Un modelo
matemático sencillo de una situación de competencia
El ejemplo siguiente es uno de los casos más simples
posibles de una situación en la que dos personas tienen que
decidir qué estrategia siguen en una situación de
competencia:
Una pequeña población se abastece de las fresas que cultivan dos agricultores A y B. La demanda anual de fresas depende del precio de venta P, según la relación
D = 2000 - 100 P,
de modo que para precios mayores o iguales que P = 20 unidades monetarias por kilo no se vendería ninguna fresa y, en cualquier caso, el mercado nunca absorberá más de 2000 kilos de fresas al año. Los agricultores no venden directamente las fresas a los consumidores, sino que se las venden a un intermediario C, que se reserva un margen de beneficios de 10 unidades monetarias por kilo. Cada año, C se informa de las cantidades de fresas q1 y q2 que han producido respectivamente A y B, y calcula el precio p que les ofrece por ellos según la relación
q1 + q2 = 2000 - 100 (p+10),
de modo que, en definitiva, A y B venden sus fresas a un precio
p = 10 - (q1 + q2 ) / 100.
Por otra parte, cada kilo de fresas tiene un coste de producción de 4 unidades monetarias.
En estas condiciones, A y B han de decidir qué cantidades q1
y q2 de fresas produce
cada uno para conseguir con ellos el mayor beneficio posible. La
dificultad principal consiste en que el beneficio que obtiene cada uno
depende del precio de venta, el cual no depende únicamente de la
cantidad que decide producir, sino también de la cantidad que
produce el otro. Concretamente, el beneficio B1
que obtiene A y el beneficio B2 que obtiene B vienen
dados por las fórmulas
Observemos en particular que si la producción conjunta q1 + q2 alcanza los 600 kilos anuales, entonces el
precio de venta iguala las 4
unidades monetarias por kilo, que es el coste de producción,
luego, a partir de dicho nivel de producción total, la
producción deja de ser rentable.
Supongamos en primer lugar que A y B deciden adoptar una
estrategia cooperativa, es decir, que acuerdan producir ambos
anualmente
los mismos kilos de fresas para conseguir el mismo beneficio. La
gráfica muestra el beneficio B
que obtiene cada uno de ellos si ambos producen la misma
cantidad q de fresas. Vemos
que el máximo beneficio se alcanza cuando cada uno produce 150 kilos anuales, lo
cual hace que el precio de venta sea p
= 7 unidades monetarias y el beneficio que obtiene cada uno de
ellos es de B = 450 unidades
monetarias. Ésta es la mejor estrategia cooperativa que A y B
pueden adoptar. Ahora bien, veamos las posibilidades que tiene B si A
decide producir la cantidad convenida de 150 kilos anuales.
La gráfica muestra en azul el beneficio que consigue
A y en
rojo el beneficio que consigue B para cada producción posible q2
de B. Vemos de nuevo que, para una producción q2 = 150, ambos consiguen el mismo
beneficio de 450 unidades
monetarias, pero B puede conseguir un beneficio mayor, de hasta 506.25
unidades monetarias, si eleva su producción a q2 = 225 kilos de fresas. Ello hace
que el precio de venta baje hasta p
= 6.25 unidades monetarias. Con esta estrategia, B aumenta su
beneficio a expensas de A, pues el beneficio de A disminuye hasta 337.5 unidades monetarias.
Obviamente, la situación es simétrica: lo mismo sucede si
es B quien respeta la estrategia cooperativa y es A quien la incumple.
En definitiva, concluimos que la estrategia cooperativa de producir 150 kilos anuales sólo es la
mejor para uno bajo el supuesto de que el otro vaya a hacer lo mismo.
Cabe preguntarse entonces qué le conviene hacer a A
si no puede confiar en que B respetará ninguna clase de acuerdo
o, equivalentemente, cuál es la mejor estrategia no cooperativa
para A. La respuesta es que en tales circunstancias le conviene
producir 200 kilos anuales de
fresas. En efecto, la gráfica muestra los beneficios
correspondientes en función del nivel de producción que
decida fijar B (como antes, en azul el beneficio de A y en rojo el de
B). Vemos que B consigue el máximo beneficio cuando decide
producir también 200
kilos anuales. En tal caso, el precio de venta resulta ser p = 6 unidades monetarias y ambos
obtienen un beneficio de 400
unidades monetarias. Produciendo más, B podría conseguir
un beneficio mayor que el de A, pero sería a costa de ganar
menos que produciendo 200
kilos. Así pues, podemos decir que producir anualmente 200 kilos de fresas es la mejor
estrategia no cooperativa, en el sentido de que, si A anuncia a B su
intención de producir 200
kilos y le insta a hacer lo mismo, por una parte, B puede razonar que
le conviene hacerle caso, ya que con cualquier otra opción
ganará menos y, por otra parte, también puede razonar que
A no tiene motivos para tratar de engañarlo, ya que si B le hace
caso y termina produciendo 200
kilos, A se perjudicaría a sí mismo si hubiera decidido
producir otra cantidad. Como era
de esperar, el beneficio que proporciona la mejor estrategia no
cooperativa (400 unidades
monetarias) es inferior al beneficio que proporciona la mejor
estrategia cooperativa (450
unidades monetarias).
