Efectúe si es posible :
Efectúe si es posible :
4.- Calcule el determinante de la matriz
5.- Si existe la inversa de A, obténgala
6.- Discuta y resuelva el sistema :
7.- Discuta y resuelva el sistema :
8.- Discuta y resuelva los siguientes sistemas:
a)
b)
SOLUCIONES:
b) B × A
Como B Î M3x2
y A Î M2x3 , es posible efectuar
el producto de la matriz de B por A, ya que el número de columnas
de la matriz que pre-multiplica, B, coincide con el número de filas
de la matriz que post-multiplica, A. El resultado será una matriz
de 3x3. Se multiplican mediante el producto escalar los vectores fila de
la matriz B por los vectores columna de la matriz A, colocando el escalar
resultante como el elemento de la matriz producto correspondiente a la
fila y columna multiplicadas. Es decir, el escalar resultante de multiplicar
la segunda fila de B por la tercera columna de A, será el elemento
a23 de la matriz B × A , (elemento
de tercero de la segunda fila de B × A).
2.-
a) A × B
Como A Î M2x3
y B ÎM3x4 ,
es posible efectuar el producto de la matriz de A por B, ya que el número
de columnas de la matriz que pre-multiplica, A, coincide con el número
de filas de la matriz que post-multiplica, B. El resultado será
una matriz de 2x4. Se multiplican mediante el producto escalar de los vectores
fila de la matriz A por los vectores columna de la matriz B, colocando
el escalar resultante como el elemento de la matriz producto correspondiente
a la fila y columna multiplicadas. Es decir, el escalar resultante de multiplicar
la segunda fila de A por la tercera columna de B, será el elemento
a23 de la matriz A × B , (elemento
de tercero de la segunda fila de A×B).
b) B × A no es posible calcularlo, ya que este producto no puede llevarse a cabo al no coincidir el número de columnas de la matriz que pre-multiplica con el número de filas de la matriz que post-multiplica. (BÎ M3x4, y AÎ M2x3)
3.- Para resolver el determinante de la
matriz A se puede emplear el método del desarrollo de un determinante
por los elementos de una línea (o columna).
El determinante de una matriz A es igual a la suma
de los productos de los elementos de una fila o columna por sus correspondientes
adjuntos. El adjunto del elemento aij de
una matriz cuadrada sería el determinante
Aij = (-1)i+j Dij
4.- Para resolver el determinante de la
matriz A se puede emplear el método del desarrollo de un determinante
por los elementos de una línea (o columna).
El determinante de una matriz A es igual a la suma
de los productos de los elementos de una fila o columna por sus correspondientes
adjuntos. El adjunto del elemento aij de
una matriz cuadrada sería el determinante
Aij = (-1)i+j Dij
5.- Para saber si la matriz A admite inversa se calcula el determinante de A, pues en el caso de valer 0, la matriz A no admitirá inversa.
La traspuesta de una matriz es una matriz que resulta al intercambiar las filas por las columnas de la matriz original. Así, la matriz traspuesta de A de este ejercicio es :
La matriz adjunta de una matriz está formada por los adjuntos de cada elemento de la matriz original. El adjunto del elemento aij de una matriz cuadrada sería el determinante
Aij = (-1)i+j Dij
6.- Discutir un sistema consiste en determinar si tiene o no solución, es decir, si es compatible o incompatible, y en el caso de que tenga solución, determinar si ésta es única (sist. compatible determinado) o si tiene infinitas soluciones (sist. compatible indeterminado). El Teorema de Rouché-Frobenius permite saber si el sistema tiene o no solución y, si la tiene, si es única o existen infinitas soluciones. El Teorema se basa en la comparación de los rangos de la matriz A (matriz de coeficientes del sistema de ecuaciones), y la matriz A* (matriz de coeficientes del sistema ampliada con el vector columna de términos independientes del mismo).
Teorema
Dado un sistema de ecuaciones lineales:
Ax = b
se tiene que si:
Como es una matriz de 3x4, el rango máximo que puede alcanzar esta matriz es de 3 (3 filas ó 3 columnas linealmente independientes). Tomando las tres primeras columnas (y tres primeras filas), por ejemplo, se construye un 'menor' de orden tres que va a ser distinto de cero, lo que indicará que esas tres columnas (o filas) son linealmente independientes (es decir, que el vector nulo de R3, (0,0,0) se expresa como combinación lineal de esos tres vectores de una única forma: con coeficientes nulos).
Por tanto, el rg(A) = 3.
La matriz ampliada será:
Como A* es una matriz de 3x5 , el rango de A* será como mucho 3, y como contiene a la matriz A, el rango será como mínimo el de la matriz A, 3. Por tanto, la matriz ampliada en este ejercicio tiene rg(A*)= 3. Como rg(A)=rg(A*)=3 , el sistema es un sistema compatible, pero como el número de incógnitas, n, es 4, (x1, x2, x3, x4), mayor que el rango, el sistema es compatible indeterminado.
Se puede resolver aplicando la Regla de Cramer, tras adaptar el sistema para tratarlo como si fuera uno de Cramer. Para esto se pasan (n- rg(A)) variables al segundo término, dándole, a partir de entonces, al segundo término el tratamiento de "término independiente" para aplicar la Regla de Cramer.
