Ejercicio 5.1

Enunciado: El tiempo que dedican las familias para realizar la compra alimentaria semanal, variable X, sigue una distribución Normal. Elegidas de forma aleatoria 61 familias se ha obtenido:

\(\sum X_i = 213,5 \text{ horas} \quad \text{y} \quad \sum X_i^2 = 808 \text{ horas}^2\)

Obtener el intervalo de confianza para la media de la población con un nivel de confianza del 90%.

1. Datos y Fórmulas Previas

  • n = 61 familias
  • Nivel de confianza (1-α) = 0,90 → α = 0,10 → α/2 = 0,05
  • Varianza poblacional (σ²): Desconocida. Usaremos la varianza muestral (\(s_n^2\))** y la distribución t de Student.
  • Grados de libertad (gl): \(n - 1 = 60\)
  • Valor crítico: \(t_{60, 0.95} = 1,6706\)

2. Cálculo de la Media y Varianza Muestral

\(\bar{x} = \frac{\sum X_i}{n} = \frac{213,5}{61} = 3,5 \text{ horas}\)
\(s_n^2 = \frac{\sum X_i^2}{n} - \bar{x}^2 = \frac{808}{61} - (3,5)^2 = 13,2459 - 12,25 = 0,9959\)
\(s_n = \sqrt{0,9959} \approx 0,9979 \text{ horas}\)
Nota sobre la notación: Al usar la varianza muestral (dividiendo entre \(n\)), la fórmula del intervalo incorpora la raíz de \(n-1\) en el denominador. Es equivalente a usar la cuasivarianza y la raíz de \(n\), pero así se ajusta a la notación que estás usando en clase.

3. Fórmula del Intervalo para la Media

\(I_{1-\alpha}(\mu) = \left[ \bar{x} \pm t_{n-1, 1-\alpha/2} \cdot \frac{s_n}{\sqrt{n-1}} \right]\)

4. Sustitución y Resultado

\(\text{Error de estimación (E)} = 1,6706 \cdot \frac{0,9979}{\sqrt{60}} = 1,6706 \cdot \frac{0,9979}{7,746} = 1,6706 \cdot 0,1288 = 0,2152\)
\(I = [3,5 - 0,2152 \;;\; 3,5 + 0,2152] = [3,2848 \;;\; 3,7152]\)
✅ Intervalo de Confianza al 90%: \([3,28 \; , \; 3,72] \text{ horas.}\)

Ejercicio 5.2

Enunciado: Con la información muestral del ejercicio anterior y el mismo nivel de confianza, obtener un intervalo de confianza para la varianza poblacional.

1. Fórmula del Intervalo para la Varianza

Para una población Normal, el intervalo para la varianza utiliza la distribución Chi-cuadrado (\(\chi^2\)):

\(I_{1-\alpha}(\sigma^2) = \left[ \frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{n-1, 1-\alpha/2}} \;;\; \frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{n-1, \alpha/2}} \right]\)
En este caso, se usa la cuasivarianza (\(S^2\))** porque es el estimador insesgado de la varianza poblacional, que es lo que exige la distribución Chi-cuadrado para construir el intervalo.

2. Datos y Valores Críticos

  • n - 1 = 60
  • Cuasivarianza (\(S^2\)) = 1,0125 (calculada en el ejercicio anterior)
  • (n-1)S² = \(60 \cdot 1,0125 = 60,75\)
  • Nivel de confianza = 90% → α = 0,10
  • Cola derecha (1 - α/2) = 0,95 → \(\chi^2_{60, 0.95} = 79,0819\)
  • Cola izquierda (α/2) = 0,05 → \(\chi^2_{60, 0.05} = 43,1880\)

3. Sustitución y Resultado

\(\text{Límite Inferior} = \frac{60,75}{79,0819} = 0,7682\)
\(\text{Límite Superior} = \frac{60,75}{43,1880} = 1,4066\)
✅ Intervalo de Confianza para la Varianza (\(\sigma^2\)): \([0,768 \; , \; 1,407] \text{ horas}^2\).