3.3 Varianza y DT


La Varianza y la Desviación Típica tienen en cuenta todas las puntuaciones, y son definidas por las siguientes expresiones:

Motivación:

Consideremos los siguientes datos de los grupos A, B y C:

La diferencia de cada puntuación respeto de la Media (que es igual a 5 en los tres grupos) es igual a:

Cuanto más grande es la magnitud de las diferencias entre los datos, más grandes son los valores de las diferencias respecto de la Media. Una forma sencilla de resumir la información en cada una de las columnas de diferencias consiste en sumarlas, pero tiene el inconveniente de que las sumas de diferencias respecto de la Media siempre son igual a 0, por lo cual no indican si hay variación.

Para resolver este problema se eleva al cuadrado cada una de las diferencias y se obtiene su suma:

La suma de cuadrados de diferencias del grupo A, donde no hay variación, es igual a 0, la del grupo B, donde la variación es de baja magnitud, es igual a 2, y la del grupo C, donde la variación es de mayor magnitud que en el grupo B, toma mayor valor: la suma de cuadrados es un estadístico sensibletodos los datos del grupo. Dividiendo por N para hacer posible la comparación entre grupos de diferentes tamaños resulta la Varianza: a la variación entre

Puedes comprobar que la Varianza es igual a 0 en el grupo A (en que no hay variación) y toma valores positivos de magnitud más grande cuantas más y de mayor magnitud son las diferencias entre los datos dentro de cada grupo.

La Varianza mide la variación a partir de los cuadrados de las diferencias, lo cual tiene como consecuencia que está expresada en una escala de cuadrados. Para obtener una medida en la misma escala de la variable se obtiene la raíz cuadrada, y resulta la Desviación Típica: