data(golub,package="multtest")
sel = grep("Cyclin",golub.gnames[,2])
golub.red = golub[sel,1:2]
plot(golub.red,xlab="Primera muestra",ylab="Segunda muestra")
Componentes principales
2024-04-23
Componentes principales con dimensión 2
- Expresión de las dos primeras muestras de los datos golub para aquellos genes que contienen la expresión Cyclin.
- Centramos los datos: restamos a cada columna la media de la columna.
La idea de las componentes principales es considerar una combinación lineal de los valores originales.
Se pretende elegir un vector (de dimensión dos) \(a_{1} = (a_{11},a_{12})\) de modo que en lugar de
utilizar \(x_i\) consideremos (el resumen) \(u_i = a_{11} x_{i1} + a_{12} x_{i2}\).¿Qué \(a_1\) elegimos?
La idea es lograr que los valores \(u_i\) tengan la mayor variabilidad que se pueda con objeto de no perder información.
En concreto se elige \(a_1\) de modo que maximizamos \[ \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (u_i - \bar{u}) ^2. \]
prcomp
- Obtengamos las componentes principales.
- Los vectores directores de las líneas sobre las que proyectamos aparecen en la siguiente figura.
- Estos vectores son
- Mostrando las líneas sobre las que proyectamos (en azul) para obtener las dos componentes principales.
- Mostrando las líneas sobre las que proyectamos (en azul) para obtener las dos componentes principales y las proyecciones, esto es, la primera componente en verde.
- Y ahora consideremos la segunda componente principal.
- Los valores de estas proyecciones (o componentes principales) los obtenemos con
PC1 PC2
[1,] -2.50309193 -1.541823e-01
[2,] 0.01368602 -2.024163e-01
[3,] -2.38702381 3.714339e-03
[4,] 0.33489688 -6.847077e-05
[5,] 0.76608286 2.806154e-01
[6,] 0.27144878 2.899820e-02
[7,] 0.31169639 -2.876394e-01
[8,] 2.22052303 -8.232084e-02
[9,] -0.93221244 1.836866e-01
[10,] -0.39946389 -7.239549e-03
[11,] 0.08293509 3.191733e-01
[12,] 2.22052303 -8.232084e-02Criterios de selección del número de componentes
Uno puede ser la proporción total explicada. Fijar un nivel mínimo y quedarnos con el número de componentes necesario para superar este valor mínimo.
El segundo puede ser que una componente no puede tener una desviación estándar menor que una de las variables originales. Si hemos escalado cada variable original dividiendo por su desviación estándar entonces la desviación estándar de cada componente ha de ser mayor que uno.
Otro criterio puede ser ver en qué momento se produce un descenso de la desviación estándar muy notable. Quedarnos con las componentes previas.
Un resumen de las componentes nos puede indicar con cuántas nos quedamos.
Importance of components:
PC1 PC2 PC3 PC4 PC5 PC6 PC7
Standard deviation 5.0436 1.44073 1.11734 1.03505 0.85821 0.74399 0.72104
Proportion of Variance 0.6694 0.05462 0.03285 0.02819 0.01938 0.01457 0.01368
Cumulative Proportion 0.6694 0.72405 0.75691 0.78510 0.80448 0.81905 0.83273
PC8 PC9 PC10 PC11 PC12 PC13 PC14
Standard deviation 0.69232 0.63819 0.63630 0.56700 0.55263 0.53868 0.52011
Proportion of Variance 0.01261 0.01072 0.01065 0.00846 0.00804 0.00764 0.00712
Cumulative Proportion 0.84534 0.85606 0.86672 0.87518 0.88321 0.89085 0.89797
PC15 PC16 PC17 PC18 PC19 PC20 PC21
Standard deviation 0.49568 0.48402 0.47719 0.47068 0.45421 0.43795 0.43410
Proportion of Variance 0.00647 0.00617 0.00599 0.00583 0.00543 0.00505 0.00496
Cumulative Proportion 0.90443 0.91060 0.91659 0.92242 0.92785 0.93290 0.93786
PC22 PC23 PC24 PC25 PC26 PC27 PC28
Standard deviation 0.42475 0.41582 0.40718 0.40066 0.3948 0.38731 0.38417
Proportion of Variance 0.00475 0.00455 0.00436 0.00422 0.0041 0.00395 0.00388
Cumulative Proportion 0.94260 0.94715 0.95152 0.95574 0.9598 0.96379 0.96767
PC29 PC30 PC31 PC32 PC33 PC34 PC35
Standard deviation 0.37882 0.37124 0.36957 0.3596 0.3593 0.35276 0.34218
Proportion of Variance 0.00378 0.00363 0.00359 0.0034 0.0034 0.00327 0.00308
Cumulative Proportion 0.97145 0.97508 0.97867 0.9821 0.9855 0.98875 0.99183
PC36 PC37 PC38
Standard deviation 0.33228 0.32572 0.30667
Proportion of Variance 0.00291 0.00279 0.00247
Cumulative Proportion 0.99473 0.99753 1.00000- Si fijamos, por ejemplo un 80% de la variación total a explicar entonces debemos quedarnos con las cinco primeras componentes.
