Problema 5.24 (Tamaño muestral y Varianza Desconocida)
Enunciado: Considerada una población con distribución Normal:
a) Si la varianza de la población \(\sigma^2 = 25\), obtener el tamaño de la muestra que tendrá que extraerse, para lograr un intervalo de confianza del 95% para la media poblacional, si se prefija una amplitud para el intervalo de 3 (error de estimación = ±1,5).
b) Se considera desconocida la varianza poblacional. Obtenida una muestra de tamaño 17 resulta una media de 12 y una \(S = 4\) (desviación típica muestral). Obtener un intervalo para \(\mu\) con un nivel de confianza de 99%.
a) Cálculo del tamaño muestral (Varianza conocida)
- Varianza poblacional: \(\sigma^2 = 25 \Rightarrow \sigma = 5\)
- Nivel de confianza: 95% → \(Z_{0,975} = 1,96\)
- Error de estimación (E): 1,5 (la mitad de la amplitud 3)
La fórmula para el tamaño muestral es:
\(n = \left( \frac{Z_{1-\alpha/2} \cdot \sigma}{E} \right)^2\)
\(n = \left( \frac{1,96 \cdot 5}{1,5} \right)^2 = \left( \frac{9,8}{1,5} \right)^2 = (6,5333)^2 = 42,6844\)
✅ Tamaño de la muestra necesario: \(n = 43\) (siempre se redondea hacia arriba).
b) Intervalo para la media (Varianza desconocida)
Datos:
- Media muestral: \(\bar{x} = 12\)
- Desviación típica muestral: \(S = 4\)
- Tamaño: \(n = 17\)
- Grados de libertad: \(gl = n - 1 = 16\)
- Nivel de confianza: 99% → \(\alpha/2 = 0,005\)
- Valor crítico (t): \(t_{16, 0.995} = 2,9208\)
Al desconocer la varianza poblacional, usamos la distribución t de Student. Como el enunciado nos da la desviación típica muestral (\(S\)), la fórmula del intervalo es:
\(I_{1-\alpha}(\mu) = \left[ \bar{x} \pm t_{n-1, 1-\alpha/2} \cdot \frac{S}{\sqrt{n-1}} \right]\)
Sustitución y resultado:
\(\text{Error típico} = \frac{4}{\sqrt{16}} = \frac{4}{4} = 1\)
\(\text{Margen de error (E)} = 2,9208 \cdot 1 = 2,9208\)
\(I = [12 - 2,9208 \;;\; 12 + 2,9208] = [9,0792 \;;\; 14,9208]\)
✅ Intervalo al 99% de confianza: \([9,08 \; , \; 14,92]\)