Geometría Kähler vs Geometría Simpléctica

La geometría algebraica compleja nos proporciona variedades (Kähler) con una estructura topológica muy rica y con estructuras geométricas de gran interés. Pero ¿es frecuente que una variedad diferenciable admita estructuras Kähler?

Hay diversas formas de debilitar la condición de ser Kähler. Una de las más naturales es eliminar la condición de estructura compleja integrable, lo que nos lleva a las variedades simplécticas (por otro lado, de gran relevancia en la mecánica). El estudio de la línea divisoria entre el mundo Kähler y el mundo simpléctico es muy sutil. Hay sorprendentes analogías entre uno y otro campo, que provienen de lo que se ha dado en llamar los métodos "duros": métodos analíticos de PDEs en variedades, tales como la teoría de Gromov-Witten, la teoría de Seiberg-Witten, las técnicas asintóticamente holomorfas. Por otro lado hay diferencias destacables, que permiten construir variedades simplécticas que no pueden ser Kähler, con lo que se denomina como métodos "blandos": métodos topológicos de construcción y uso de propiedades topológicas como la formalidad, la propiedad hard Lefschetz, o el grupo fundamental.