BIENESTAR Y TAMAÑO DE LA POBLACIÓN

BIENESTAR Y TAMAÑO DE LA POBLACIÓN
(un modelo evolutivo con condiciones de contorno)
Rafael Pla López
profesor jubilado del Departamant de Matemàtica Aplicada de la Universitat de València

Introducción

Alejandro Pérez Carballo ha publicado en el Investigación y Ciencia de agosto de 2016 (páginas 88-90) un artículo titulado "¿Cómo comparar el bienestat de poblaciones diferentes?" y subtitulado "Sobre la imposibilidad de plasmar en una ecuación algunos de nuestros valores sociales y políticos más básicos", en el que cita el artículo de Gustaf Arrhenius, "An impossibility theorem for welfarist axiologies", en Economics and Philosphy nº2, págs.247-266, noviembre de 2000.

Ante ello vale la pena traer a colación la Primera Ley de Clarke, "Cuando un científico eminente pero anciano afirma que algo es posible, es casi seguro que tiene razón. Cuando afirma que algo es imposible, muy probablemente está equivocado" (https://es.wikipedia.org/wiki/Leyes_de_Clarke).

Ante la aparente imposibilidad de resolver un problema referido al mundo real, un camino adecuado es reformular sus términos y cambiar la estrategia para su resolución. En el problema descrito en el artículo de Pérez Carballo, una clara limitación es buscar la comparación a través de una única cantidad numérica, planteada además al margen de las condiciones iniciales y sin especificar las condiciones de contorno.

Modelo evolutivo

Una estrategia diferente puede ser la construcción de un modelo evolutivo a partir de una situación inicial, y definir unas condiciones de contorno como la magnitud mínima S de "bienestar" individual exigible para posibilitar una vida digna, y la cantidad máxima K de bienestar total (sumando el de todos los individuos) sostenible por el planeta o por el entorno de la población.

Podemos entonces establecer un "impuesto redistributivo" proporcional al exceso sobre S que se aplicará mientras haya individuos con un bienestar inferior a S, y un "impuesto ecológico" lineal que se aplicará cuando el bienestar total sea mayor que K. El primero se destinará a incrementar los bienestares inferiores a S en una cuantía proporcional a su déficit respecto a S, en tanto que el segundo se desvanecerá.

Por el contrario, cuando el bienestar total sea inferior a K habrá un "plustrabajo" destinado a aumentar el beneficio, proporcional a cada previo beneficio individual y cuya cuantía total será una fracción del déficit respecto a K.

Igualmente, se producirá una disminución de la población con bienestar individual inferior a S, en una proporción igual al cociente repecto a S del déficit respecto a S. Y un incremento por reproducción de la población cuyo beneficio individual sea superior a S, en una proporción igual al cociente respecto a S del exceso sobre S.

El máximo bienestar total sostenible K vendrá determinado por las condiciones naturales, pero el mínimo exigible S para una vida digna requiere una decisión política, y puede establecerse que valga como mínimo el 60% del bienestar medio.

Por lo que respecta a la disminución de la población, históricamente se ha producido a través de guerras, hambrunas y epidemias, pero también admite una interpretación más benevolente que la vincularía a un control de natalidad.

Para ejecutar el modelo evolutivo de forma paulatina tendremos que definir las tasas acumulativas para el total del impuesto redistributivo (r) y para el total del impuesto ecológico (e), en relación respectivamente al déficit total respecto a S y al exceso respecto a K, así como la tasa (p) del "plustrabajo" total en relación al déficit total respecto a K.

Asimismo, y en tanto que el bienestar individual y el tamaño de la población vengan expresados por números enteros, estableceremos que las variaciones en el bienestar se aproximen por exceso, y que las variaciones en el tamaño de la población se aproximen por defecto.

Las ecuaciones del modelo

Supondremos un conjunto inicial de valores enteros del bienestar individual, {b_i / i=1:m}, siendo n(b_i) el número de individuos con el bienestar b_i.

Entonces, el tamaño total de la población será N=SUMA(n(b_i) / i=1:m), y el bienestat total T=SUMA(b_i·n(b_i) / i=1:m).

En cada paso del proceso evolutivo, en primer lugar se modificarán los valores del bienestar individual b_i dependiendo de la relación entre el bienestar total T y la candidad de bienestar sostenible K.

Así, si T<K, el plustrabajo permitirá aumentar cada beneficio individual bi en el mínimo entero igual o superior a g·b_i, con g=p·(K-T)/T . De este modo, el incremento del bienestar total será SUMA(g·b_i·n(b_i) / i=1:m) = SUMA(b_i·n(b_i)·p·(K-T)/T / i=1:m) = SUMA(b_i·n(b_i) / i=1:m)·p·(K-T)/T =
= T·p·(K-T)/T = p·(K-T). Naturalmente, si fuera p=1 , el nuevo valor de T sería igual a K. Con p<1, T se aproximará paulatinamente a K.

