FRACTALES
 

PROGRAMA

Parte I: Fundamentos

1. Fractales clásicos.
1.1 Repaso de los prerrequisitos matemáticos necesarios.
La medida de los conjuntos. Cardinalidad, numerabilidad. Teoría de la medida
 
1.2 Ejemplos de los fractales de construcción recursiva.
El conjunto de Cantor. Propiedades. Dimensión de apariencia. La curva de Koch.
Las curvas de Penao y de Hilbert. La función de Weierstrass. Los conjuntos de Sierpinski.
2. Medida y dimensión de Hausdorff.
Medida de Hausdorff. Dimensión de Hausdorff DH. Propiedades. Cálculo de la dimensión de Hausdorff de fractales clásicos. Conjunto de Besicovitch.

3. Otras dimensiones y medidas multifractales.
Dimensión por recuento de cajas DC. Dimensión de información. Dimensión de crecimiento de masa. Dimensión de correlación. Medidas multifractales y dimensiones de Rényi. Multifractal multiplicativo.

Parte II: Aplicaciones

4. Transformaciones de espacios métricos. Sistemas de funciones iteradas (SFI).
Translaciones, giros, simetrías y homotecias. Aplicaciones contractivas. Sistemas de funciones iteradas. Aplicación a los fractales clásicos. El espacio de los fractales H (Rn). Métrico de Hausdorff. Atractores de SFI. El teorema de Collage.

5. Iteración de funciones complejas: los conjuntos de Julia y de Mandelbrot.
La dinámica de la aplicación zn+1 = zn2 + c. “Evadidos y prisioneros”. Conjuntos de Julia para la familia cuadrática. Envolturas. Los conjuntos de Mandelbrot. Dominios de atracción en el método de Newton.

PRÀCTIQUES DE FRACTALS
 

1. Autoapariencia, el juego del caos y los autómatas celulares.
2. Cálculo de dimensiones en fractales matemáticos, atractores estraños y fractales naturales (costas, nubes, agregados, distribución de galaxias).
3. Procesos de iteración caóticos. Iteración gráfica. Atractores. Sensibilidad a las condiciones iniciales. Estudio de la aplicación logística. El diagrama de Feigenbaum. Esponentes de Lyapunov. Utilización del programa Phaser
4. El juego del caos. Codificación de imágenes mediante SFI utilizando el programa Fractal Object. Editor (FOE).
5. Iteraciones de funciones complejas. Programación y estudio detallado de los conjuntos de Mandelbrot y de Julia. Manejo del programa Fractint.

BIBLIOGRAFIA

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* VICSEK, T. Fractal Growth Phenomena, World Scientific, Singapore, 1989.
 

Evaluación

Módulo teórico: examen escrito.
Módulo práctico: examen escrito más ejercicios y trabajos propuestos en clase.