MATEMÁTICAS

En el siglo III a.C. una colonia griega al sur de Italia, Thurii, se alió con Roma para defenderse de las tribus italianas vecinas. Al cabo de un tiempo,  Tarento, otra colonia griega, consideró insultante que sus compatriotas recurrieran a la ayuda de unos bárbaros para defenderse, así que capturaron una nave romana, mataron a su capitán, marcharon sobre Thurii y expulsaron a los romanos. Roma tenía entonces otros problemas, y decidió enviar un embajador y arreglar pacíficamente el incidente. Pero los Tarentinos encontraron al enviado particularmente "gracioso", especialmente por su forma de hablar griego. No se lo tomaron en serio, hasta el punto de que alguien entre la gente que observaba al bárbaro, tuvo a bien mear sobre su túnica. El embajador se marcho jurando que lavarían la mancha con sangre, y así el año  281 a.C. el senado romano declaró la guerra con la que Roma se anexionó el sur de Italia. No podemos saber qué les pareció tan hilarante a los griegos del lenguaje del embajador, pero no es difícil hacer ciertas conjeturas: el griego tenía sonidos de los que carecía el latín, por lo que es probable que sonara bastante palurdo oír llamar thetas a las zetas, por ejemplo, o chis (más probablemente kis) a las jis, mus a las mys y cosas parecidas. No pensemos ya lo que habría pasado si el pobre embajador hubiera confundido las fis con las sigmas, como hacen hoy más matemáticos de los que podría esperarse. No cuesta más de media hora aprenderse esto:
Tengamos presente que los ingleses suelen tratar bastante bien las consonantes extranjeras, pero parecen incapaces de no retorcer las vocales. Pensemos que ellos llaman pi a la pe y pai a la pi, así que, cuando ellos leen Theta (y dicen zita)  la zeta inicial está muy bien (no digamos, pues, teta) pero corrijamos el entuerto de la vocal y leamos zeta. No hablemos de la "función zeta de Riemann", sino que,  puesto que ellos dicen "dsita fancson" (más o menos), nos convendría decir "función dseta", que traducir no es lo mismo que repetir. ¿O NO?

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Es conocida la frase "Te ayudaré a recordar la cantidad", que al contarle las letras nos ayuda a recordar la cantidad e = 2,71828... Una frase para pi = 3,1415926535... es "Sol y Luna y Cielo proclaman al Divino autor del Mundo". Hay ejemplos más sofisticados, como este poema de Manuel Golmayo:

Soy y seré a todos definible;
mi nombre tengo que daros:
cociente diametral siempre inmedible
soy, de los redondos aros.

Nos da la aproximación pi = 3,1415926535897932384... con 20 decimales. Tengo una prueba (anónima, no recuerdo de dónde la saqué) relativamente simple (más algebraica que analítica) de la trascendencia de e y pi. Puedes bajártela desde aquí.

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Aprovecho este rincón para plantear un problema muy simple: determinar el criterio que ordena como sigue la sucesión de los primeros números naturales:
La solución cabe en dos palabras (cuatro si no queremos ser lacónicos).

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Esta "demostración" me la comunicó Oscar Blasco. Hemos de suponer que existe al menos una mujer con los ojos azules, lo cual es bastante razonable. Basta probar que si un conjunto de mujeres  contiene a una con los ojos azules, entonces todos sus miembros tienen los ojos azules, y luego aplicar esto al conjunto de todas las mujeres. Lo probaremos por inducción sobre el cardinal n del conjunto. Si n = 1 es trivial: un conjunto con una única mujer que contenga al menos una mujer con ojos azules, tiene a todos sus miembros con ojos azules. Supongámoslo cierto para conjuntos de n mujeres y consideremos un conjunto de n+1 mujeres, alguna de las cuales tiene los ojos azules. Quitemos una de ellas, pero dejando dentro una que tenga los ojos azules. Nos queda un conjunto de n mujeres y, por hipótesis de inducción, todos sus miembros tienen los ojos azules. Ahora añadamos la que hemos quitado y saquemos otra cualquiera (que tendrá los ojos azules). Volvemos a tener un conjunto con n mujeres, todas las cuales -salvo quizá una- tienen los ojos azules, luego de nuevo por hipótesis de inducción todas tienen los ojos azules. Es claro entonces que las n+1 mujeres del conjunto tienen los ojos azules.

