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Problemas de señales

Señales y Sistemas Lineales

Ejercicios propuestos

Tip💡 Cómo usar esta sección

Intenta resolver cada ejercicio a mano antes de consultar la solución. Las soluciones están plegadas: despliégalas cuando quieras comprobar tu resultado. Dentro de cada bloque, los ejercicios están ordenados de menor a mayor complejidad.

  • Paridad: par si \(x(-t) = x(t)\); impar si \(x(-t) = -x(t)\) (implica \(x(0) = 0\)).
  • Periodicidad: \(x(t + T) = x(t)\). Una suma de señales periódicas es periódica si el cociente de sus periodos es racional; el periodo es el mínimo común múltiplo.
  • Energía: \(E = \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} |x(t)|^2\,dt\) o \(E = \displaystyle\sum_{n=-\infty}^{\infty} |x[n]|^2\).
  • Potencia media: \(P = \displaystyle\lim_{T\to\infty} \frac{1}{2T}\int_{-T}^{T} |x(t)|^2\,dt\) o \(P = \displaystyle\lim_{N\to\infty} \frac{1}{2N+1}\sum_{n=-N}^{N} |x[n]|^2\).
  • Señal de energía: \(0 < E < \infty\) (y entonces \(P = 0\)). Señal de potencia: \(0 < P < \infty\) (y entonces \(E = \infty\)).
  • Secuencias finitas: se escriben listando sus muestras entre llaves, con una flecha bajo la que corresponde a \(n = 0\); la señal es nula fuera de las muestras indicadas. Así, \(x[n] = \{2,\, \underset{\uparrow}{1},\, -3\}\) significa \(x[-1] = 2\), \(x[0] = 1\) y \(x[1] = -3\).

Señales elementales

Nota✏️ Ejercicio 1: Senoidal amortiguada discreta

Dibuja las señales siguientes, de la forma \(x[n] = a^n \cos\!\left(\dfrac{\pi n}{4}\right) u[n]\), y explica por qué cada una tiene un comportamiento diferente:

a) \(x_1[n] = \left(\tfrac{1}{2}\right)^n \cos\!\left(\dfrac{\pi n}{4}\right) u[n]\)

b) \(x_2[n] = \cos\!\left(\dfrac{\pi n}{4}\right) u[n]\)

c) \(x_3[n] = 2^n \cos\!\left(\dfrac{\pi n}{4}\right) u[n]\)

Las tres señales comparten el mismo coseno, de frecuencia \(\Omega = \pi/4\). Como \(\Omega / 2\pi = 1/8\) es racional, el coseno es periódico con \(N = 8\) y sus valores en un periodo son \(1, \tfrac{\sqrt{2}}{2}, 0, -\tfrac{\sqrt{2}}{2}, -1, -\tfrac{\sqrt{2}}{2}, 0, \tfrac{\sqrt{2}}{2}\). Lo único que cambia es el factor \(a^n\), que actúa como envolvente: la señal oscila siempre entre \(-a^n\) y \(a^n\). Para dibujarlas basta multiplicar muestra a muestra:

\(n\) \(0\) \(1\) \(2\) \(3\) \(4\) \(5\) \(6\) \(7\) \(8\)
\(\cos(\pi n/4)\) \(1\) \(0.71\) \(0\) \(-0.71\) \(-1\) \(-0.71\) \(0\) \(0.71\) \(1\)
\(x_1[n]\) (\(a = \tfrac{1}{2}\)) \(1\) \(0.35\) \(0\) \(-0.09\) \(-0.06\) \(-0.02\) \(0\) \(0.01\) \(0.004\)
\(x_2[n]\) (\(a = 1\)) \(1\) \(0.71\) \(0\) \(-0.71\) \(-1\) \(-0.71\) \(0\) \(0.71\) \(1\)
\(x_3[n]\) (\(a = 2\)) \(1\) \(1.41\) \(0\) \(-5.66\) \(-16\) \(-22.6\) \(0\) \(90.5\) \(256\)

El comportamiento depende de si \(|a|\) es menor, igual o mayor que 1:

a) Con \(a = \tfrac{1}{2}\), la envolvente \(\left(\tfrac{1}{2}\right)^n\) se reduce a la mitad en cada muestra y tiende a cero: es una oscilación amortiguada. Tras un par de periodos la señal es prácticamente nula. Tiene energía finita; separando \(\cos^2\theta = \tfrac{1}{2}(1 + \cos 2\theta)\) y usando la serie geométrica:

\[ E = \sum_{n=0}^{\infty} \left(\tfrac{1}{4}\right)^n \cos^2\!\left(\tfrac{\pi n}{4}\right) = \frac{1}{2}\sum_{n=0}^{\infty} \left(\tfrac{1}{4}\right)^n + \frac{1}{2}\sum_{n=0}^{\infty} \left(\tfrac{1}{4}\right)^n \cos\!\left(\tfrac{\pi n}{2}\right) = \frac{1}{2}\cdot\frac{4}{3} + \frac{1}{2}\cdot\frac{16}{17} = \frac{58}{51} \approx 1.14 \]

(en la segunda suma \(\cos(\pi n/2)\) vale \(1, 0, -1, 0, \ldots\), así que solo quedan los \(n = 2k\), con términos \((-1)^k (1/16)^k\)). Es una señal de energía.

b) Con \(a = 1\), la envolvente es constante: es un coseno puro que empieza en \(n = 0\). La amplitud no crece ni decrece y, para \(n \geq 0\), se repite cada \(N = 8\) muestras. No tiene energía finita, pero sí potencia: \(\cos^2\) vale \(\tfrac{1}{2}\) en promedio y solo la mitad de las muestras (\(n \geq 0\)) son no nulas, así que \(P = \tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{1}{2} = \tfrac{1}{4}\). Es una señal de potencia.

c) Con \(a = 2\), la envolvente \(2^n\) se duplica en cada muestra: es una oscilación creciente que diverge. En \(n = 8\) ya vale 256 y en \(n = 16\), 65 536. Ni la energía ni la potencia son finitas: no es de energía ni de potencia.

En los tres casos los ceros están en las mismas muestras (\(n = 2, 6, 10, \ldots\)), porque los pone el coseno, y \(a^n > 0\) no cambia el signo. La \(a^n\) solo decide si la oscilación se apaga, se mantiene o explota. Por eso, de las tres, solo \(x_2[n]\) se repite (para \(n \geq 0\)): el factor \(a^n\) con \(a \neq 1\) impide que \(x[n + N] = x[n]\).