Por el contrario, si T>K, habrá que detraer de cada beneficio individual b_i un "impuesto ecológico" igual al mínimo entero igual o superior a E/N, con
E=e·(T-K) . De este modo, el decremento del bienestar total será SUMA(n(b_i)·E/N / i=1:m) = SUMA(n(b_i) / i=1:m)·E/N = N·E/N = E. Naturalmente, si fuera e=1, el nuevo valor de T sería igual a K. Con e<1, T se aproximará paulatinamente a K.

A continuación, si hay valores de b_i inferiores al valor S exigido para una vida digna, es decir si D=SUMA((S-b_i)·n(b_i) / bi<S)>0, se aplicará a cada bienestar individual b_i>S un "impuesto redistributivo" igual al mínimo entero igual o superior a f·(b_i-S), donde f es el mínimo entre
r·D/SUMA((b_i-S)·n(b_i) / b_i>S) y 1.

En el primer caso, cada bienestar individual b_i<S se incrementará en una cantidad igual al mínimo entero igual o superior a r·(S-b_i) . Obsérvese que
SUMA(r·(S-b_i)·n(b_i) / bi<S) = r·SUMA((S-b_i)·n(b_i) / bi<S) = r·D = f·SUMA((bi-S)·n(bi) / b_i>S) = SUMA(f·(b_i-S)·n(b_i) / b_i>S) , por lo que el incremento total de bienestar individual inferior a S coincidirá, salvo las aproximaciones por el ajuste a números enteros, con el total del "impuesto redistributivo". Además, si r=1 cada bienestar individual inferior a S se haría igual a S. Con r<1, se aproximaría paulatinamente a S.

En el segundo caso, cada bienestar individual b_i<S se incrementará en una cantidad igual a h·(S-b_i), con
h= SUMA((S-b_i)·n(b_i) / bi>S)/SUMA((b_i-S)·n(b_i) / b_i<S) , de modo que
SUMA(h·(S-b_i)·n(b_i) / bi<S) = h·SUMA((b_i-S)·n(b_i) / b_i<S) = SUMA((S-b_i)·n(b_i) / bi>S) , igualándose así el incremento total de bienestar individual inferior a S, con el total del "impuesto redistributivo". En tal caso, sería cada bienestar individual superior a S el que se haría igual a S.

A continuación, se produciría una disminución del número de individuos n(b_i) para cada b_i<S , en una cantidad igual al máximo entero igual o inferior a
n(b_i)·(S-b_i)/S .

Igualmente, se produciría un aumento por reproducción del número de individuos n(b_i) para cada b_i>S , en una cantidad igual al máximo entero igual o inferior a n(b_i)·(b_i-S)/S .

A partir de este punto se recalcularía T=SUMA(b_i·n(b_i) / i=1:m) y se repetirían los pasos anteriores.

Ejecuciones del modelo

Para simplificar, posibilitando una evolución relativamente rápida, tomaremos r=e=p=0,5 .

Supondremos igualmente que K=250000 y S=50, y partiremos de una situación inicial con dos valores distintos de bienestar individual, de modo que n(50)=1000 y n(100)=2000.

Podemos comprobar que en tal caso T=50·1000+100·2000=250000=K, N=1000+2000=3000, siendo el 60% del bienestar medio
0,60·250000/3000=50=S. Entonces, la evolución del bienestar individual, el tamaño de la población y el bienestar total será la siguiente:

t=0	n(50)=1000	n(100)=2000	N=3000	T=250000
t=1	n(50)=1000	n(100)=4000	N=5000	T=450000
t=2	n(40)=800	n(77)=6160	N=6960	T=506320
t=3	n(36)=576	n(56)=6899	N=7475	T=407080
t=4	n(25)=288	n(45)=6210	N=6498	T=286650
t=5	n(22)=127	n(42)=5796	N=5923	T=246226
t=6	n(23)=59	n(43)=4985	N=5044	T=215712
t=7	n(25)=26	n(47)=4686	N=4887	T=237513
t=8	n(39)=21	n(50)=4686	N=4707	T=235119
t=9	n(46)=20	n(51)=4779	N=4799	T=244649
t=10	n(49)=20	n(51)=4874	N=4894	T=249554
t=11	n(50)=20	n(52)=5068	N=5088	T=264536
t=12	n(48)=20	n(50)=5068	N=5088	T=254360
t=13	n(47)=19	n(49)=4967	N=4986	T=244276
t=14	n(48)=19	n(50)=4967	N=4986	T=249262
t=15	n(50)=4986		N=4986	T=249300
t=16	n(51)=5085		N=5085	T=259335
t=17	n(50)=5085		N=5085	T=254250
t=18	n(49)=4984		N=4984	T=244216
t=19	n(50)=4984		N=4984	T=249200
t=20	n(51)=5083		N=5083	T=259233
t=21	n(50)=5083		N=5083	T=254150

Obervemos que en el primer paso, al no haber individuos con bienestar inferior a S y ser T=K, no hay "impuesto redistributivo" ni "impuesto ecológico", ni tampoco disminución de ninguna franja de la población.

Pero la reproducción de los individuos con bienestar superior a S hace que T supere a K, generándose así un "impuesto ecológico" que produce una disminución del bienestar individual.

En los pasos siguientes se produce redistribución a través del impuesto correspondiente, pero ésta no llega a compensar la disminución de bienestar por el "impuesto ecológico", llegándose así en t=4 a una situación desoladora en la que todos los individuos tienen un bienestar inferior al valor S=50 que permitiría una vida digna.

Pero a partir de entonces, la disminución de la población permite que T descienda por debajo de K, lo que posibilita un desarrollo por "plustrabajo" que permite una recuperación paulatina del bienestar individual.

Así se llega en t=15 a la unificación de la población con un bienestar individual igual al valor S=50 que permitiría una vida digna.

A partir de entonces se produce una oscilación en valores próximos a los que permitirían alcanzar un equilibrio, con n(50)=5000 y T=250000=K. La perduración de las oscilaciones es una consecuencia de las aproximaciones a valores enteros del bienestar individual, entre 49 y 51.

Hemos llegado a este resultado a partir de unas condiciones iniciales "razonables". Para probar la robustez del modelo, lo ejecutaremos ahora con condiciones iniciales disparatadas:

t=0	n(200000)=1	T=200000
t=1	n(225000)=4500	T=10125000000
t=2	n(112527)=10127430	T=1,13960931·10¹²
t=3	n(56263)=11395991881	T=6,411726912·10¹⁴
t=4	n(28131)=6,411612952·10¹²	T=1,80365084·10¹⁷
t=5	n(14065)=1,803586723·10¹⁵	T=2,536744726·10¹⁹
t=6	n(7032)=2,536564367·10¹⁷	T=1,783712063·10²¹
t=7	n(3516)=1,783712063·10¹⁹	T=6,271531613·10²²
t=8	n(1758)=6,271531614·10²⁰	T=1,102535258·10²⁴
t=9	n(879)=1,102535258·10²²	T=9,691284916·10²⁴
t=10	n(439)=9,680259565·10²²	T=4,249633949·10²⁵
t=11	n(219)=4,239953689·10²³	T=9,28549858·10²⁵
t=12	n(109)=9,243099042·10²³	T=1,007497796·10²⁶
t=13	n(54)=9,982546965·10²³	T=5,390575361·10²⁵
t=14	n(27)=5,390575361·10²³	T=1,455455347·10²⁵
t=15	n(13)=1,401549594·10²³	T=1,822014472·10²⁴
t=16	n(6)=1,681859513·10²²	T=1,009115708·10²³
t=17	n(3)=1,009115708·10²¹	T=3,027347124·10²¹
t=18	n(1)=2,018231416·10¹⁹	T=2,018231416·10¹⁹
t=19	n(0)=0	T=0

En este caso en t=19 se produce extinción por colapso ecológico.

t=0	n(1)=200000	T=200000
t=1	n(2)=8000	T=16000
t=2	n(17)=2720	T=46240
t=3	n(55)=2992	T=164560
t=4	n(70)=4188	T=293160
t=5	n(64)=5360	T=343040
t=6	n(55)=5896	T=324280
t=7	n(48)=5661	T=271728
t=8	n(46)=5209	T=239614
t=9	n(47)=5209	T=239614
t=10	n(50)=4897	T=230150
t=11	n(51)=4994	T=244850
t=12	n(50)=4994	T=249700

En cambio en el otro caso, a pesar de tener inicialmente el mismo bienestar total pero un bienestar medio mucho mayor (por lo que si se tomaran estos parámetros como referencia sería preterido respecto al otro), en pocos pasos llega mediante un desarrollo sostenible a valores "razonables", y partir de ellos se aproxima a la situación de equilibrio oscilando alrededor de ella, como en el primer caso.

Conclusión

El modelo permite aproximarse (y eventualmente alcanzar, salvo las aproximaciones) a una situación en la que todos los individuos podrían llevar una vida digna en condiciones de sostenibilidad. Naturalmente, para generalizar esta conclusión habría que realizar un estudio más a fondo, ejecutando el modelo con un mayor número de condiciones iniciales a partir de su implementación en un programa de ordenador.

Este enfoque no requiere una elección apriorística por un decisor individual entre distintas situaciones, sino que permite una evolución, a partir de una amplia gama de condiciones iniciales, y simulando la actuación de múltiples agentes, hacia una situación que puede considerarse positiva.

Podría entonces hacerse una valoración de las distintas condiciones iniciales dependiendo del número de pasos necesarios para llegar a una aproximación suficiente a la descrita situación de equilibrio. Rechazando, naturalmente, aquellas condiciones iniciales que condujeran a un colapso ecológico imposibilitando dicha aproximación.