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He aquí un encantador silogismo sacado de "El juego de la lógica", de Lewis Carroll. Su encanto radica en lo sutil de la falacia:

• Nadie que quiera tomar el tren y que no pueda coger un taxi y que no tenga tiempo suficiente para ir dando un paseo hasta la estación, puede tomarlo sin echar a correr.
• Este grupo de turistas quiere tomar el tren y no puede coger un taxi, pero les sobra tiempo para ir hasta la estación dando un paseo.
  Por consiguiente:
• Este grupo de turistas no necesita correr.
  

A los amigos cándidos -como dice Carroll- que lo crean válido, hay que preguntarles: ¿Y si les persigue un toro demente?

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Raymond Smullyan es un lógico autor de varios libros deliciosos como "¿Cómo se llama este libro?",  "¿La dama o el tigre?"  o, mi favorito, "5.000 años antes de Cristo y otras fantasías filosóficas". Éste es su silogismo favorito:


Personalmente,  la demostración más simpática que he encontrado en sus libros es esta prueba cartesiana de la existencia de Dios:

Dios tiene que existir, pues no iba a ser tan malo como para engañarme y hacerme creer que existe si en realidad no existiera.

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Veamos una curiosidad numérica. Los polinomios ciclotómicos son los polinomios irreducibles con coeficientes racionales que tienen por raíces a las raíces de la unidad, es decir, a los números complejos que elevados a un número natural dan 1. Puesto que las raíces de la unidad son raíces del polinomio xⁿ-1, los polinomios ciclotómicos se obtienen factorizando éstos. Por ejemplo, para n = 1, x-1 es ya el primer polinomio ciclotómico. Para n = 2, el polinomio x²-1 contiene al primer polinomio ciclotómico, y al quitárselo (dividiendo) queda x+1, que es el segundo polinomio ciclotómico. El polinomio x³-1 contiene al primer polinomio ciclotómico x-1, y al quitarlo queda x²+x+1, que es el tercer polinomio ciclotómico. A x⁴-1 hay que quitarle el primero x-1 y el segundo x+1. Al hacerlo obtenemos x²+1, que es el cuarto polinomio ciclotómico. En general se prueba que xⁿ-1 es el producto de los polinomios ciclotómicos de orden d, donde d recorre los divisores de n, por lo que hay que dividirlo entre todos los polinomios correspondientes a divisores estrictos de n para obtener el polinomio n-simo. Es fácil ir calculándolos. Los primeros polinomios ciclotómicos, así obtenidos, son

• p₁(x) =  x-1
  
• p₂(x) = x+1
• p₃(x) = x²+x+1
• p₄(x) = x²+1
• p₅(x) = x⁴+x³+x²+x+1
• p₆(x) = x²-x+1
  

Puede probarse que los polinomios ciclotómicos tienen sus coeficientes enteros (en principio, al dividir polinomios podrían aparecer coeficientes racionales), pero a la vista de los polinomios que van saliendo uno tiende a conjeturar que los coeficientes son siempre -1, 0, 1. Quien piense que la muestra que hemos dado es demasiado pequeña para conjeturar nada puede calcular cuarenta o cincuenta más, y se encontrará siempre con ceros, unos y menos unos. Sin embargo, la conjetura es falsa, pero para encontrar el primer contraejemplo nos hemos de ir hasta el centésimo quinto polinomio ciclotómico, que resulta ser


con dos flamantes doses (menos doses, en realidad). De hecho puede probarse que hay polinomios ciclotómicos con coeficientes arbitrariamente grandes en módulo. Tenemos así uno de los muchos ejemplos de lo arriesgado que es hacer una conjetura en teoría de números, aunque tengamos 104 evidencias empíricas.

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Un ejemplo más famoso de conjetura falsa es la de Fermat, que creyó que un  número de la forma 2ⁿ+1 es primo si y sólo si n es potencia de 2. La necesidad de la condición es fácil de probar. La conjetura consiste en la suficiencia, que se basa en los casos: