Problemas de muestreo y cuantización
Señales y Sistemas Lineales
Ejercicios propuestos
Intenta resolver cada ejercicio a mano —con papel, calculadora y las fórmulas de referencia— antes de consultar la solución. Las soluciones están plegadas: despliégalas cuando quieras comprobar tu resultado. Dentro de cada bloque, los ejercicios están ordenados de menor a mayor complejidad.
Muestreo
- Muestreo: \(x[n] = x(nT_s)\), con \(T_s\) el periodo de muestreo y \(f_s = 1/T_s\) la frecuencia de muestreo.
- Frecuencia de Nyquist: \(f_{nyq} = \dfrac{f_s}{2}\). Es la mitad de la frecuencia de muestreo, y por tanto una propiedad del sistema, no de la señal.
- Teorema del muestreo: una señal sin componentes por encima de \(f_{max}\) se recupera exactamente de sus muestras si \(f_s > 2 f_{max}\), es decir, si \(f_{max} < f_{nyq}\). La desigualdad es estricta.
- Señal que tarda en variar, como mínimo, \(T_{min}\): \(f_{max} = \dfrac{1}{T_{min}}\).
- Frecuencia digital de una senoidal de frecuencia \(f\) muestreada a \(f_s\): \(\Omega = \pi\,\dfrac{f}{f_{nyq}}\) (rad/muestra).
- Frecuencia digital equivalente: \(\Omega' = \Omega - 2\pi k\), con \(k\) entero y \(\Omega' \in [-\pi, \pi]\). Restar múltiplos de \(2\pi\) a \(\Omega\) no cambia las muestras, y por eso se pliegan las frecuencias.
- Frecuencia aparente (alias): \(f' = \dfrac{|\Omega'|}{\pi}\,f_{nyq}\). Si \(\Omega' < 0\), un seno cambia de signo y un coseno no; una fase \(\varphi\) cambia de signo.
- Reconstructor ideal: entrega la señal \(x_r(t)\) de frecuencias menores que \(f_{nyq}\) que pasa por las muestras. Se obtiene sustituyendo \(n = t/T_s = f_s\,t\) en la señal discreta, una vez escrita con las frecuencias equivalentes \(\Omega'\).
Cuantización
- Niveles: un cuantizador de \(B\) bits tiene \(L = 2^B\) niveles.
- Fondo de escala: \(V_{FS} = V_{max} - V_{min}\), el rango de entrada admisible.
- Resolución: \(\Delta = \dfrac{V_{FS}}{2^B - 1}\), el fondo de escala entre el número de escalones.
- Número de bits para una resolución dada: \(2^B - 1 \geq \dfrac{V_{FS}}{\Delta}\).
- Error de cuantización, \(e = x_q - x\): con redondeo, \(-\dfrac{\Delta}{2} < e \leq \dfrac{\Delta}{2}\) y \(e_{max} = \dfrac{\Delta}{2}\); con truncamiento, \(-\Delta < e \leq 0\) y \(e_{max} = \Delta\).
- Relación señal a ruido de cuantización: \(\mathrm{SQNR} \approx 6.02\,B + 1.76\) dB.
- Bitrate: \(R = f_s \cdot B \cdot N_{\text{canales}}\) (bit/s).
Trigonometría
- Productos a sumas:
- \(\cos a \cos b = \tfrac{1}{2}\big[\cos(a-b) + \cos(a+b)\big]\)
- \(\sin a \sin b = \tfrac{1}{2}\big[\cos(a-b) - \cos(a+b)\big]\)
- \(\cos a \sin b = \tfrac{1}{2}\big[\sin(a+b) - \sin(a-b)\big]\)
- Potencias: \(\cos^2 a = \tfrac{1}{2}\big[1 + \cos 2a\big]\), \(\sin^2 a = \tfrac{1}{2}\big[1 - \cos 2a\big]\) y \(\cos^3 a = \tfrac{1}{4}\big[3\cos a + \cos 3a\big]\).
- Paridad: \(\cos(-a) = \cos a\) y \(\sin(-a) = -\sin a\).
