FRACTALS (2001-2002)
 

PROGRAMA

Part I: Fonaments

1. Fractals clàssics.
1.1 Repàs dels prerequisits matemàtics necessaris.
La mesura dels conjunts. Cardinalitat, numerabilitat. Teoria de la mesura
 
1.2  Exemples dels fractals de construcció recursiva.
El conjunt de Cantor. Propietats. Dimensió de semblança. La corba de Koch. Les corbes de Penao i de Hilbert. La funció de Weierstrass. Els conjunts de Sierpinski.

2. Mesura i dimensió de Hausdorff.
Mesura de Hausdorff. Dimensió de Hausdorff DH. Propietats. Càlcul de la dimensió de Hausdorff de fractals clàssics. Conjunt de Besicovitch.

3. Altres dimensions i mesures multifractals.
Dimensió per recompte de caixes DC. Dimensió d’informació. Dimensió de creixement de massa. Dimensió de correlació.Mesures multifractals i dimensions de Rényi. Multifractal multiplicatiu.

Part II: Aplicacions

4. Transformacions d’espais mètrics. Sistemes de funcions iterades (SFI).
Translacions, girs, simetries i homotècies. Aplicacions contractives. Sistemes de funcions iterades. Aplicació als fractals clàssics. L’espai dels fractals H (Rn). Mètric de Hausdorff. Atractors de SFI. El teorema de Collage.

5. Iteració de funcions complexes: els conjunts de Julia i de Mandelbrot.
La dinàmica de l’aplicació zn+1 = zn2 + c. “Evadits i presoners”. Conjunts de Julia per a la família quadràtica. Embolcalls. Els conjunt de Mandelbrot. Dominis d’atracció en el mètode de Newton.
 
 

PRÀCTIQUES DE FRACTALS
 

1. Autosemblança, el joc del caos i els autòmats cel·lulars.

2. Càlcul de dimensions en fractals matemàtics, atractors estranys i fractals
 naturals (costes, núvols, agregats, distribució de galàxies).

3. Processos d’iteració caòtics. Iteració gràfica. Atractors. Sensibilitat a les
 condicions inicials. Estudi de l’aplicació logística. El diagrama de Feigenbaum.
 Exponents de Lyapunov. Utilització del programa Phaser.

4. El joc del caos. Codificació d’imatges mitjançant SFI utilitzant el programa Fractal Object Editor (FOE).

5. Iteracions de funcions complexes. Programació i estudi detallat dels conjunts de Mandelbrot i de Julia. Maneig del programa Fractint.
 
 

BIBLIOGRAFIA

*ADDISON, P.S., Fractals and Chaos. An illustrated course, IoP, Londos, 1997

* BARNSLEY, M. F., Fractals Everywhere, Academic Press, London, 1988.

* BUNDE, A., & HAVLIN, S., (ed), Fractals and Disordered Systems, Springer-Verlag, Berlin, 1991.

* BUNDE, A., & HAVLIN, S., (ed), Fractals in Science, Springer-Verlag, Berlin, 1994.

* DE GUZMAN, M., MARTÍN, M. A., MORAN, M., REYES, M. Estructuras fractales y sus aplicaciones, Labor, Barcelona, 1993.

* DEVANEY, R. L. & KEEN, L. Chaos and Fractals. The Mathematics Behind the Computers Graphics, AMS, 1989.

* EDGAR, G. A., Measure, Topology and Fractal Geometry, Springer-Verlag, New York, 1990.

* FALCONER,K. J., The Geometry of Fractal Sets, Cambridge University Press,
 Cambridge, 1985.

* FALCONER, K.J., Fractal Geometry. Mathematical foundations and Applications, John Whiley & Sons, Chichester, 1990.

* FALCONER, K. J., Techniques in Fractal Geometry., John Wiley & Sons, Chichester, 1997.

* FEDER, J. Fractals, Plenum press, New York, 1988.

* HECK, A. & PERDANG, J. M. Applying Fractals in Astronomy, Springer-Verlag, Berlin, 1991.

* KORVIN, G. Fractal Models in the Earth Science, Elsevier, Amsterdam, 1992.

* MANDELBROT, B. B. The Fractal Geometry of Nature, W.H. Freeman & Company, New York, 1982.

* PEITGEN, H.O., & RICHTER, P.H. The Beauty of Fractals, Springer-Verlag, Berlin, 1986.

* PEITGEN, H.-O., D. & SAUPE, (ed), The Science of Fractal Images, Springer-Verlag, New York, 1988.

* PEITGEN, H.-O., JÜRGENS, H. & SAUPE, D. Fractals for the Classroom, Vol. I-II Springer-Verlag, New York, 1992.

* PEITGEN, H.-O., JÜRGENS, H., SAUPE, D., MATELTSKY, E. M., PERCIANTE, T & YUNKER, L. E. Fractals for the Classroom (Strategic Activities). Vol. I-II., Springer-Verlag, New York, 1992.

* SCHUSTER, H. G. Deterministic Chaos, VCH; Weinheim, 1989.

* STAUFFER, D. & STANLEY, H.E. From Newton to Mandelbrot. A Primer in Theoretical Physics, Spinger-Verlag, Berlin, 1991.

* TAKAYASU, H. Fractals in the Physical Sciences, Manchester University Press,  Manchester, 1989.

* VICSEK, T. Fractal Growth Phenomena, World Scientific, Singapore, 1989.
 

Avaluació

Mòdul teòric: examen escrit.
Mòdul pràctic: examen escrit més exercicis i treballs proposats a classe.