Para contrastar esta estrategia de producir 200 kilos con otras alternativas,
observamos que un sencillo cálculo demuestra que, en general, si
A fija su producción en q1 kilos, entonces B
consigue el máximo beneficio si fija su producción en
Ya hemos visto dos casos particulares: cuando q1 = 200, esta fórmula nos da q2 = 200, lo que confirma que q1 = 200 es la mejor estrategia no
cooperativa; mientras que si q1 = 150, entonces q2 = 225, que es, en efecto, la mejor
opción para B si está dispuesto a violar el acuerdo que
requiere la mejor estrategia cooperativa. La figura muestra en azul y
en rojo el beneficio respectivo de A y B para cada nivel de
producción q1 que fije A, supuesto
que B siga la estrategia de producir q2 = 300 - q1 / 2 kilos, y en verde el beneficio
que obtienen ambos si B opta por producir la misma cantidad que A.
Vemos así que cualquier estrategia de A consistente en producir
menos de 200 kilos anuales no
es conveniente (si no puede confiar en que B producirá la misma
cantidad) ya que B tiene siempre la posibilidad de escoger una
producción que le reporte mayores beneficios. Las estrategias
consistentes en producir más de 200 kilos son más delicadas,
pues le plantean un dilema a B: puede optar por la producción
que
le proporciona el mayor beneficio posible (con lo cual se resigna a
ganar menos que A) o bien puede optar por producir lo mismo que A, con
lo cual gana menos, pero se asegura de que A no ganará
más
que él.
Para verlo más claro, consideremos el caso concreto
en el que A decide fijar una producción anual de 250 kilos. La figura muestra que B
consigue su máximo beneficio produciendo 175 kilos, con lo que consigue 306.25 unidades monetarias,
mientras que el beneficio de A asciende a 437.5 unidades monetarias. La
alternativa es producir también 250 kilos, con lo que su beneficio
se reduce a 250 unidades
monetarias (pero el de A también). Produciendo más
aún puede lograr que sus beneficios superen a los de A, pero a
costa de ganar menos aún de lo que gana produciendo 250 kilos. Incluso, si B quiere
protestar por la política abusiva de A, tiene la opción
de producir 350 kilos, con lo
que fuerza que el precio de venta caiga hasta las 4 unidades monetarias por kilo (el
coste de producción) y así ninguno de los dos gana nada.
La situación se vuelve más drástica si
A decide producir 300 kilos o
más, pues en dicho caso la única forma que tiene B de
asegurarse de que A no gane más que él es forzar a que
ninguno de los dos gane nada. Así, en este caso el "juego" es
equivalente al de dos conductores que dirigen sus coches uno contra el
otro a gran velocidad: si ninguno cede y se aparta, chocan y los dos
pierden la vida, mientras que si uno se aparta, salva su vida, pero, al
mismo tiempo, salva la vida de su oponente y además le hace
ganar el juego.
En suma: las estrategias consistentes en producir más de 200 kilos son arriesgadas, porque
obligan a B a elegir entre aceptar un desequilibrio desfavorable o
forzar un equilibrio perjudicial para ambos. En particular, si ambos
adoptan independientemente una estrategia de este tipo, ambos resultan
perjudicados. En cambio, las estrategias consistentes en producir menos
de 200 kilos permiten a B
elegir entre un desequilibrio favorable para él (y desfavorable
para A) o un equilibrio beneficioso para ambos. Por consiguiente,
sólo son aconsejables como estrategias cooperativas, es decir,
cuando A puede confiar en que B optará por respetar el
equilibrio y, en ese caso, la mejor estrategia es producir 150 kilos cada uno. Esto fuerza una
subida de los precios que beneficia a los dos productores (en
detrimento de los consumidores y del intermediario). La estrategia de
producir 200 kilos es la
única con la
cual la mejor estrategia para B es mantener el equilibrio, y por ello
es la mejor estrategia no cooperativa.
La única forma en que la estrategia cooperativa de producir 150 kilos anuales puede asumirse
con garantías es que A y B firmen un contrato que obligue a
cualquiera que incumpla el pacto a indemnizar al otro con una multa de
(al menos) 112.5 unidades monetarias, pues, de este modo, si A respeta
el pacto y B lo incumple, lo máximo que puede llegar a ganar
B son 506.25 unidades
monetarias, mientras que así A ganaría 337.5. Si entonces B se ve obligado
a pagarle a A la multa establecida, su beneficio se reduciría a
393.75 unidades monetarias, mientras que los beneficios de A
volverían a ser las 450
unidades monetarias que habría ganado si B hubiera respetado el
pacto.