6.2.2 Método de Richardson

El método de Richardson toma como matriz Q la matriz identidad (I). En este caso la ecuación (63) queda en la forma:

 

Ix^(k) = (I-A)x^(k-1)+b = x^(k-1)+r^(k-1) (64)

en donde r^(k-1) es el vector residual definido mediante r^(k-1)=b-Ax^(k-1).

La matriz identidad es aquella matriz diagonal cuyos elementos no nulos son 1, es decir:

$$\left\{ \begin{array}{ll} a_{ij} = 0 & \mbox{~si~~} i \neq j \\ a_{ij} = 1 & \mbox{~si~~} i = j \end{array} \right.$$

y cumple que

IA = A

para cualquier valor de A; es decir, es el elemento neutro del producto matricial. De acuerdo con esto, la ecuación (64) se puede escribir como:

x^(k) = x^(k-1) - Ax^(k-1) + b = x^(k-1) + r^(k-1)

en donde un elemento cualquiera del vector r^(k-1) vendrá dado por la expresión:

$$r_{i}^{(k-1)} = b_{i} - \sum_{i=1}^{n} a_{ij}x_{j}^{(k-1)}$$

En la figura (13) se muestra un algoritmo para ejecutar la iteración de Richardson. Este método recibe también el nombre de método de relajación o método de los residuos.

  

Figure: Implementación del algoritmo iterativo de Richardson.