PREDICCIÓN DE UN VALOR EXTRAMUESTRAL.-PREDICCIÓN POR INTERVALO
Ya vimos que la predicción puntual de un valor de y extramuestral se llevaba a cabo utilizando como predictor el modelo estimado aplicado sobre los valores futuros de las variables explicativas.
De manera general podríamos expresarlo de la siguiente forma:
Donde x'0 es el vector fila formado por los valores futuros de las variables explicativas: x'0 = ( 1 x10 x20 . . . xk0 )
Este predictor es una transformación lineal del vector aleatorio b de los estimadores del vector de regresores b .Ademas la dimensión del predictor es 1, por lo que será una variable aleatoria Normal.
Ademas su media será: E(x'0 b)= x'0 E(b) =x'0 b esto es, el valor teórico esperado en el futuro para la variable y (el predictor es insesgado).
Por otro lado su varianza será:
Var(x'0b)=x'0 Var(b)x0 = s 2 x'0 (X'X)-1x0
Así pues la distribución del predictor es:
Distribución que depende del parámetro desconocido s .Este problema puede solventarse construyendo el estadístico
Que tendrá una distribución F de Snedecor con 1 y n-k-1 g.l..
Como tanto x'0 (X'X)-1x0 ; como x'0b ; como el predictor son escalares podemos expresar este estadístico como:
Y como la raiz cuadrada de una variable F1,n-k-1 es una variable t de Student con n-k-1 g.l., tendremos que:
A partir de este estadístico es sencillo construir un intervalo para la predicción esperada según el modelo, dado un nivel de confianza prefijado (1- a):
Donde ta/2 es el correspondiente valor
tabulado para n-k-1 g.l.
Es interesante ver cómo quedaría el intervalo de predicción en el caso de un M.L.S.:
Tras realizar las operaciones pertinentes acaba quedando un intervalo para el valor futuro de y (teórico según el modelo):
Donde ta/2 es el valor tabulado para n-2 grados de libertad.