría euclidiana ordinaria dentro del círculo (o una esfera si se trata de la geometría de Lobatchevsky en el espacio).