Classificació de paperetes

SISTEMES ELECTORALS OBERTS PROPORCIONALS
PER CLASSIFICACIÓ DE PAPERETES
Rafael Pla López
Departament de Matemàtica Aplicada
Universitat de València

En general, el métode de classificació de paperetes per a obtenir resultats proporcionals amb llista oberta consisteix en fer muntons i submuntons de paperetes que voten als mateixos candidats fins a l'ordre m. Els llocs s'assignen prioritàriament als candidats dels muntons o submuntons les grandàries dels quals superen la corresponent proporció de garantia de la seua obtenció, i secundàriament sumant les puntuacions dels candidats en diferents muntons o submuntons.

En el cas més general, la proporció de garantia serà

p > f(m,r)/g(n,r) on p = x/N essent
                x = número de vots o grandària del muntó o submuntó de paperetes
                N= número total de paperetes vàlides amb vots a candidats
                m= número d'ordre del candidat en la papereta
                n= número de llocs a distribuir o número d'ordre del lloc a assignar
                r= número de candidatures virtuals (número de muntons que obtenen lloc)

La condició de garantia pot expressar-se també així:

x/f(m,r) > N/g(n,r) En aquesta expressió 1/f(m,r) seria el pes assignat a un vot en la posició m amb r candidatures (x/f(m,r) seria la puntuació corresponent al candidat que ocupa la posició m en un determinat muntó o submuntó). Per la seua banda, q = N/g(n,r) seria la quota repartidora per a n llocs (o el lloc d'ordre n) amb r candidatures.

És essencial per als conceptos de pes i quota repartidora que el pes no depenga del número n de llocs i que la quota repartidora no depenga del número m d'ordre en la papereta.

Naturalment, la condició de garantia no es modifica si el pes i la quota repartidora es multipliquen o divideixen per un mateix número constant en relació a m i n (encara que puga dependre de r). En particular, podriem normalitzar els pesos requerint que el pes per a la primera posició m=1 fora igual a la unitat. A tal efecte, prendrem els denominadors dels pesos normalitzats com

f '(m,r) = f(m,r)/f(1,r) i les corresponents quotes repartidores com q' = N/g'(n,r) = N f(1,r)/g(n,r) La normalització de pesos i quotes repartidores permet una major claredat conceptuals, però a efectes pràctics de càlcul pot ser preferible utilitzar denominadors de quotes repartidores i pesos, f(m,r) i g(n,r), que no estiguen normalitzats però que siguen enters.

Assenyalem per altra banda que la garantia de proporcionalitat ve donada per la prioritat de la puntuació en cada muntó o submuntó, i que aquesta, que depen de la grandària del montó o submuntó i del pes en funció del número d'ordre del candidat en el mateix, és la que determina prioritàriament la prelació entre els candidats. La funció de la quota repartidora és, per una banda, evitar que s'assignen més llocs dels existents (el que es garanteix precisament és que el número de candidats que superen la quota repartidora no pot ser superior al número de llocs); i per altra banda posar un límit a partir del qual es poden tenir en compte els vots creuats, en cas que el número de candidats que superen la quota repartidora siga inferior al número de llocs. Garantida la proporcionalitat a les candidatures virtuals per l'assignació de llocs als que la superaven, per a la resta el creuament de vots ja no pot danyar la proporcionalitat.

Ara bé, si el sistema s'utilitza ja no per a distribuir simplement els llocs, sinó per a ordenar-los, els llocs s'assignen d'ú en ú, de manera que no hi ha perill d'assignar més llocs dels existents. En aquestes condicions, el paper de la quota repartidora és menys important: es podrien prendre sense perill quotes repartidores més baixes de les determinades per la condició de garantia, o fins i tot prescindir de la quota repartidora. En aquest cas, simplement s'assignaria successivament cada lloc al candidat que tinguera la major puntuació en algun muntó o submuntó, i mai es tindrien en compte els vots creuats. Aquesta opció, tanmateix, minimitza les implicacions del vot en llista oberta, per tal com solament es tenen en compte els vots que segueixen determinades ordenacions.