- En los instantes de muestreo, con \(n\) entero: \(\cos(2\pi n) = 1\), \(\sin(\pi n) = 0\) y \(\cos(\pi n) = (-1)^n\).
Diseño de sistemas de adquisición
a) Frecuencia de muestreo. El teorema del muestreo exige \(f_s > 2 f_{max} = 20\) Hz, y se toma \(2.5\) veces ese mínimo:
\[ \boxed{f_s = 2.5 \cdot 20 = 50\,\text{Hz}} \]
Se comprueba que el diseño es coherente: la frecuencia de Nyquist es \(f_{nyq} = f_s/2 = 25\) Hz y las tres frecuencias quedan en el orden correcto,
\[ f_{max} = 10\,\text{Hz} \;<\; f_c = 20\,\text{Hz} \;<\; f_{nyq} = 25\,\text{Hz} \]
El filtro deja pasar la señal entera, porque corta por encima de \(f_{max}\), y elimina todo lo que podría plegarse, porque corta por debajo de \(f_{nyq}\).
b) Número de bits. El fondo de escala es \(10 - 0 = 10\,\text{m/s}^2\) y la resolución tiene que ser de \(0.001\,\text{m/s}^2\) o mejor:
\[ 2^B - 1 \geq \frac{10}{0.001} = 10\,000 \;\Rightarrow\; B \geq \log_2 10\,001 = 13.29 \;\Rightarrow\; \boxed{B = 14\ \text{bits}} \]
Con 13 bits la resolución sería de \(10/8191 = 0.00122\,\text{m/s}^2\), insuficiente; con 14 es de \(10/16\,383 = 0.00061\,\text{m/s}^2\).
c) Bitrate. Con un solo canal:
\[ R = f_s \cdot B = 50 \cdot 14 = 700\,\text{bit/s} \]
Interpretación.
- El orden \(f_{max} < f_c < f_{nyq}\) es lo que hay que vigilar. Un filtro que cortase por encima de \(f_{nyq}\) dejaría pasar justo lo que produce aliasing, y uno que cortase por debajo de \(f_{max}\) se comería parte de la señal.
- El hueco entre \(f_c\) y \(f_{nyq}\) es para el filtro real. Un filtro que se pueda construir no cae en vertical como el de la figura: necesita una banda de transición, y los 5 Hz que quedan hasta \(f_{nyq}\) son ese margen. Muestrear \(2.5\) veces por encima del mínimo es lo que lo paga.
Aliasing y reconstrucción
Una vez muestreada, de cada componente solo queda su frecuencia digital \(\Omega\), y las frecuencias digitales que se diferencian en un múltiplo de \(2\pi\) dan exactamente las mismas muestras. El reconstructor ideal no tiene forma de saber cuál era la original: entrega siempre la que cae en \([-\pi, \pi]\). Todo el problema consiste en llevar cada componente a ese intervalo.
1. Frecuencia de muestreo y de Nyquist.
\[ T_s = 10\,\text{ms} \;\Rightarrow\; f_s = \frac{1}{T_s} = 100\,\text{Hz} \qquad\qquad f_{nyq} = \frac{f_s}{2} = 50\,\text{Hz} \]
2. Frecuencias de la señal. Cada componente tiene una frecuencia analógica \(f = \dfrac{\omega}{2\pi}\): 100 Hz, 500 Hz y 175 Hz. Las tres superan \(f_{nyq}\), así que ninguna se muestrea correctamente.
3. Frecuencias digitales. Se calcula \(\Omega = \pi\,\dfrac{f}{f_{nyq}}\) y se le resta \(2\pi\) tantas veces como haga falta para llevarla a \([-\pi, \pi]\):
| Componente | \(f\) (Hz) | \(\Omega\) | \(\Omega'\) | \(f'\) (Hz) |
|---|---|---|---|---|
| \(10\cos(200\pi t)\) | \(100\) | \(2\pi\) | \(0\) | \(0\) |
| \(3\sin(1000\pi t)\) | \(500\) | \(10\pi\) | \(0\) | \(0\) |
| \(15\cos(350\pi t + 0.5\pi)\) | \(175\) | \(\frac{7}{2}\pi\) | \(-\frac{1}{2}\pi\) | \(25\) |
con \(f' = \dfrac{|\Omega'|}{\pi}\,f_{nyq}\) la frecuencia aparente.
4. Señal discreta. Sustituyendo \(t = nT_s\) y usando las frecuencias equivalentes:
- La de 100 Hz coincide con \(f_s\): se toma una muestra por ciclo, siempre en el mismo punto, y \(10\cos(2\pi n) = 10\). Se convierte en una continua de 10 V.
- La de 500 Hz es \(5 f_s\), pero al ser un seno se muestrea siempre en sus pasos por cero: \(3\sin(10\pi n) = 0\). Desaparece.
- La de 175 Hz se pliega a \(\Omega' = -\frac{1}{2}\pi\). Se resta \(4\pi n\), que no cambia ninguna muestra, y se usa la paridad del coseno:
\[ 15\cos\!\left(\tfrac{7}{2}\pi n + \tfrac{1}{2}\pi\right) = 15\cos\!\left(-\tfrac{1}{2}\pi n + \tfrac{1}{2}\pi\right) = 15\cos\!\left(\tfrac{1}{2}\pi n - \tfrac{1}{2}\pi\right) \]
Sumando las tres:
\[ v[n] = 10 + 15\cos\!\left(\tfrac{1}{2}\pi n - \tfrac{1}{2}\pi\right) \]
5. Reconstrucción. Se sustituye \(n = t/T_s = 100\,t\) y se usa \(\cos\!\left(a - \frac{\pi}{2}\right) = \sin a\):
\[ \boxed{v_r(t) = 10 + 15\cos\!\left(50\pi t - \frac{\pi}{2}\right) = 10 + 15\sin(50\pi t)\ \text{V}} \]
Se comprueba en una muestra, \(n = 1\) (\(t = 10\) ms): la original vale \(v = 10\cos(2\pi) + 3\sin(10\pi) + 15\cos(4\pi) = 10 + 0 + 15 = 25\) V, y la reconstruida \(v_r = 10 + 15\sin\!\left(\frac{\pi}{2}\right) = 25\) V.
Interpretación. La señal reconstruida contiene 0 Hz y 25 Hz, y ninguna de las dos estaba en la original:
- Las dos son alias. La continua de 10 V es el alias de la componente de 100 Hz y la de 25 Hz, el de la de 175 Hz. La de 500 Hz no deja ni rastro.
- Las muestras no mienten, pero no bastan. \(v_r(t)\) pasa por todas las muestras de \(v(t)\), como se ve en la figura: lo que falla no es la reconstrucción, sino haber muestreado a 100 Hz una señal que pedía más de \(2 \cdot 500 = 1000\) Hz.
Arriba, la señal original, sus muestras y la senoide lenta que el reconstructor hace pasar por ellas. Abajo, las tres rayas de \(v(t)\), todas a la derecha de \(f_{nyq}\), y las dos de \(v_r(t)\), a su izquierda.
Un coseno al cuadrado no es una senoide pura, y el teorema del muestreo habla de frecuencias: primero hay que descomponer la señal en una suma de senoides. Con \(\cos^2 a = \tfrac{1}{2}\big[1 + \cos 2a\big]\) y \(\sin^2 a = \tfrac{1}{2}\big[1 - \cos 2a\big]\):
\[ v(t) = 4 + \big[1 + \cos(800\pi t)\big] + \tfrac{1}{2}\big[1 - \cos(200\pi t)\big] = 5.5 + \cos(800\pi t) - 0.5\cos(200\pi t) \]
Elevar al cuadrado duplica la frecuencia y añade una continua: las componentes son 0 Hz, 100 Hz y 400 Hz, y no los 200 Hz y 50 Hz que aparecen escritos en el enunciado.
