5. Reflexión

FIGURA 7

La figura del margen izquierdo pretende hacer comprender el significado real de cada una de las geometrías expuestas con anterioridad. No hay nada más intuitivo que un triángulo para observar las diferencias que engloban estas teorías. Si el axioma de las paralelas de Euclides es equivalente a que los ángulos de un triángulo suman dos rectos (π radianes), sus hipótesis contrarias son que la suma de dichos ángulos son mayores o menores que dos rectos.

FIGURA 8

       La figura 8 nos muestra cómo se ha llegado a lo largo de tantos años a la construcción de nuevas geometrias igual de consistentes que la euclidiana. Las líneas que unen cada nombre indican una relación entre ambos. A saber: Saccheri fue el primero que supuso la hipótesis contraria al quinto postulado de Euclides. Tanto Lambert como Schweibart y su sobrino Taurinus leyeron la obra de Saccheri y se vieron influidos por su innovadora metodología. Gauss, que ya había leído publicaciones de sus tres predecesores, comienza a construir una geometría adicional y se convence de su trascendencia en el mundo real, en el sentido de que es totalmente concebible física y lógicamente. Gauss mantenía una estrecha relación con dos amigos suyos, W. Bolyai y M. Barlels, quienes eran padre y profesor en la Universidad de Kazan de J. Bolyai y Lobatchevsky respectivamente. Además, Gauss era tutor de la tesis doctoral de Riemann en la Universidad de Gotinga acerca de su geometría diferencial.

       Beltrami dio un modelo real de parte del plano de Lobatchevsky y Riemann estudió y organizó toda la geometría esférica al estilo de Lobatchevsky y Bolyai. Klein obtuvo una fundamentación física y teórica de ambas geometrías y fue quien les dio el nombre de geometría hiperbólica y elíptica.