Problema 5.6 (Diferencia de medias con varianzas conocidas)

Enunciado: Se sabe que el precio (en decenas de miles de euros) de los pisos de 90 m² en dos localidades españolas X e Y sigue una distribución normal con varianzas: \(\sigma_X^2 = 2\), \(\sigma_Y^2 = 2,5\). Se toman dos m.a.s. independientes de tamaño \(n_X = 45\), \(n_Y = 50\), obteniéndose que \(\bar{X} = 7\), \(\bar{Y} = 6,5\). Realizar la estimación de la diferencia de precios medios mediante un intervalo de confianza del 99%.

1. Datos y Fórmulas Previas

  • Muestras: \(n_X = 45\), \(n_Y = 50\)
  • Medias: \(\bar{X} = 7\), \(\bar{Y} = 6,5\)
  • Varianzas (conocidas): \(\sigma_X^2 = 2\), \(\sigma_Y^2 = 2,5\)
  • Diferencia muestral: \(\bar{X} - \bar{Y} = 7 - 6,5 = 0,5\)
  • Nivel de confianza: 99% → \(\alpha = 0,01\) → \(\alpha/2 = 0,005\)
  • Valor crítico (Z): \(Z_{0,995} = 2,576\)

2. Fórmula del Intervalo (Varianzas Conocidas)

\(I_{1-\alpha}(\mu_X - \mu_Y) = \left[ (\bar{X} - \bar{Y}) \pm Z_{1-\alpha/2} \sqrt{\frac{\sigma_X^2}{n_X} + \frac{\sigma_Y^2}{n_Y}} \right]\)

3. Sustitución y Resultado

\(\text{Error típico} = \sqrt{\frac{2}{45} + \frac{2,5}{50}} = \sqrt{0,04444 + 0,05} = \sqrt{0,09444} \approx 0,3073\)
\(\text{Margen de error (E)} = 2,576 \cdot 0,3073 = 0,7916\)
\(I = [0,5 - 0,7916 \;;\; 0,5 + 0,7916] = [-0,2916 \;;\; 1,2916]\)
✅ Intervalo al 99% de confianza: \([-0,292 \; , \; 1,292]\)
Como el intervalo incluye el 0, no podemos afirmar con un 99% de confianza que exista una diferencia significativa entre los precios medios de ambas localidades.

Problema 5.8 (Diferencia de medias con varianzas desconocidas e iguales)

Enunciado: Para comparar el gasto de los clientes en dos grandes superficies comerciales (Mercado A y Mercado B), se toman dos m.a.s. independientes:
• Mercado A: \(n_A = 21\), \(\bar{A} = 120\), \(S_A = 40\)
• Mercado B: \(n_B = 16\), \(\bar{B} = 100\), \(S_B = 30\)
Suponiendo que la variable gasto se distribuye normalmente, con igual varianza en los dos casos, obtener un intervalo para la diferencia del gasto medio al 95% de confianza.

1. Datos y Fórmulas Previas

  • Diferencia muestral: \(\bar{A} - \bar{B} = 120 - 100 = 20\)
  • Varianzas desconocidas pero iguales: Usaremos la distribución t de Student con una varianza conjunta (pooled).
  • Grados de libertad: \(gl = n_A + n_B - 2 = 21 + 16 - 2 = 35\)
  • Nivel de confianza: 95% → \(\alpha/2 = 0,025\)
  • Valor crítico: \(t_{35, 0.975} = 2,0301\)

2. Cálculo de la Varianza Conjunta (\(S_p^2\))

Primero, calculamos la cuasivarianza conjunta ponderada por los grados de libertad:

\(S_p^2 = \frac{(n_A - 1)S_A^2 + (n_B - 1)S_B^2}{n_A + n_B - 2}\)
\(S_p^2 = \frac{(20 \cdot 40^2) + (15 \cdot 30^2)}{35} = \frac{(20 \cdot 1600) + (15 \cdot 900)}{35} = \frac{32000 + 13500}{35} = \frac{45500}{35} = 1300\)

3. Fórmula del Intervalo (Varianzas Desconocidas e Iguales)

\(I_{1-\alpha}(\mu_A - \mu_B) = \left[ (\bar{A} - \bar{B}) \pm t_{n_A+n_B-2, 1-\alpha/2} \sqrt{S_p^2 \left( \frac{1}{n_A} + \frac{1}{n_B} \right)} \right]\)

4. Sustitución y Resultado

\(\text{Error típico} = \sqrt{1300 \left( \frac{1}{21} + \frac{1}{16} \right)} = \sqrt{1300 \cdot (0,04762 + 0,0625)} = \sqrt{1300 \cdot 0,11012} = \sqrt{143,156} \approx 11,965\)
\(\text{Margen de error (E)} = 2,0301 \cdot 11,965 = 24,290\)
\(I = [20 - 24,290 \;;\; 20 + 24,290] = [-4,290 \;;\; 44,290]\)
✅ Intervalo al 95% de confianza: \([-4,29 \; , \; 44,29]\)
Al igual que en el problema anterior, el 0 está dentro del intervalo. No hay evidencia estadística suficiente para afirmar que el gasto medio difiere entre ambos mercados.