a) Frecuencia de muestreo mínima. La componente más alta es la de 400 Hz:
\[ \boxed{f_s > 2 f_{max} = 2 \cdot 400 = 800\,\text{Hz}} \]
b) Muestreo a 50 Hz. Ahora \(f_{nyq} = f_s/2 = 25\) Hz, muy por debajo de las dos senoides. Sus frecuencias digitales son
| Componente | \(f\) (Hz) | \(\Omega\) | \(\Omega'\) | \(f'\) (Hz) |
|---|---|---|---|---|
| \(5.5\) (continua) | \(0\) | \(0\) | \(0\) | \(0\) |
| \(-0.5\cos(200\pi t)\) | \(100\) | \(4\pi\) | \(0\) | \(0\) |
| \(\cos(800\pi t)\) | \(400\) | \(16\pi\) | \(0\) | \(0\) |
Las dos senoides caen en múltiplos exactos de \(f_s\) (\(100 = 2 f_s\) y \(400 = 8 f_s\)), así que \(\cos(4\pi n) = \cos(16\pi n) = 1\) y las dos se convierten en continuas:
\[ v[n] = 5.5 + \cos(16\pi n) - 0.5\cos(4\pi n) = 5.5 + 1 - 0.5 = 6 \]
Todas las muestras valen lo mismo, y el reconstructor ideal entrega esa constante:
\[ \boxed{v_r(t) = 6\ \text{A}} \]
Se comprueba sin descomponer, directamente en la señal del enunciado: en \(t = n/50\), \(v = 4 + 2\cos^2(8\pi n) + \sin^2(2\pi n) = 4 + 2 \cdot 1 + 0 = 6\) A para cualquier \(n\).
Interpretación.
- Solo queda una continua (0 Hz), y no es la de la señal. La continua verdadera vale 5.5 A; los 0.5 A restantes son los alias de las dos senoides, \(+1\) de la de 400 Hz y \(-0.5\) de la de 100 Hz.
- Muestrear a un submúltiplo de la frecuencia de una senoide la congela: cada muestra la encuentra en el mismo punto del ciclo; aquí, justo donde el coseno vale 1.
Entre dos muestras la señal da ocho vueltas de 400 Hz montadas sobre dos de 100 Hz, pero las muestras siempre la encuentran en el mismo sitio.
Como en el ejercicio anterior, primero se descompone: un producto de senoides no tiene las frecuencias de sus factores, sino su suma y su diferencia. Con \(\cos a \cos b = \tfrac{1}{2}\big[\cos(a-b) + \cos(a+b)\big]\), \(a = 500\pi t\) y \(b = 400\pi t\):
\[ v(t) = 5\cos(100\pi t) + 5\cos(900\pi t) \]
Las componentes son de 50 Hz y 450 Hz, no de 250 Hz y 200 Hz.
a) Frecuencia de muestreo mínima. La componente más alta es la de 450 Hz:
\[ \boxed{f_s > 2 f_{max} = 2 \cdot 450 = 900\,\text{Hz}} \]
b) Muestreo a 100 Hz. Ahora \(f_{nyq} = f_s/2 = 50\) Hz:
| Componente | \(f\) (Hz) | \(\Omega\) | \(\Omega'\) | \(f'\) (Hz) |
|---|---|---|---|---|
| \(5\cos(100\pi t)\) | \(50\) | \(\pi\) | \(\pi\) | \(50\) |
| \(5\cos(900\pi t)\) | \(450\) | \(9\pi\) | \(\pi\) | \(50\) |
La de 450 Hz se pliega restando \(8\pi\) y cae justo encima de la de 50 Hz. Como \(\cos(9\pi n) = \cos(\pi n) = (-1)^n\), las dos se suman:
\[ v[n] = 5\cos(\pi n) + 5\cos(9\pi n) = 10\cos(\pi n) = 10\,(-1)^n \]
Sustituyendo \(n = t/T_s = 100\,t\):
\[ \boxed{v_r(t) = 10\cos(100\pi t)\ \text{V}} \]
Se comprueba en la señal del enunciado: en \(t = n/100\), \(v = 10\cos(5\pi n)\cos(4\pi n) = 10\,(-1)^n \cdot 1\), las mismas muestras que \(v_r = 10\cos(\pi n)\).
Interpretación.
- Una única componente de 50 Hz y amplitud 10, el doble de la que tenía esa frecuencia en la señal original: la mitad es suya y la otra mitad es el alias de la de 450 Hz. Una vez sumadas, no hay forma de separarlas.
- La de 50 Hz está justo en \(f_{nyq}\), el caso límite. El teorema no lo cubre (la desigualdad es estricta) y lo que ocurre depende de la fase: un coseno se muestrea en sus máximos y mínimos y sobrevive; un seno de la misma frecuencia se muestrearía en sus pasos por cero, \(\sin(\pi n) = 0\), y desaparecería.
Las muestras alternan entre \(+10\) y \(-10\): solo ven los picos de la señal, y por ellos pasa también un coseno de 50 Hz.
Se descompone con \(\cos^3 a = \tfrac{1}{4}\big[3\cos a + \cos 3a\big]\):
\[ v(t) = 7.5\cos(100\pi t) + 2.5\cos(300\pi t) \]
Elevar al cubo conserva la frecuencia original, 50 Hz, y añade su tercer armónico, 150 Hz.
a) Frecuencia de muestreo mínima. La componente más alta es la de 150 Hz:
\[ \boxed{f_s > 2 f_{max} = 2 \cdot 150 = 300\,\text{Hz}} \]
No basta con mirar el argumento del coseno: los \(2 \cdot 50 = 100\) Hz que saldrían del enunciado se quedan muy cortos.
b) Muestreo a 200 Hz. Ahora \(f_{nyq} = f_s/2 = 100\) Hz, entre las dos componentes:
| Componente | \(f\) (Hz) | \(\Omega\) | \(\Omega'\) | \(f'\) (Hz) |
|---|---|---|---|---|
| \(7.5\cos(100\pi t)\) | \(50\) | \(\frac{1}{2}\pi\) | \(\frac{1}{2}\pi\) | \(50\) |
| \(2.5\cos(300\pi t)\) | \(150\) | \(\frac{3}{2}\pi\) | \(-\frac{1}{2}\pi\) | \(50\) |
La de 50 Hz se muestrea bien; la de 150 Hz se pliega restando \(2\pi\) y, al ser un coseno, el signo de \(\Omega'\) no le afecta:
\[ 2.5\cos\!\left(\tfrac{3}{2}\pi n\right) = 2.5\cos\!\left(-\tfrac{1}{2}\pi n\right) = 2.5\cos\!\left(\tfrac{1}{2}\pi n\right) \]
Las dos componentes quedan en la misma frecuencia digital y se suman:
\[ v[n] = 7.5\cos\!\left(\tfrac{1}{2}\pi n\right) + 2.5\cos\!\left(\tfrac{1}{2}\pi n\right) = 10\cos\!\left(\tfrac{1}{2}\pi n\right) \]
Sustituyendo \(n = t/T_s = 200\,t\):
\[ \boxed{v_r(t) = 10\cos(100\pi t)\ \text{V}} \]
Se comprueba en la señal del enunciado: en \(t = n/200\), \(v = 10\cos^3\!\left(\frac{\pi}{2} n\right)\), y como \(\cos\!\left(\frac{\pi}{2} n\right)\) solo toma los valores \(1, 0, -1, 0, \ldots\), que no cambian al elevarlos al cubo, las muestras son las de \(10\cos\!\left(\frac{\pi}{2} n\right)\).
Interpretación.
- Una única componente de 50 Hz y amplitud 10: los 7.5 V que ya tenía más los 2.5 V del alias del tercer armónico.
- El aliasing ha «deshecho» el cubo. La señal reconstruida es el coseno sin elevar, \(10\cos(100\pi t)\): a 200 Hz se toman cuatro muestras por ciclo, justo en los máximos, los mínimos y los pasos por cero, que son los únicos puntos en los que \(\cos^3\) y \(\cos\) coinciden. El achatamiento que el cubo produce entre esos puntos, que es lo que aporta el armónico, cae entre muestra y muestra.
Las dos curvas se tocan solo en los instantes de muestreo; entre ellos la original, más estrecha, va por dentro de la reconstruida.