4. Geometría Elíptica

La historia de cómo la geometría de Lobatchevsky llegó a ser aceptada es compleja, y este trabajo no es lugar para entrar en detalles, pero anotaremos los acontecimientos principales. En 1866, tres años después de la muerte de Lobatchevsky, Hoüel publicó una traducción al francés del Geometrische Untersuchungen de Lobatchevsky junto con parte de la correspondencia de Gauss sobre geometría no-euclídea. Beltrami, en 1868, proporcionó una realización concreta de la geometría de Lobatchevsky. Weierstrass dio un seminario sobre la geometría de Lobatchevsky en 1870 al que acudió Klein y dos años más adelante, después de que Klein y Lie hubieran discutido estas nuevas generalizaciones de la geometría en París, Klein dio su visión general de la geometría como las propiedades invariantes bajo la acción de un grupo de transformaciones en su Erlanger Programm. Poincaré hizo otras dos contribuciones importantes a la geometría de Lobatchevsky en 1882 y 1887. Tal vez fueran las que finalmente marcaron la aceptación de las ideas de Lobatchevsky, que en su momento se verían como pasos vitales a la hora de liberar el pensamiento de los matemáticos para que la teoría de la relatividad tuviera un fundamento matemático natural.

Riemann Pero la geometría de Lobatchevsky-Bolyai no fue la única que revolucionó el campo de las matemáticas. Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866), que escribió su tesis doctoral bajo la supervisión de Gauss, dio una clase inaugural en la que reformuló todo el concepto de la geometría, que el veía como un espacio con la suficiente estructura adicional para poder medir cosas como la longitud. Esta lección no se publicó hasta 1868, dos años después de la muerte de Riemann, pero había de tener una profunda influencia en el desarrollo de las diferentes geometrías. Riemann trató brevemente una geometría 'esférica' en la que cada línea que pasaba por un punto P exterior a una recta AB se cruzaba con la recta AB. En esta geometría no existían las paralelas.

La geometría esférica fue estudiada por Menelao de Alejandría alrededor del año 100 d.C. y por los árabes alrededor del 1000. Su teorema más famoso (descubierto por Albert Girard, un matemático francés de principios del siglo XVII) afirma que los tres ángulos de un triángulo esférico (medidos en radianes) satisfacen la desigualdad A+B+C>π, y que el área de un triángulo es A+B+C-π. El paso gigantesco de extender esta geometría de dos a tres (o más) dimensiones lo dieron simultáneamente (en la segunda mitad del siglo XIX) Schläfli en Suiza y Bernhard Riemann en Alemania. Schläfli consideró el espacio esférico tridimensional como la "superficie" de la "esfera" en el espacio euclídeo cuatridimensional, es decir, la hipersuperficie en la que las cuatro coordenadas satisfacen la siguiente ecuación:

Felix Klein, al comenzar el siglo XX, fue el primero en descubrir como se podía remediar la extraña situación de la geometría esférica en la que dos líneas que pasen por un punto, al ser dos círculos mayores de una esfera, se vuelven a encontrar en un punto antipodal (o el punto de la superficie que está a la máxima distancia del primer punto). Se dio cuenta de que, al determinar cada punto un punto antipodal, nada se perdía y se ganaba mucho identificando abstractamente cada par de puntos antipodales; es decir, cambiando el significado del término "punto" para llamar punto a cada uno de esos pares. Otorgó el nombre de geometría elíptica a esta modificación de la geometría esférica, y el de geometría hiperbólica a la creada por Bolyai y Lobatchevsky.

4. Geometría Elíptica

Artículo escrito por Begoña Alarcón