ESPERANZA,  OPERADOR ESPERANZA Y MOMENTOS

Esperanza de una variable aleatoria
Operador esperanza
Momentos
Operador varianza
Función generetriz de Momentos
Función característica

Teorema de Markov-Acotación de Chebyshev

 


ESPERANZA DE UNA VARIABLE ALEATORIA

La esperanza de una variable aleatoria se define como:

wpe3.jpg (8294 bytes)

 

La esperanza de la variable aleatoria coincide con el centro de gravedad de su distribución de probabilidad y se le puede considerar su promedio, de hecho es la media de la distribución.

E(x)=m= media de la distribución.


OPERADOR ESPERANZA

El concepto de esperanza puede generalizarse para cualquier función g(x) de la variable aleatoria x así tendríamos que 

wpe4.jpg (9747 bytes)

 

Propiedades:

  1. La esperanza de una constante es la propia constante
  2. La esperanza de una función lineal es la misma función lineal de la esperanza.La linealidad los operadores integral y sumatorio garantizan el cumplimiento de esta propiedad.

MOMENTOS DE LA DISTRIBUCIÓN

Análogamente a como ocurría en las distribuciones de frecuencias pueden definirse los momentos ordinarios y centrales de una distribución de probabilidad, en esta ocasión en función del operador esperanza:

Momento ordinario de orden r : wpe5.jpg (1157 bytes)

Momento central de orden r : wpe6.jpg (1457 bytes)

Entre los principales momentos de una distribución destacan la media, que es el momento  ordinario de orden 1 y la varianza  que es el momento central de segundo orden:

wpe7.jpg (2563 bytes)

Como en el caso de la estadística descriptiva la varianza es el principal indicador de dispersión de la distribución de probabilidad.


OPERADOR VARIANZA

Tambien la varianza puede generalizarse, como en el caso de la esperanza y así se define la varianza de una función g(x) de la variable aleatoria x como:

D2(g(x))= E[(g(x)-E(g(x)))2]

Sus principales propiedades son:

  1. La varianza de una función constante es cero
  2. La varianza de una función lineal g(x)= a + bx es : D2(a + bx )= b2.D2(x)