Paridad

Nota✏️ Ejercicio 2: Clasificación por paridad

Clasifica las siguientes señales como par, impar o ninguna:

a) \(x_1[n] = u[n] - u[n-5]\)

b) \(x_2[n] = n^2\)

c) \(x_3[n] = \cos(0.3\pi n)\)

d) \(x_4[n] = n\cdot u[n]\)

a) \(x_1[n] = 1\) para \(0 \leq n \leq 4\) y \(0\) en el resto. \(x_1[-1] = 0 \neq x_1[1] = 1\), luego no es par; \(x_1[0] = 1 \neq 0\), luego no es impar. Ninguna.

b) \(x_2[-n] = (-n)^2 = n^2 = x_2[n]\). Par.

c) \(x_3[-n] = \cos(-0.3\pi n) = \cos(0.3\pi n) = x_3[n]\). Par.

d) \(x_4[1] = 1\) y \(x_4[-1] = 0\): no se cumple ni \(x_4[-1] = x_4[1]\) ni \(x_4[-1] = -x_4[1]\). Ninguna.

Nota✏️ Ejercicio 3: Simetría par o impar

Determina si las siguientes señales tienen simetría par o impar (o ninguna de las dos):

a) \(y(t) = \dfrac{1}{2}\,e^{-|t|}\)

b) \(x(n) = 3\,\delta(n) + \dfrac{1}{2}\big[u(n) + u(-n)\big]\)

c) \(y(t) = \dfrac{1}{2}\displaystyle\sum_{k=0}^{10} e^{-10kt}\cdot u(t)\)

a) \(y(-t) = \tfrac{1}{2}e^{-|-t|} = \tfrac{1}{2}e^{-|t|} = y(t)\). Par.

b) \(u(n) + u(-n)\) vale \(1\) para todo \(n \neq 0\) y \(2\) en \(n = 0\), es decir, \(u(n) + u(-n) = 1 + \delta(n)\). Por tanto:

\[ x(n) = 3\,\delta(n) + \frac{1}{2}\big[1 + \delta(n)\big] = \frac{1}{2} + \frac{7}{2}\,\delta(n) \]

Como \(\delta(-n) = \delta(n)\), se cumple \(x(-n) = x(n)\). Par.

c) Por el factor \(u(t)\), \(y(t) = 0\) para \(t < 0\), mientras que para \(t > 0\) el término \(k = 0\) ya aporta \(\tfrac{1}{2}\), así que \(y(t) > 0\). Por ejemplo, \(y(-1) = 0 \neq \pm\,y(1)\). Ninguna.

Nota✏️ Ejercicio 4: Par, impar o ninguna

Determina cuál de las siguientes señales es (o no) par o impar:

a) \(y(t) = 0.5\cdot\big[u(t) + u(-t)\big]\)

b) \(y(n) = u(n-3) + u(3-n)\)

c) \(y(n) = 5\cdot\big[e^{2n} - e^{-2n}\big]\)

a) \(y(-t) = 0.5\big[u(-t) + u(t)\big] = y(t)\). Par. (De hecho, \(y(t) = 0.5\) para todo \(t \neq 0\).)

b) \(u(n-3) = 1\) para \(n \geq 3\) y \(u(3-n) = 1\) para \(n \leq 3\). Ambas se solapan solo en \(n = 3\):

\[ y(n) = 1 + \delta(n - 3) \]

Así, \(y(3) = 2\) pero \(y(-3) = 1\): no es par ni impar. Ninguna. (Aunque la expresión recuerde a la forma \(g(n) + g(-n)\), los desplazamientos no son simétricos respecto al origen.)

c) \(y(-n) = 5\big[e^{-2n} - e^{2n}\big] = -y(n)\). Impar. (Es \(y(n) = 10\sinh(2n)\).)

Nota✏️ Ejercicio 5: Separar los términos de un polinomio

Descompón \(x(t) = t^2 + 4t\) como suma de una señal par y una señal impar.

La señal reflejada es \(x(-t) = (-t)^2 + 4(-t) = t^2 - 4t\), de modo que

\[ x_p(t) = \frac{(t^2 + 4t) + (t^2 - 4t)}{2} = t^2 \qquad x_i(t) = \frac{(t^2 + 4t) - (t^2 - 4t)}{2} = 4t \]

Cada sumando se ha ido entero a una de las dos componentes, y no es casualidad: \(t^2\) ya era par y \(4t\) ya era impar. En un polinomio, la parte par son los términos de grado par y la impar los de grado impar, así que la descomposición se puede leer sin calcular nada.

Nota✏️ Ejercicio 6: Descomposición de una secuencia de dos muestras

Dada \(x[n] = \{\underset{\uparrow}{1},\, 2\}\), calcula sus componentes par \(x_p[n]\) e impar \(x_i[n]\).

Basta tabular \(x[n]\) y su reflejada \(x[-n]\), y aplicar las fórmulas muestra a muestra:

\(n\) \(-1\) \(0\) \(1\)
\(x[n]\) 0 1 2
\(x[-n]\) 2 1 0
\(x_p[n]\) 1 1 1
\(x_i[n]\) −1 0 1

Se comprueba que \(x_p[-n] = x_p[n]\) y que \(x_i[-n] = -x_i[n]\), y que sumadas devuelven \(x[n]\): en \(n = 1\), \(1 + 1 = 2\); en \(n = -1\), \(1 - 1 = 0\).

Fíjate en que \(x[n]\) ocupaba dos muestras y sus componentes ocupan tres: aunque la señal sea causal, sus dos componentes son siempre bilaterales, porque la reflexión lleva a \(n < 0\) todo lo que había a la derecha.

Nota✏️ Ejercicio 7: Descomposición de un polinomio desarrollado

Descompón \(x(t) = (1 + t)^3\) en parte par e impar.

Aquí la separación no se ve a simple vista: hay que desarrollar el cubo primero.

\[ x(t) = (1+t)^3 = 1 + 3t + 3t^2 + t^3 \]

Agrupando los términos por el grado, los pares (\(1\) y \(3t^2\)) forman la componente par y los impares (\(3t\) y \(t^3\)) la impar:

\[ x_p(t) = 1 + 3t^2 \qquad\qquad x_i(t) = 3t + t^3 \]

Se llega a lo mismo con las fórmulas, usando \(x(-t) = (1-t)^3 = 1 - 3t + 3t^2 - t^3\):

\[ x_p(t) = \frac{(1+t)^3 + (1-t)^3}{2} = \frac{2 + 6t^2}{2} = 1 + 3t^2 \qquad x_i(t) = \frac{(1+t)^3 - (1-t)^3}{2} = \frac{6t + 2t^3}{2} = 3t + t^3 \]

Al sumar las dos versiones desarrolladas los términos impares se cancelan y al restarlas se cancelan los pares: eso es justamente lo que hacen las fórmulas.

Nota✏️ Ejercicio 8: Descomposición par/impar

Dada \(x[n] = \{\underset{\uparrow}{1},\, 2,\, 3,\, 4,\, 5\}\), calcula la descomposición en componente par \(x_p[n]\) e impar \(x_i[n]\).

Paso 1: Necesitamos \(x[-n]\). Para los valores relevantes:

\(n\) \(-4\) \(-3\) \(-2\) \(-1\) \(0\) \(1\) \(2\) \(3\) \(4\)
\(x[n]\) 0 0 0 0 1 2 3 4 5
\(x[-n]\) 5 4 3 2 1 0 0 0 0

Paso 2: Componente par: \(x_p[n] = \frac{x[n]+x[-n]}{2}\)

\(n\) \(-4\) \(-3\) \(-2\) \(-1\) \(0\) \(1\) \(2\) \(3\) \(4\)
\(x_p[n]\) 2.5 2 1.5 1 1 1 1.5 2 2.5

Paso 3: Componente impar: \(x_i[n] = \frac{x[n]-x[-n]}{2}\)

\(n\) \(-4\) \(-3\) \(-2\) \(-1\) \(0\) \(1\) \(2\) \(3\) \(4\)
\(x_i[n]\) −2.5 −2 −1.5 −1 0 1 1.5 2 2.5

Verificación: sumando las dos últimas tablas muestra a muestra se recupera \(x[n]\).

Nota✏️ Ejercicio 9: Secuencia con muestras a ambos lados del origen

Dada \(x[n] = \{-1,\, 2,\, \underset{\uparrow}{3},\, 1\}\), calcula sus componentes par e impar.

El método es el mismo de antes, pero ahora \(x[n]\) ya tiene muestras a los dos lados del origen, así que al reflejarla se solapa consigo misma y ninguna muestra se copia tal cual:

\(n\) \(-3\) \(-2\) \(-1\) \(0\) \(1\) \(2\) \(3\)
\(x[n]\) 0 −1 2 3 1 0 0
\(x[-n]\) 0 0 1 3 2 −1 0
\(x_p[n]\) 0 −0.5 1.5 3 1.5 −0.5 0
\(x_i[n]\) 0 −0.5 0.5 0 −0.5 0.5 0

Las dos comprobaciones de siempre: \(x_p[n]\) se lee igual de izquierda a derecha que al revés, \(x_i[n]\) cambia de signo al reflejarla (y por eso \(x_i[0] = 0\)), y sumando las dos filas se recupera \(x[n]\) muestra a muestra.

El soporte pasa de \(n \in [-2,\,1]\) a \(n \in [-2,\,2]\): las componentes ocupan la unión del soporte original con su reflejado, que es simétrica por construcción.

Nota✏️ Ejercicio 10: Descomposición de una senoidal desfasada

Descompón \(x(t) = 2\cos\left(\pi t + \frac{\pi}{3}\right)\) en parte par e impar. ¿Para qué desfases resulta una señal puramente par, y para cuáles puramente impar?

Una senoidal desfasada no es par ni impar, pero basta desarrollar el coseno de la suma para separarla, porque \(\cos(\pi t)\) es par y \(\sin(\pi t)\) es impar:

\[ x(t) = 2\cos(\pi t)\cos\frac{\pi}{3} - 2\sin(\pi t)\sin\frac{\pi}{3} = \cos(\pi t) - \sqrt{3}\,\sin(\pi t) \]

Por tanto \(\boxed{x_p(t) = \cos(\pi t)}\) y \(\boxed{x_i(t) = -\sqrt{3}\,\sin(\pi t)}\). Se llega a lo mismo con las fórmulas, sin más que ver que \(x(-t) = 2\cos\left(\pi t - \frac{\pi}{3}\right)\), que solo cambia el signo del término en seno.

En general, para \(x(t) = A\cos(\omega_0 t + \phi)\):

\[ x_p(t) = A\cos\phi\,\cos(\omega_0 t) \qquad\qquad x_i(t) = -A\sin\phi\,\sin(\omega_0 t) \]

de donde salen los dos casos que se piden: es puramente par cuando \(\sin\phi = 0\), es decir \(\phi = 0\) o \(\phi = \pi\), y puramente impar cuando \(\cos\phi = 0\), es decir \(\phi = \pm\pi/2\) (entonces la señal es un seno).

Las amplitudes de las dos componentes no son arbitrarias: cumplen \(\sqrt{(A\cos\phi)^2 + (A\sin\phi)^2} = A\), que aquí da \(\sqrt{1 + 3} = 2\). Esta descomposición de una senoidal en un coseno más un seno es exactamente la separación en componentes en fase y en cuadratura que se usa en modulación, y es la misma idea que está detrás de las series de Fourier.

Nota✏️ Ejercicio 11: Descomposición par e impar de una señal a trozos

Dibuja las siguientes señales y calcula su descomposición como suma de una señal par y una impar:

a) \(x(t) = \begin{cases} 1, & -1 < t < 0 \\ 2 - t, & 0 \leq t < 2 \\ 0, & \text{en otro caso} \end{cases}\)

b) \(x[n] = \left(\tfrac{1}{2}\right)^n u[n]\)

a) Primero se construye la señal reflejada, sustituyendo \(t\) por \(-t\) en cada tramo:

\[ x(-t) = \begin{cases} 2 + t, & -2 < t \leq 0 \\ 1, & 0 < t < 1 \\ 0, & \text{en otro caso} \end{cases} \]

Los puntos de corte de \(x(t)\) y \(x(-t)\) dividen el eje en los intervalos \((-2,-1)\), \((-1,0)\), \((0,1)\) y \((1,2)\). En cada uno se aplican \(x_p(t) = \frac{x(t) + x(-t)}{2}\) y \(x_i(t) = \frac{x(t) - x(-t)}{2}\):

Intervalo \(x(t)\) \(x(-t)\) \(x_p(t)\) \(x_i(t)\)
\(-2 < t < -1\) \(0\) \(2+t\) \(\frac{2+t}{2}\) \(-\frac{2+t}{2}\)
\(-1 < t < 0\) \(1\) \(2+t\) \(\frac{3+t}{2}\) \(-\frac{1+t}{2}\)
\(0 < t < 1\) \(2-t\) \(1\) \(\frac{3-t}{2}\) \(\frac{1-t}{2}\)
\(1 < t < 2\) \(2-t\) \(0\) \(\frac{2-t}{2}\) \(\frac{2-t}{2}\)

Fuera de \((-2, 2)\) ambas componentes son nulas. Escritas de forma compacta con \(|t|\) y \(\operatorname{sgn}(t)\):

\[ x_p(t) = \begin{cases} \frac{3-|t|}{2}, & |t| < 1 \\ \frac{2-|t|}{2}, & 1 < |t| < 2 \\ 0, & |t| > 2 \end{cases} \qquad x_i(t) = \begin{cases} \operatorname{sgn}(t)\,\frac{1-|t|}{2}, & |t| < 1 \\ \operatorname{sgn}(t)\,\frac{2-|t|}{2}, & 1 < |t| < 2 \\ 0, & |t| > 2 \end{cases} \]

La forma con \(|t|\) deja a la vista que \(x_p(-t) = x_p(t)\) y \(x_i(-t) = -x_i(t)\). En \(t = 0\) la componente impar vale necesariamente \(0\), así que \(x_p(0) = x(0) = 2\). Sumando tramo a tramo se recupera \(x(t)\); por ejemplo, en \((-1, 0)\): \(\frac{3+t}{2} - \frac{1+t}{2} = 1\).

b) Ahora \(x[-n] = \left(\tfrac{1}{2}\right)^{-n} u[-n]\), que solo es distinta de cero para \(n \leq 0\). Hay que distinguir tres casos:

  • \(n > 0\): \(x[n] = \left(\tfrac{1}{2}\right)^n\) y \(x[-n] = 0\).
  • \(n < 0\): \(x[n] = 0\) y \(x[-n] = \left(\tfrac{1}{2}\right)^{-n} = \left(\tfrac{1}{2}\right)^{|n|}\).
  • \(n = 0\): \(x[0] = x[-0] = 1\).

Por tanto:

\[ x_p[n] = \frac{x[n] + x[-n]}{2} = \begin{cases} 1, & n = 0 \\ \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}\right)^{|n|}, & n \neq 0 \end{cases} \qquad x_i[n] = \frac{x[n] - x[-n]}{2} = \frac{1}{2}\operatorname{sgn}(n)\left(\frac{1}{2}\right)^{|n|} \]

La muestra \(n = 0\) es especial: allí la señal y su reflejada coinciden, de modo que toda \(x[0]\) va a la parte par y \(x_i[0] = 0\). Con el impulso se puede escribir también \(x_p[n] = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}\right)^{|n|} + \frac{1}{2}\delta[n]\). Aunque \(x[n]\) es causal, sus dos componentes son bilaterales.

Nota✏️ Ejercicio 12: La energía se reparte entre las dos componentes

Demuestra que, para una señal real, la energía es la suma de las energías de sus componentes:

\[E_x = E_{x_p} + E_{x_i}\]

Comprueba después el resultado con la secuencia \(x[n] = \{-1,\, 2,\, \underset{\uparrow}{3},\, 1\}\) de un ejercicio anterior.

Sustituyendo \(x[n] = x_p[n] + x_i[n]\) en la definición de energía y desarrollando el cuadrado:

\[ E_x = \sum_{n=-\infty}^{\infty} \big(x_p[n] + x_i[n]\big)^2 = \underbrace{\sum_n x_p^2[n]}_{E_{x_p}} + \underbrace{\sum_n x_i^2[n]}_{E_{x_i}} + 2\sum_n x_p[n]\,x_i[n] \]

Todo depende del término cruzado. Su sumando es el producto de una señal par por una impar, que es impar:

\[ g[-n] = x_p[-n]\,x_i[-n] = x_p[n]\cdot\big(-x_i[n]\big) = -g[n] \]

Y la suma de una señal impar sobre todo el eje es nula, porque los términos se cancelan dos a dos (\(g[-n]\) con \(g[n]\)) y el del centro vale \(g[0] = 0\). Luego el término cruzado desaparece y queda \(E_x = E_{x_p} + E_{x_i}\).

Comprobación. Con las componentes ya calculadas para esa secuencia:

\(-2\) \(-1\) \(0\) \(1\) \(2\) Energía
\(x[n]\) −1 2 3 1 0 \(1 + 4 + 9 + 1 = 15\)
\(x_p[n]\) −0.5 1.5 3 1.5 −0.5 \(0.25 + 2.25 + 9 + 2.25 + 0.25 = 14\)
\(x_i[n]\) −0.5 0.5 0 −0.5 0.5 \(0.25 + 0.25 + 0 + 0.25 + 0.25 = 1\)

En efecto, \(14 + 1 = 15 = E_x\).

El razonamiento no depende de que la señal sea discreta: en continua se repite palabra por palabra cambiando el sumatorio por \(\int_{-\infty}^{\infty}\), porque la integral de una función impar en un intervalo simétrico también es nula. La consecuencia práctica es que la energía de cada componente se puede calcular por separado, sin términos de interferencia entre ellas.

Periodicidad

Nota✏️ Ejercicio 13: Periodo de sinusoides

Determina el periodo de las siguientes señales sinusoidales continuas (\(t\) en s):

a) \(y(t) = 5\cos\!\left(20\pi t - \dfrac{\pi}{10}\right)\)

b) \(y(t) = 7\cos\!\left(150\pi t + \dfrac{\pi}{4}\right) + 15\cos\!\left(300\pi t + \dfrac{\pi}{2}\right)\)

a) \(\omega_0 = 20\pi \;\Rightarrow\; T = \dfrac{2\pi}{20\pi} = 0.1\,\text{s}\). La fase no influye en el periodo.

b) Frecuencias: \(f_1 = 75\,\text{Hz}\) (\(T_1 = 1/75\,\text{s}\)) y \(f_2 = 150\,\text{Hz}\) (\(T_2 = 1/150\,\text{s}\)). El cociente \(T_1/T_2 = 2\) es racional, así que la suma es periódica. La frecuencia fundamental es el máximo común divisor, \(f_0 = \text{mcd}(75, 150) = 75\,\text{Hz}\):

\[ T = \text{mcm}(T_1, T_2) = \frac{1}{75}\,\text{s} \approx 13.3\,\text{ms} \]

Nota✏️ Ejercicio 14: Periodicidad y periodo fundamental

Determina si cada una de las siguientes señales es periódica o no. Si es periódica, determina su periodo fundamental.

a) \(x(t) = \cos\!\left(t + \dfrac{\pi}{4}\right)\)

b) \(x(t) = \sin\dfrac{2\pi}{3}t\)

c) \(x(t) = \cos\dfrac{\pi}{3}t + \sin\dfrac{\pi}{4}t\)

d) \(x(t) = \cos t + \sin\sqrt{2}\,t\)

e) \(x(t) = \sin^2 t\)

f) \(x(t) = e^{j[(\pi/2)t - 1]}\)

a) \(\omega_0 = 1 \;\Rightarrow\;\) periódica, \(T = 2\pi\).

b) \(\omega_0 = \dfrac{2\pi}{3} \;\Rightarrow\;\) periódica, \(T = \dfrac{2\pi}{2\pi/3} = 3\).

c) \(T_1 = \dfrac{2\pi}{\pi/3} = 6\) y \(T_2 = \dfrac{2\pi}{\pi/4} = 8\). Como \(T_1/T_2 = 3/4\) es racional, es periódica con

\[ T = \text{mcm}(6, 8) = 24 \]

d) \(T_1 = 2\pi\) y \(T_2 = \dfrac{2\pi}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}\,\pi\). El cociente \(T_1/T_2 = \sqrt{2}\) es irracional. No es periódica.

e) \(\sin^2 t = \dfrac{1 - \cos 2t}{2} \;\Rightarrow\;\) periódica, \(T = \dfrac{2\pi}{2} = \pi\).

f) \(x(t) = e^{-j}\,e^{j\frac{\pi}{2}t}\), con \(\omega_0 = \dfrac{\pi}{2} \;\Rightarrow\;\) periódica, \(T = \dfrac{2\pi}{\pi/2} = 4\).

Nota✏️ Ejercicio 15: Periodo de muestreo

La señal continua \(x(t) = 10\cos(150\pi t)\), con \(t\) en segundos, se muestrea con un periodo de muestreo \(T\) obteniendo la señal discreta \(x(n) = 10\cos\!\left(\dfrac{\pi n}{2}\right)\). Determina el periodo de muestreo \(T\). ¿Es único?

Al muestrear:

\[ x(nT) = 10\cos(150\pi T\, n) \]

Para que coincida con \(10\cos(\pi n / 2)\) en todo \(n\), las frecuencias digitales deben ser iguales salvo múltiplos de \(2\pi\) y salvo el signo (el coseno es par):

\[ 150\pi T = \pm\frac{\pi}{2} + 2\pi k \;\Rightarrow\; T = \frac{4k \pm 1}{300}, \quad k \in \mathbb{Z} \]

Los valores positivos de \(4k \pm 1\) son todos los impares, así que

\[ T = \frac{2m + 1}{300}\,\text{s}, \qquad m = 0, 1, 2, \ldots \]

es decir, \(T = \dfrac{1}{300}\,\text{s},\ \dfrac{1}{100}\,\text{s},\ \dfrac{1}{60}\,\text{s},\ \dfrac{7}{300}\,\text{s}, \ldots\)

No es único. Solo \(T = 1/300\,\text{s}\) (\(f_s = 300\,\text{Hz} > 2\cdot 75\,\text{Hz}\)) cumple el criterio de Nyquist; el resto produce aliasing. Por ejemplo, con \(T = 1/100\,\text{s}\) la componente de \(75\,\text{Hz}\) aparece en \(75 - 100 = -25\,\text{Hz}\), que da la misma frecuencia digital \(2\pi \cdot 25/100 = \pi/2\).

Operaciones con señales

Nota✏️ Ejercicio 16: Operaciones sobre un pulso bipolar

Determina, de manera gráfica, las señales que se obtienen tras aplicar las siguientes operaciones:

a) \(y(t) = 2x(t+2)\)

b) \(y(t) = x(-t) + 1\)

c) \(y(t) = 3x(t/2)\)

d) \(y(t) = x(3t)\)

La señal original es \(x(t) = -1\) para \(-2 < t < 0\), \(x(t) = 1\) para \(0 < t < 2\) y \(0\) en el resto.

a) \(y(t) = 2x(t + 2)\): se adelanta la señal 2 unidades (desplazamiento a la izquierda) y se multiplica la amplitud por 2. Vale \(-2\) en \((-4, -2)\) y \(2\) en \((-2, 0)\).

b) \(y(t) = x(-t) + 1\): se refleja respecto al eje vertical, \(x(-t) = 1\) en \((-2, 0)\) y \(-1\) en \((0, 2)\), y se suma 1. Vale \(2\) en \((-2, 0)\), \(0\) en \((0, 2)\) y \(1\) para \(|t| > 2\).

c) \(y(t) = 3x(t/2)\): se expande en el tiempo un factor 2 y se multiplica la amplitud por 3. Vale \(-3\) en \((-4, 0)\) y \(3\) en \((0, 4)\).

d) \(y(t) = x(3t)\): se comprime en el tiempo un factor 3. Vale \(-1\) en \((-2/3, 0)\) y \(1\) en \((0, 2/3)\).

Nota✏️ Ejercicio 17: Operaciones sobre un trapecio

Determina, de manera gráfica, las señales que se obtienen tras aplicar las siguientes operaciones:

a) \(y(t) = x(-t+2) + 1\)

b) \(y(t) = -x(-t)\)

c) \(y(t) = 3x(2t) + 1\)

d) \(y(t) = x(-t/2)\)

La señal original es un trapecio: \(x(t) = t\) en \([0, 1]\), \(x(t) = 1\) en \([1, 2]\), \(x(t) = 3 - t\) en \([2, 3]\) y \(0\) en el resto. Un método sistemático es transformar sus puntos de ruptura: si la operación es \(x(\alpha t + \beta)\), el punto \(s\) del eje original pasa a \(t = (s - \beta)/\alpha\).

a) \(y(t) = x(-t + 2) + 1\). Con \(s = 2 - t\): \(s = 0, 1, 2, 3 \mapsto t = 2, 1, 0, -1\). El trapecio queda reflejado y apoyado en \([-1, 2]\), y después se eleva 1 unidad: vale \(1\) fuera de \([-1, 2]\), sube de \(1\) a \(2\) en \([-1, 0]\), vale \(2\) en \([0, 1]\) y baja a \(1\) en \([1, 2]\).

b) \(y(t) = -x(-t)\). Con \(s = -t\): \(s = 0, 1, 2, 3 \mapsto t = 0, -1, -2, -3\). Se refleja respecto al eje vertical y se invierte el signo: baja de \(0\) a \(-1\) en \([-3, -2]\), vale \(-1\) en \([-2, -1]\) y vuelve a \(0\) en \([-1, 0]\).

c) \(y(t) = 3x(2t) + 1\). Con \(s = 2t\): \(s = 0, 1, 2, 3 \mapsto t = 0, \tfrac{1}{2}, 1, \tfrac{3}{2}\). Se comprime un factor 2, se multiplica por 3 y se eleva 1: vale \(1\) fuera de \([0, 1.5]\), sube de \(1\) a \(4\) en \([0, 0.5]\), vale \(4\) en \([0.5, 1]\) y baja a \(1\) en \([1, 1.5]\).

d) \(y(t) = x(-t/2)\). Con \(s = -t/2\): \(s = 0, 1, 2, 3 \mapsto t = 0, -2, -4, -6\). Se refleja y se expande un factor 2: sube de \(0\) a \(1\) en \([-6, -4]\), vale \(1\) en \([-4, -2]\) y baja a \(0\) en \([-2, 0]\).

Nota✏️ Ejercicio 18: Orden de las operaciones

Sea \(x(t)\) un pulso rectangular que vale 1 en el intervalo \(0 \leq t \leq 2\) y 0 fuera de él.

a) Describe la secuencia de operaciones que lleva de \(x(t)\) a \(y(t)\).

b) Dibuja \(x(t)\) y toda la secuencia de señales intermedias hasta obtener \(y(t)\).

c) Determina de forma analítica el intervalo en el que \(y(t) = x(-2t + 4)\) es distinta de cero y comprueba que coincide con la representación gráfica.

a) Reescribiendo el argumento como \(-2t + 4 = -2(t - 2)\) se lee la secuencia directamente:

  1. Escalar por 2: \(x(2t)\) → el pulso se comprime a \([0,\,1]\).
  2. Reflejar: \(x(-2t)\) → pasa a \([-1,\,0]\).
  3. Desplazar 2 unidades a la derecha, que es \(b/a = 4/2 = 2\) y no 4: \(x(-2(t-2))\) → queda en \([1,\,2]\).

NOTA: Desplazando primero 4 unidades se obtendría \(x(t-4)\), sobre \([4,\,6]\), y al escalar después resultaría \(x(-2t-4)\), cuyo soporte es \([-3,\,-2]\): la misma anchura, pero en un instante completamente distinto. El orden no es conmutativo.

b) Dibujando un paso tras otro, con los mismos ejes en los cuatro paneles para poder comparar:

La reflexión del segundo paso no se aprecia en la forma del pulso porque este es simétrico: solo se nota en que el soporte pasa de \([0,\,1]\) a \([-1,\,0]\). Con una señal asimétrica se vería además cómo se intercambian sus extremos.

c) La señal es no nula cuando su argumento cae dentro del intervalo original:

\[ 0 \leq -2t + 4 \leq 2 \quad\Longrightarrow\quad -4 \leq -2t \leq -2 \quad\Longrightarrow\quad 1 \leq t \leq 2 \]

Por tanto, la señal \(y(t)\) es distinta de cero en el intervalo \([1,\,2]\), que es exactamente el soporte del último panel del apartado anterior. La anchura es 1, la mitad de la original, como corresponde a una compresión por un factor 2.

NOTA: Recuerda que al dividir una desigualdad entre un número negativo (\(-2\), en este caso) se invierten los signos de la misma.

Energía y potencia

Nota✏️ Ejercicio 19: Energía de una exponencial discreta

Calcula la energía de la señal \(x[n] = 3\cdot(0.5)^n\cdot u[n]\).

\[ E = \sum_{n=0}^{\infty} \big|3\,(0.5)^n\big|^2 = 9\sum_{n=0}^{\infty} (0.25)^n = \frac{9}{1 - 0.25} = 12 \]

Es una señal de energía (\(E = 12\), \(P = 0\)).

Nota✏️ Ejercicio 20: Potencia media de señales discretas

Calcula la potencia media de las siguientes señales:

a) \(x[n] = 4\cos(0.2\pi n)\)

b) \(x[n] = 2e^{j0.5\pi n}\)

c) \(x[n] = 3u[n]\)

a) Es periódica con \(N_0 = \dfrac{2\pi}{0.2\pi} = 10\), así que basta promediar en un periodo:

\[ P = \frac{1}{10}\sum_{n=0}^{9} 16\cos^2(0.2\pi n) = \frac{16}{10}\sum_{n=0}^{9} \frac{1 + \cos(0.4\pi n)}{2} = \frac{16}{10}\cdot 5 = 8 \]

(la suma de \(\cos(0.4\pi n)\) en un periodo completo es nula). Coincide con \(A^2/2\).

b) \(|x[n]|^2 = |2|^2\,|e^{j0.5\pi n}|^2 = 4\) para todo \(n\), luego \(P = 4\).

c)

\[ P = \lim_{N\to\infty} \frac{1}{2N+1}\sum_{n=0}^{N} 9 = \lim_{N\to\infty} \frac{9(N+1)}{2N+1} = \frac{9}{2} = 4.5 \]

Nota✏️ Ejercicio 21: ¿Energía o potencia?

Determina si las siguientes señales son de energía, de potencia o de ninguno de los dos tipos:

a) \(x(t) = e^{-at}u(t)\), \(a > 0\)

b) \(x(t) = A\cos(\omega_0 t + \theta)\)

c) \(x(t) = t\,u(t)\)

a)

\[ E = \int_0^{\infty} e^{-2at}\,dt = \frac{1}{2a} < \infty \]

Señal de energía (\(P = 0\)).

b) \(E = \infty\) (no decae). Potencia, para \(\omega_0 \neq 0\):

\[ P = \lim_{T\to\infty} \frac{1}{2T}\int_{-T}^{T} A^2\cos^2(\omega_0 t + \theta)\,dt = \lim_{T\to\infty} \frac{A^2}{2T}\int_{-T}^{T} \frac{1 + \cos(2\omega_0 t + 2\theta)}{2}\,dt = \frac{A^2}{2} \]

Señal de potencia.

c) \(E = \displaystyle\int_0^{\infty} t^2\,dt = \infty\) y

\[ P = \lim_{T\to\infty} \frac{1}{2T}\int_0^{T} t^2\,dt = \lim_{T\to\infty} \frac{T^2}{6} = \infty \]

Ninguna de las dos.

Nota✏️ Ejercicio 22: Energía y potencia de tres señales

Determina la energía y la potencia de:

a) \(y(n) = u(n) - u(n-L)\) siendo \(L\) un número entero positivo

b) \(x(t) = 10\cdot e^{5t}\cdot u(t)\)

c) \(x(n) = j\cdot e^{5jn}\cdot u(-n)\)

a) \(y(n) = 1\) para \(0 \leq n \leq L-1\) y \(0\) en el resto (\(L\) muestras):

\[ E = \sum_{n=0}^{L-1} 1 = L \qquad P = 0 \]

Señal de energía.

b) La señal crece exponencialmente:

\[ E = \int_0^{\infty} 100\,e^{10t}\,dt = \infty \qquad P = \lim_{T\to\infty} \frac{1}{2T}\int_0^{T} 100\,e^{10t}\,dt = \lim_{T\to\infty} \frac{10\,(e^{10T} - 1)}{2T} = \infty \]

Ni de energía ni de potencia.

c) \(|x(n)|^2 = |j|^2\,|e^{5jn}|^2 = 1\) para \(n \leq 0\) y \(0\) para \(n > 0\):

\[ E = \sum_{n=-\infty}^{0} 1 = \infty \qquad P = \lim_{N\to\infty} \frac{1}{2N+1}\sum_{n=-N}^{0} 1 = \lim_{N\to\infty} \frac{N+1}{2N+1} = \frac{1}{2} \]

Señal de potencia.

Nota✏️ Ejercicio 23: Energía de un pulso parabólico

Determina la energía de la señal continua definida como

\[ x(t) = \begin{cases} \dfrac{1}{2}\,\big[9 - t^2\big] & -3 \leq t \leq 3 \\[2mm] 0 & |t| > 3 \end{cases} \]

¿Cuánto vale su potencia?

Como el integrando es par, se integra en \([0, 3]\) y se multiplica por 2:

\[ E = \int_{-3}^{3} \frac{1}{4}\big(9 - t^2\big)^2\,dt = \frac{1}{2}\int_0^{3} \big(81 - 18t^2 + t^4\big)\,dt = \frac{1}{2}\left[81t - 6t^3 + \frac{t^5}{5}\right]_0^3 \]

\[ E = \frac{1}{2}\left(243 - 162 + \frac{243}{5}\right) = \frac{1}{2}\cdot\frac{648}{5} = \frac{324}{5} = 64.8 \]

Al tener energía finita, su potencia es \(P = 0\).

Nota✏️ Ejercicio 24: Energía y potencia: casos combinados

Determina la energía y la potencia de las siguientes señales:

a) \(x(t) = \big[10\cdot e^{-3t} + 5\cdot e^{-5t}\big]\cdot u(t)\)

b) \(x(n) = \dfrac{1}{2}\cdot\big[u(n-3) + u(-n)\big]\)

c) \(x(t) = \dfrac{1}{2}\cdot e^{j\left(wt + 2wt^2 + 3wt^3\right)}\)

a) Desarrollando el cuadrado (incluido el término cruzado):

\[ |x(t)|^2 = \big(100\,e^{-6t} + 100\,e^{-8t} + 25\,e^{-10t}\big)\,u(t) \]

\[ E = \frac{100}{6} + \frac{100}{8} + \frac{25}{10} = \frac{50}{3} + \frac{25}{2} + \frac{5}{2} = \frac{95}{3} \approx 31.67 \qquad P = 0 \]

Señal de energía.

b) \(u(-n) = 1\) para \(n \leq 0\) y \(u(n-3) = 1\) para \(n \geq 3\); no se solapan. Por tanto, \(x(n) = \tfrac{1}{2}\) para \(n \leq 0\) y para \(n \geq 3\), y \(x(1) = x(2) = 0\). Como \(|x(n)|^2 = \tfrac{1}{4}\) en infinitas muestras, \(E = \infty\). En \([-N, N]\) hay \(N + 1\) muestras con \(n \leq 0\) y \(N - 2\) con \(n \geq 3\):

\[ P = \lim_{N\to\infty} \frac{1}{2N+1}\cdot\frac{1}{4}\big[(N+1) + (N-2)\big] = \lim_{N\to\infty} \frac{1}{4}\cdot\frac{2N-1}{2N+1} = \frac{1}{4} \]

Señal de potencia.

c) Con \(w\) real, el exponente es imaginario puro, así que \(|x(t)|^2 = \tfrac{1}{4}\) para todo \(t\):

\[ E = \infty \qquad P = \lim_{T\to\infty} \frac{1}{2T}\int_{-T}^{T} \frac{1}{4}\,dt = \frac{1}{4} \]

Señal de potencia.

Convolución y correlación

Nota✏️ Ejercicio 25: Convolución con un impulso desplazado

Calcula \(w[n] = x[n] * y[n]\) siendo

\[x[n] = \delta[n-2] \qquad\qquad y[n] = \left(\tfrac{1}{4}\right)^n u[n]\]

No hace falta desarrollar ninguna suma: el impulso selecciona un único término del sumatorio, el de \(k = 2\).

\[ w[n] = \sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta[k-2]\,y[n-k] = y[n-2] \]

Por tanto

\[ \boxed{w[n] = \left(\tfrac{1}{4}\right)^{n-2} u[n-2]} \]

Es la propiedad más útil de la convolución: \(\delta[n]\) es su elemento neutro (\(x[n] * \delta[n] = x[n]\)) y \(\delta[n - n_0]\) retrasa la señal \(n_0\) muestras sin deformarla. Aquí la exponencial sale intacta, pero empezando en \(n = 2\) en vez de en \(n = 0\).