Per altra banda, hi ha diferents opcions per a considerar els vots creuats, en funció del número de candidats que es consideren en cada papereta després del darrer candidat que haja obtés un lloc. Podem anomenar a aquest número profunditat del sistema de classificació de paperetes. Així, parlariem de profunditat zero (0) si s'assignen els llocs d'ú en ú fins a esgotar-los, sense utilitzar cap quota repartidora. Parlariem de profunditat ú (1) si solament es considera el candidat següent a aquell que haja obtés un lloc (o el primer d'un muntó). Parlariem de profunditat dos (2) si es consideren els dos següents. I podriem parlar de profunditat potencialment infinita (¥) o il·limitada si es consideren tots.

És clar que un sistema de classificació de paperetes amb profunditat infinita té en compte en principi tots els vots emesos, però és també el que porta a un escrutini més costós. En l'extrem oposat, un sistema amb profunditat zero és el que té un escrutini més senzill, però pot deixar de tenir en compte molts vots. En molts casos caldrà un compromís entre aquests extrems, com el que suposa un sistema amb profunditat ú, que pot tenir en compte alguns vots creuats amb un escrutini relativament senzill.

Anem a examinar ara el resultat d'utilitzar la classificació de paperetes en llista oberta amb diferents sistemes electorals.

Així, en cas de sistemes de quocient major amb denominadors a·m+1-a , la condició de garantia és

p > (a·m+1-a)/[a(n+1)+r(1-a)] (observem que, tal com es defineix el número de candidatures virtuals, sempre s'acompleix r£n-m+2, i per tant no cal imposar aquesta restricció)

Per tant, podem expressar aquesta condició com

x/(a·m+1-a) > N/[a(n+1)+r(1-a)] amb f(m)=a·m+1-a=a(m-1)+1 com a denominador del pes i g(n,r)=a(n+1)+r(1-a)=a(n+1-r)+r com a denominador de la quota repartidora, que seran ambdós enters si el paràmetre a ho és.

Observem que f(1)=1, i per tant el pes i la quota repartidora estan directament normalitzats. Observem també que el pes no depen del número r de candidatures, cosa que es deriva del mateix caràcter dels sistemes de quocient major, que es defineixen precisament per aquests pesos.

Per altra banda, si a ³ 1 i r ³ 2 , el denominador de la quota repartidora serà

a(n+1)+r(1-a) £ a(n+1)+2(1-a) = an+2-a, i per tant podrem ordenar els llocs utilitzat N/(an+2-a) com a cota inferior de la quota repartidora, independent del número de candidatures, i simplificant així els càlculs.

Anem a examinar ara en particular les implicacions de dos sistemes de quocient major:

En el cas de la regla d'Hondt, amb a=1 i denominadors f(m)=m, tindrem que el denominador de la quota repartidora és

g(n,r) = 1(n+1)+r(1-1) = n+1 , que com veiem tampoc depen del número de candidatures. Això simplifica prou l'aplicació del sistema de classificació de paperetes, que es pot fer sense tenir en compte el número de candidatures sense necessitat d'utilitzar una cota inferior de la quota repartidora, aplicant directament la condició x/m > N/(n+1) tant per a distribuir com per a ordenar els llocs.

Sabem, tanmateix, que més enllà de les seues ventajes matemàtiques la regla d'Hondt té un grau de proporcionalitat baix i tendeix a perjudicar a les minories, minvant així la pluralitat sense deixar de ser un sistema de proporcionalitat estricta. Serà en tot cas un sistema adequat per a una organització en la qual el principi de pluralitat no siga fonamental.

En el cas del sistema de Saint Lagué amb a=2 i denominadors f(m)=2m-1 , tindrem que el denominador de la quota repartidora és

g(n,r) = 2(n+1)-r = 2n+2-r i per a r ³ 2 podrem prendre com a cota inferior de la quota repartidora N/(2n) , amb el qual podrem aplicar també el sistema de clasificació de paperetes d'una forma relativament senzilla per a ordenar els llocs, evitant el càstic a les minories que suposa la regla d'Hondt.

Tanmateix, sabem que el sistema de Saint Lagué no és estrictament proporcional i permet vulnerar la proporcionalitat amb un mínim de 4 candidatures a partir del lloc número 4. Això pot no tenir importància quan allò que importa és la ordenació dels llocs (per exemple, per a acordar una candidatura de l'organització a presentar en unes eleccions), per tal com aquesta vulneració, a través d'una dispersió controlada dels vots, es fa a costa de perdre llocs en la capçalera. Pero fa que el sistema de Saint Lagué no siga adequat per a distribuir llocs, especialment amb un sistema en llista oberta on el número de candidatures és potencialment il·limitat.

Ara bé, el sistema de Resta Major , que és un sistema amb proporcionalitat forta d'un grau elevat, té com a condició de garantia

p > (r·m-1)/(r·n) o el que és el mateix, x/(r·m-1) > N/(r·n) , de manera que tant el pes com la quota repartidora depenen del número r de candidatures, cosa que suposa complicacions addicionals.

A més, el denominador del pes f(m,r)=r·m-1 no està normalitzat, per tal com f(1,r)=r-1 únicament val 1 si r=2. El denominador del pes normalitzat serà per tant

f '(m,r) = (r·m-1)/(r-1) = [(r-1)m+m-1]/(r-1) = m + (m-1)/(r-1) el qual disminueix amb el número r de candidatures.

El denominador de la quota repartidora normalitzada amb Resta Major serà, per la seua banda,

g'(n,r) = n·r/(r-1) = n(1+1/(r-1)) , que disminueix amb el número r de candidatures. Per tant, la quota repartidora normalitzada augmentarà també amb el número r de candidatures, i si r ³ 2 podem prendre N/g'(n,2)=N/(2n) com a cota inferior de la mateixa.

Comparant el sistema de Resta Major amb el de Saint Lagué i la Regla d'Hondt, trobem que si r=2, el sistema de Resta Major i el de Saint Lagué són matemàticament equivalents, i podem comprovar que tant el denominador del pes f '(m,2)=2m-1 com el denominador de la quota repartidora g'(n,2)=2n coincideixen. A l'augmentar el número de candidatures, el denominador del pes normalitzat corresponent a Resta Major es va distanciant del de Saint Lagué i aproximant-se al de la Regla d'Hondt (m). De fet, és aquesta variació la que impedeix la vulneració de la proporcionalitat.

En tot cas, podem simplificar de diferents maneres l'aplicació del sistema de classificació de paperetes amb Resta Major per a ordenar:

1) Si prenem els pesos normalitzats, calculant la puntuació x·(r-1)/(r·m-1) (o utilitzant una tabla de denominadors del pes) per a al candidat m en un muntó o submuntó de paperetes, podem utilitzar N/(2n) com a cota inferior de la quota repartidora.

2) Si prenem els pesos sense normalitzar, la puntuació del candidat m en un muntó o submuntó de paperetes serà x/(r·m-1). En aquest cas hauriem de calcular la quota repartidora N/(r·m) per a cada r (sense cota inferior), o prescindir de la quota repartidora ordenant amb profunditat zero.

En qualsevol cas, haurem d'incrementar el valor de r cada vegada que obtinga un lloc el primer candidat d'un muntó nou.

Si es tracta simplement de distribuir, podem estimar primer el número r de candidatures virtuals, atenent únicament als llocs obtinguts pels vots en primera posició, i després utilitzar les fòrmules o tables corresponents als denominadors del pes i de la quota repartidora per a distribuir la resta dels llocs.