Como n=4 y rg(A)=3 hay que pasar una variable al segundo término, por ejemplo, x4 . De esta manera las otras tres variables tomarán valores en función de los que tome x4 . El sistema queda como sigue :
La nueva matriz de coeficientes y el nuevo vector de términos independientes a considerar son:
Aplicando la Regla de Cramer nos quedarán
los valores de x1, x2, x3
en
función de x4 .
El determinante de la matriz A ya había sido obtenido como menor de la matriz de coeficientes original y valía -8. El conjunto de puntos de R4 que son solución del sistema de ecuaciones planteado es el siguiente:
7.- Como ya se ha visto en el ejercicio anterior, discutir un sistema consiste en determinar si tiene o no solución, es decir, si es compatible o incompatible, y en el caso de que tenga solución, determinar si ésta es única (sist. compatible determinado) o si tiene infinitas soluciones (sist. compatible indeterminado). El Teorema de Rouché-Frobenius permite saber si el sistema tiene o no solución, y si la tiene si es única o existen infinitas soluciones. El Teorema se basa en la comparación de los rangos de la matriz A (matriz de coeficientes del sistema de ecuaciones), y la matriz A* (matriz de coeficientes del sistema ampliada con el vector columna de términos independientes del mismo).
La matriz de coeficientes de este ejercicio es
Como es una matriz de 3x4, el rango máximo que puede alcanzar esta matriz es de 3 (3 filas ó 3 columnas linealmente independientes). Tomando las tres primeras columnas (y tres primeras filas), por ejemplo, se construye un 'menor' de orden tres que va a ser distinto de cero, lo que indicará que esas tres columnas (o filas) son linealmente independientes.
Por tanto, el rg(A) = 3.
La matriz ampliada es:
Como A* es una matriz de 3x5 , el rango de A* será como mucho 3, y como contiene a la matriz A, el rango será como mínimo el de la matriz A, 3. Por tanto, la matriz ampliada en este ejercicio tiene rg(A*)= 3. Como rg(A)=rg(A*)=3 , el sistema es un sistema compatible, pero como el número de incógnitas, n, es 4, (x1, x2, x3, x4), mayor que el rango, el sistema es compatible indeterminado.
Se puede resolver aplicando la Regla de Cramer, tras adaptar el sistema para tratarlo como si fuera uno de Cramer como en el problema anterior. Como n=4 y rg(A)=3 hay que pasar una variable al segundo término, por ejemplo, x4 . De esta manera las otras tres variables tomarán valores en función de los que tome x4 . El sistema queda como sigue :
La nueva matriz de coeficientes y el nuevo vector de términos independientes a considerar son :
Aplicando la Regla de Cramer nos quedarán los valores de x1, x2, x3 en función de x4 .
El determinante de la matriz A ya había sido obtenido como menor de la matriz de coeficientes original y valía -11. El conjunto de puntos de R4 que son solución del sistema de ecuaciones planteado es el siguiente:
8.-
a)
La matriz de coeficientes de este ejercicio es
Como es una matriz de 3x3, el rango máximo que puede alcanzar esta matriz es de 3 (3 filas ó 3 columnas linealmente independientes). Calculando el determinante de la matriz se tiene que es distinto de cero, en concreto es igual a -10, lo que indica que esas tres columnas (o filas) son linealmente independientes.
La matriz ampliada es
Como máximo su rango será 3 al ser una matriz de 3x4, y como contiene a la matriz A, el rango será como mínimo el de la matriz A, 3. Por tanto, la matriz ampliada en este ejercicio tiene rg(A*)=3. Como rg(A)=rg(A*)=3 , el sistema es un sistema compatible, y como el número de incógnitas, n, es 3, (x1, x2, x3), igual que el rango, el sistema es compatible determinado.
Se puede resolver aplicando la Regla de Cramer. Matricialmente, al tratarse de un sistema de ecuaciones cuadrado, se tiene que
A x = b Þ x = A-1
b
b)
La matriz de coeficientes de este ejercicio es
Como es una matriz de 3x3, el rango máximo que puede alcanzar esta matriz es de 3 (3 filas o 3 columnas linealmente independientes). Calculando el determinante de la matriz se tiene que es nulo, puede verse que la suma de las dos primeras filas del determinante da como resultado la tercera, lo que indica que esas tres columnas (o filas) son linealmente dependientes.
Por tanto, el rg(A) < 3. En concreto el rg(A) = 2, tomando el menor formado con las dos primeras filas y dos primeras columnas, el determinante es 5.
La matriz ampliada
Como máximo su rango será 3 al ser una matriz de 3x4, y como contiene a la matriz A, el rango será como mínimo el de la matriz A, 2. Formando un determinante de orden 3 con las dos primeras columnas y la cuarta, se tiene que es distinto de cero, por tanto, la matriz ampliada en este ejercicio tiene rg(A*)= 3.
Como rg(A)=2 < rg(A*)=3 , el sistema es un sistema
incompatible, por lo que no tiene solución.
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© Juan Manuel Pérez-Salamero
González
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