La estimación por intervalos consiste en establecer el intervalo de valores donde es más probable se encuentre el parámetro. La obtención del intervalo se basa en las siguientes consideraciones:

a) Si conocemos la distribución muestral del estimador podemos obtener las probabilidades de ocurrencia de los estadísticos muestrales.

b) Si conociéramos el valor del parámetro poblacional, podríamos establecer la probabilidad de que el estimador se halle dentro de los intervalos de la distribución muestral.

c) El problema es que el parámetro poblacional es desconocido, y por ello el intervalo se establece alrededor del estimador. Si repetimos el muestreo un gran número de veces y definimos un intervalo alrededor de cada valor del estadístico muestral, el parámetro se sitúa dentro de cada intervalo en un porcentaje conocido de ocasiones. Este intervalo es denominado "intervalo de confianza".

 

Ejemplo

Se generan 100000 muestras aleatorias (n=25) de una población que sigue la distribución Normal, y resulta:

La distribución de las Medias muestrales aproxima al modelo Normal:

En consecuencia, el intervalo dentro del cual se halla el 95% de las Medias muestrales es

(Nota: Los valores +-1.96 que multiplican la Desviación Típica de la distribución muestral son los valores cuya función de distribución es igual a 0.975 y 0.025 respectivamente y se pueden obtener en las tablas de la distribución Normal estandarizada o de funciones en aplicaciones informáticas como Excel). Seguidamente generamos una muestra de la población y obtenemos su Media, que es igual a 4.5. Si establecemos el intervalo alrededor de la Media muestral, el parámetro poblacional (5.1) está incluido dentro de sus límites:

Ahora bien, la distancia de un punto A a un punto B es la misma que de B a A. Por esa razón, la distancia desde m a la Media muestral es la misma que va de la Media muestral a m. En consecuencia, si hacemos un muestreo con un número grande de muestras observamos que el 95% de las veces (aproximadamente) el valor de la Media de la población (m) se encuentra dentro del intervalo definido alrededor de cada uno de los valores de la Media muestral. El porcentaje de veces que el valor de m se halla dentro de alguno de los intervalos de confianza es del 95%, y es denominado nivel de confianza.

Si queremos establecer un intervalo de confianza en que el % de veces que m se halle dentro del intervalo sea igual al 99%, la expresión anterior es:

(Obtenemos el valor +-2.58 que multiplica la Desviación Típica de la distribución muestral en las tablas de la distribución Normal estandarizada o de funciones en aplicaciones informáticas como Excel), y son los valores cuya función de probabilidad es igual a 0.995 y 0.005 respectivamente).

 

Ejemplo

La siguiente imagen muestra la distribución de las Medias muestrales obtenidas de 100000 muestras aleatorias y los intervalos alrededor de cada una de las Medias obtenidas de diez de las muestras:

donde l_s y l_e simbolizan los límites superior e inferior del intervalo de confianza al 95%.

Nueve de los diez intervalos (salvo el definido alrededor de la Media muestral igual a 3.7) incluyen el valor del parámetro dentro sus límites.