6.2.1 Conceptos básicos

En general, en todos los procesos iterativos para resolver el sistema Ax=b se recurre a una cierta matriz Q, llamada matriz descomposición, escogida de tal forma que el problema original adopte la forma equivalente:

 

Qx = (Q-A)x+b (62)

La ecuación (62) sugiere un proceso iterativo que se concreta al escribir:

$$\begin{array}{lr} Qx^{(k)} = (Q-A)x^{(k-1)}+b & (k \geq 1) \end{array}$$ (63)

El vector inicial x⁽⁰⁾ puede ser arbitrario, aunque si se dispone de un buen candidato como solución éste es el que se debe emplear. La aproximación inicial que se adopta, a no ser que se disponga de una mejor, es la idénticamente nula $x_{1}=x_{2}=\cdots=x_{n}=0$. A partir de la ecuación (63) se puede calcular una sucesión de vectores x⁽¹⁾, x⁽²⁾, .... Nuestro objetivo es escoger una matriz Q de manera que:

• se pueda calcular fácilmente la sucesión [x^(k)].
• la sucesión [x^(k)] converja rápidamente a la solución.

Como en todo método iterativo, deberemos especificar un criterio de convergencia $\delta$ y un número máximo de iteraciones M, para asegurar que el proceso se detiene si no se alcanza la convergencia. En este caso, puesto que x es un vector, emplearemos dos criterios de convergencia que se deberán satisfacer simultáneamente:

1.

El módulo del vector diferencia, $\Vert x^{(k)}-x^{(k-1)}\Vert$, partido por el módulo del vector x, $\Vert x^{(k)}\Vert$ deberá ser menor que la convergencia deseada:

$$\mbox{ABS} \left( \frac{\Vert x^{(k)}-x^{(k-1)}\Vert}{\Vert x^{(k)}\Vert} \right) \leq \delta$$

2.

La diferencia relativa del mayor elemento en valor absoluto del vector x^(k), $x_{m}=\mbox{Máx}\{x_{i}\}$, deberá ser diez veces menor que $\delta$:

$$\mbox{ABS} \left( \frac{x_{m}^{(k)}-x_{m}^{(k-1)}}{x_{m}^{(k)}} \right) \leq \frac{\delta}{10}$$