Esperanza de vida vía $\displaystyle e_x = \int_0^{\omega-x} t \cdot {}_t p_x \cdot \mu_{x+t}\, dt$
Función de cohorte: $l(x) = 10000 - x^2$, con $\omega = 100$ (pues $l(100)=0$).
Paso 1: Probabilidad de supervivencia $t$ años más
$${}_t p_x = \frac{l_{x+t}}{l_x} = \frac{10000 - (x+t)^2}{10000 - x^2}$$
Paso 2: Fuerza de mortalidad a edad $x+t$
Calculamos primero $-\dfrac{d}{ds}\ln l_s$:
$$\ln l_s = \ln(10000 - s^2)$$
$$\frac{d}{ds}\ln l_s = \frac{-2s}{10000 - s^2}$$
Por tanto:
$$\mu_s = \frac{2s}{10000 - s^2}$$
Evaluada en $s = x + t$:
$$\mu_{x+t} = \frac{2(x+t)}{10000 - (x+t)^2}$$
Paso 3: Producto ${}_t p_x \cdot \mu_{x+t}$ (la densidad $f_T(t)$)
$${}_t p_x \cdot \mu_{x+t} = \frac{10000 - (x+t)^2}{10000 - x^2} \cdot \frac{2(x+t)}{10000 - (x+t)^2}$$
El factor $\left[10000 - (x+t)^2\right]$ se cancela:
$${}_t p_x \cdot \mu_{x+t} = \frac{2(x+t)}{10000 - x^2}$$
Esta es la densidad del tiempo de fallecimiento. Es lineal en $t$, no cúbica.
Paso 4: Integrando de la esperanza de vida
$$t \cdot {}_t p_x \cdot \mu_{x+t} = \frac{2t(x+t)}{10000 - x^2} = \frac{2xt + 2t^2}{10000 - x^2}$$
Paso 5: Plantear la integral
$$e_x = \int_0^{100-x} \frac{2xt + 2t^2}{10000 - x^2}\, dt = \frac{2}{10000 - x^2}\int_0^{100-x}(xt + t^2)\, dt$$
Paso 6: Resolver la integral
$$\int_0^{100-x}(xt + t^2)\, dt = \left[ x\frac{t^2}{2} + \frac{t^3}{3} \right]_0^{100-x}$$
$$= x\frac{(100-x)^2}{2} + \frac{(100-x)^3}{3}$$
Sacamos factor común $(100-x)^2$:
$$= (100-x)^2\left[ \frac{x}{2} + \frac{100-x}{3} \right]$$
Operamos el corchete:
$$\frac{x}{2} + \frac{100-x}{3} = \frac{3x + 2(100-x)}{6} = \frac{3x + 200 - 2x}{6} = \frac{x + 200}{6}$$
Por tanto:
$$\int_0^{100-x}(xt + t^2)\, dt = \frac{(100-x)^2(x+200)}{6}$$
Paso 7: Esperanza de vida
$$e_x = \frac{2}{10000 - x^2}\cdot\frac{(100-x)^2(x+200)}{6}$$
Simplificamos. Notemos que:
$$10000 - x^2 = (100-x)(100+x)$$
Entonces:
$$e_x = \frac{2(100-x)^2(x+200)}{6(100-x)(100+x)} = \frac{(100-x)(x+200)}{3(100+x)}$$
$$e_x = \frac{(100-x)(x+200)}{3(100+x)}$$