El sólido rígido

Un cuerpo sólido real es deformable. Es decir, puede cambiar de forma o tamaño, por ejemplo debido a cambios de temperatura o tensiones aplicadas. En el estudio de la dinámica de un sólido el aspecto más importante es que esté compuesto por una cierta densidad de masa, siendo un aspecto secundario las pequeñas variaciones que pueda sufrir. Las variaciones de forma, por ejemplo, es un aspecto que trata la teoría de la elasticidad. Un sólido rígido por tanto es un sólido ideal no deformable. La característica o definición de un sólido no deformable sería la de un medio material en el que la distancia entre dos puntos cualesquiera permanece invariable. El primer aspecto de interés en el estudio del sólido rígido es el conocimiento del número de grados de libertad que presenta. El número de grados de libertad de una partícula es 3, el de dos partículas 6, el de N partículas 3N. Un sólido, compuesto por N partículas (imaginemos por ejemplo que estas partículas son átomos o aglomerados de átomos) tendría 3N grados de libertad. Pero por definición

$$\vert\vec{r}_i-\vec{r}_j\vert=\mbox{constante}\quad\quad \forall i,j\quad\quad \epsilon\quad\mbox{s\'{o}lido}\quad .$$ (7.1)

Veamos cómo restringe esta ligadura el número de grados de libertad del sólido. Empecemos por el caso más sencillo..

• 1 partícula $\to$ 3 grados de libertad.
• 2 partículas $\to$ 6 grados de libertad. Pero si estas dos partículas se encuentran en un sólido, están sometidas a la restricción:
  
  $$\vert\vec{r}_1-\vec{r}_2\vert=\mbox{constante}$$
  
  
  luego habría cinco grados de libertad.
• 3 partículas tendrían $3\times 3=9$ grados de libertad. Veamos las restricciones o ligaduras:
  
  $$\vert\vec{r}_1-\vec{r}_2\vert=\mbox{constante}$$
  
  
  
  
  $$\vert\vec{r}_1-\vec{r}_3\vert=\mbox{constante}$$
  
  
  
  
  $$\vert\vec{r}_2-\vec{r}_3\vert=\mbox{constante}$$
  
  
  luego el número de grados de libertad es 9-3=6.
• 4 partículas tendrán $4\times 3=12$ grados de libertad. Pero son constantes
  
  $$\left. \begin{array}{l} \vert\vec{r}_1-\vec{r}_2\vert, \ver... ...rt\vec{r}_3-\vec{r}_4\vert\end{array}\right\}\mbox{6 ligaduras}$$
  
  
  Sigue habiendo por tanto 6 grados de libertad.
• Veamos qué ocurre con 5 partículas y luego con N. $5\times 3=15$. Las siguientes distancias mútuas son constantes:
  
  $$\left. \begin{array}{l} \vert\vec{r}_1-\vec{r}_2\vert, \ver... ...c{r}_4-\vec{r}_5\vert \end{array} \right\}\mbox{10 ligaduras}$$
  
  
  Pero esta última no es una ligadura nueva ya que si la partícula 4 está  ligada a la 1, 2 y 3 y la 5 también, no es necesario añadir la restricción $\vert\vec{r}_4-\vec{r}_5\vert=$constante, es una condición superflua. Luego el número de grados de libertad sigue siendo 6.
• En el caso de N partículas, el argumento es el mismo que para el de cinco partículas. En general, el número de ligaduras es
  
  $$(N-1)+(N-2)+(N-3)=3N-6\quad,$$
  
  
  luego el número de grados de libertad es
  
  $$3N-(3N-6)=6\quad.$$
  
  
  Este es el máximo número de grados de libertad. Evidentemente si existe alguna ligadura adicional (por ejemplo, el sólido gira alrededor de un eje -dos puntos fijos $\Rightarrow$ dos grados menos de libertad-), el número de grados de libertad es menor que 6.