DISTRIBUCIONES MUESTRALES PARA UNA POBLACIÓN CUALQUIERA
Si desconocemos la distribución de la población no podemos, evidentemente, conocer la distribución de la muestra genérica de tamaño n y ,en consecuencia, no podremos llegar a conocer la distribución de los estadísticos. Pero sí se podrá ,en cualquier caso, determinar los principales parámetros (esperanza y varianza) de las principales distribuciones muestrales(de estadísticos) en función de los parámetros de la distribución de la población ( media poblacional, varianza poblacional .)
DISTRIBUCIÓN DE LA MEDIA MUESTRAL
La esperanza de la media muestral coincide
con la media de la población, en definitiva ; la media de la media muestral es la
media de la población :
en efecto :
así : 
dado que para cualquier valor de i 
ya que 
pertenece a la población
tendríamos que 
En cuanto a la varianza de la media muestral ,
tendremos que si el muestreo utilizado es aleatorio simple se cumple que 
en efecto :
dado que en el muestreo aleatorio simple las observaciones o elementos son independientes tendremos covarianzas iguales a cero y dado que :
para todo i 
tendremos
evidentemente la desviación típica será
en el caso de que el muestreo que hayamos realizado no sea aleatorio simple y que sea irrestricto y por tanto se plantee que no hay reemplazamiento siendo la población finita la media de la media muestral no sufrirá variaciones , pero no así la varianza de la media muestral que se verá afectada por el "coeficiente corrector de poblaciones finitas" (C .C .P.F. ), o "coeficiente de exhaustividad" , ya conocido del estudio de la distribución hipergeométrica. Así la varianza de la media muestral quedaría :
siendo N el
tamaño de la población (finita) y el resto lo habitual
Dado que ya conocemos la media y la varianza de la media muestral , y dado que podríamos tomar la muestra genérica como una sucesión de variables aleatorias independientes de media y varianza conocida , aunque con distribución desconocida , y en aplicación del T.C.L. , tendremos que la ley de la media muestral sea cual sea la distribución poblacional viene dada por :
DISTRIBUCIÓN DE LA VARIANZA MUESTRAL
Al igual que la media muestral la varianza muestral tendrá media y varianza dado que se trata también de una variable aleatoria .
La media de la varianza muestral con M.A.S.
es :
la varianza muestral tiene de expresión 
si cambiamos de origen a la media de la población la varianza muestral no varía así :
aplicando
el operador esperanza tendremos :
=
=
=
dado que 
y también 
En cuanto a la varianza de la varianza muestral diremos que su expresión es la siguiente ,que admitimos sin demostrar que :