- Podemos representar, como es habitual, las dos primeras componentes.
Genes (características)
- Podemos realizar un análisis de componentes principales de los genes.
Importance of components:
PC1 PC2 PC3 PC4 PC5 PC6 PC7
Standard deviation 13.0934 10.17462 9.40357 7.9010 6.82616 6.62780 6.30435
Proportion of Variance 0.1645 0.09934 0.08485 0.0599 0.04471 0.04215 0.03814
Cumulative Proportion 0.1645 0.26385 0.34870 0.4086 0.45332 0.49547 0.53361
PC8 PC9 PC10 PC11 PC12 PC13 PC14
Standard deviation 5.83194 5.79413 5.15726 5.01893 4.90719 4.72354 4.50857
Proportion of Variance 0.03264 0.03222 0.02552 0.02417 0.02311 0.02141 0.01951
Cumulative Proportion 0.56625 0.59846 0.62398 0.64816 0.67126 0.69267 0.71218
PC15 PC16 PC17 PC18 PC19 PC20 PC21
Standard deviation 4.40036 4.34750 4.27398 4.12411 3.98196 3.94862 3.85795
Proportion of Variance 0.01858 0.01814 0.01753 0.01632 0.01522 0.01496 0.01428
Cumulative Proportion 0.73076 0.74890 0.76643 0.78275 0.79796 0.81292 0.82721
PC22 PC23 PC24 PC25 PC26 PC27 PC28
Standard deviation 3.77535 3.69767 3.64804 3.58436 3.51711 3.49260 3.44527
Proportion of Variance 0.01368 0.01312 0.01277 0.01233 0.01187 0.01171 0.01139
Cumulative Proportion 0.84088 0.85400 0.86677 0.87910 0.89097 0.90268 0.91407
PC29 PC30 PC31 PC32 PC33 PC34 PC35
Standard deviation 3.37281 3.35604 3.26862 3.26192 3.21319 3.10703 3.01784
Proportion of Variance 0.01092 0.01081 0.01025 0.01021 0.00991 0.00926 0.00874
Cumulative Proportion 0.92498 0.93579 0.94604 0.95625 0.96616 0.97543 0.98416
PC36 PC37 PC38
Standard deviation 2.95738 2.78502 5.815e-15
Proportion of Variance 0.00839 0.00744 0.000e+00
Cumulative Proportion 0.99256 1.00000 1.000e+00
Dos primeras componentes de las muestras
- Cuando realizamos un análisis de los genes sabemos que las observaciones están clasificadas (las muestras son de dos tipos de leucemia).
- La función plotPCA está preparada para mostrarnos si las componentes nos reproducen los grupos que sabemos que previamente tenemos.
- En la siguiente figura mostramos las dos primeras componentes pero diferenciando el tipo de muestra (según el tipo de leucemia).
Tipo
Tejido