Nota✏️ Ejercicio 26: Convolución con la primera diferencia

Calcula \(w[n] = x[n] * y[n]\) siendo

\[x[n] = u[n] - u[n-3] \qquad\qquad y[n] = \delta[n] - \delta[n-1]\]

La primera señal es el pulso \(x[n] = \{\underset{\uparrow}{1},\, 1,\, 1\}\). Para la segunda conviene no tocar los impulsos: por linealidad, y usando que convolucionar con \(\delta[n-n_0]\) retrasa,

\[ w[n] = x[n] * \delta[n] - x[n] * \delta[n-1] = x[n] - x[n-1] \]

que es la primera diferencia de \(x[n]\). Restando muestra a muestra:

\(n\) 0 1 2 3
\(x[n]\) 1 1 1 0
\(x[n-1]\) 0 1 1 1
\(w[n]\) 1 0 0 −1

\[ \boxed{w[n] = \delta[n] - \delta[n-3]} \]

El resultado se queda solo con los flancos del pulso: un \(+1\) donde sube y un \(-1\) donde baja, y cero en la zona plana, porque ahí \(x[n]\) y \(x[n-1]\) valen lo mismo. Es el equivalente discreto de derivar, y la base de los detectores de bordes.

Nota✏️ Ejercicio 27: Convolución de dos secuencias finitas

Calcula \(w[n] = x_1[n] * x_2[n]\) siendo

\[x_1[n] = \{\underset{\uparrow}{1},\, -1,\, 2\} \qquad\qquad x_2[n] = \{\underset{\uparrow}{2},\, 1,\, -1,\, 2\}\]

Por el método tabular: una fila por cada muestra de \(x_1[k]\), con los productos \(x_1[k]\,x_2[n-k]\) desplazados \(k\) posiciones, y después se suma por columnas.

\(n=0\) \(n=1\) \(n=2\) \(n=3\) \(n=4\) \(n=5\)
\(x_1[0]=1\) 2 1 −1 2
\(x_1[1]=-1\) −2 −1 1 −2
\(x_1[2]=2\) 4 2 −2 4
\(w[n]\) 2 −1 2 5 −4 4

\[ \boxed{w[n] = \{\underset{\uparrow}{2},\, -1,\, 2,\, 5,\, -4,\, 4\}} \]

La longitud es \(L_1 + L_2 - 1 = 3 + 4 - 1 = 6\) muestras, y como las dos señales empiezan en \(n = 0\), el resultado también.

Nota✏️ Ejercicio 28: Convolución con una señal que empieza antes del origen

Calcula \(w[n] = x_1[n] * x_2[n]\) siendo

\[x_1[n] = \{\underset{\uparrow}{2},\, -1,\, 3,\, 1\} \qquad\qquad x_2[n] = \{1,\, \underset{\uparrow}{0},\, 2,\, -1\}\]

Mismo método tabular, pero ahora \(x_2[n]\) empieza en \(n = -1\), así que la tabla arranca una columna antes del origen:

\(n=-1\) \(n=0\) \(n=1\) \(n=2\) \(n=3\) \(n=4\) \(n=5\)
\(x_1[0]=2\) 2 0 4 −2
\(x_1[1]=-1\) −1 0 −2 1
\(x_1[2]=3\) 3 0 6 −3
\(x_1[3]=1\) 1 0 2 −1
\(w[n]\) 2 −1 7 −3 7 −1 −1

\[ \boxed{w[n] = \{2,\, \underset{\uparrow}{-1},\, 7,\, -3,\, 7,\, -1,\, -1\}} \]

Conviene fijar la regla general del soporte: si \(x_1[n]\) es no nula entre \(a_1\) y \(b_1\), y \(x_2[n]\) entre \(a_2\) y \(b_2\), entonces \(w[n]\) es no nula entre \(a_1 + a_2\) y \(b_1 + b_2\). Aquí, entre \(0 + (-1) = -1\) y \(3 + 2 = 5\), es decir \(L_1 + L_2 - 1 = 4 + 4 - 1 = 7\) muestras. La primera, \(w[-1] = x_1[0]\,x_2[-1] = 2\), es el único producto que solapa en ese instante.

Nota✏️ Ejercicio 29: Convolución de dos secuencias adelantadas

Calcula \(w[n] = x_1[n] * x_2[n]\) siendo

\[x_1[n] = \{1,\, \underset{\uparrow}{2},\, -1\} \qquad\qquad x_2[n] = \{2,\, \underset{\uparrow}{-1},\, 3\}\]

Ahora son las dos señales las que empiezan en \(n = -1\), así que la tabla arranca en \(n = -1 + (-1) = -2\):

\(n=-2\) \(n=-1\) \(n=0\) \(n=1\) \(n=2\)
\(x_1[-1]=1\) 2 −1 3
\(x_1[0]=2\) 4 −2 6
\(x_1[1]=-1\) −2 1 −3
\(w[n]\) 2 3 −1 7 −3

\[ \boxed{w[n] = \{2,\, 3,\, \underset{\uparrow}{-1},\, 7,\, -3\}} \]

Se confirma la regla del soporte: \(w[n]\) va de \(a_1 + a_2 = -2\) a \(b_1 + b_2 = 1 + 1 = 2\), es decir \(L_1 + L_2 - 1 = 3 + 3 - 1 = 5\) muestras. Como los dos adelantos se suman, el resultado queda centrado dos muestras antes de donde estaría si ambas secuencias fuesen causales: el desplazamiento de cada señal se traslada íntegro a la convolución.

Nota✏️ Ejercicio 30: Convolución de un pulso consigo mismo

Calcula \(w[n] = x[n] * y[n]\) siendo

\[x[n] = y[n] = u[n] - u[n-4]\]

Las dos señales son el mismo pulso rectangular de cuatro muestras, \(\{\underset{\uparrow}{1},\, 1,\, 1,\, 1\}\). Como todas las muestras valen 1, cada producto del sumatorio vale 1 o 0, y la convolución se reduce a contar cuántas muestras solapan:

\[ w[n] = \sum_k x[k]\,x[n-k], \qquad \text{con } 0 \leq k \leq 3 \;\text{ y }\; n-3 \leq k \leq n \]

Las dos condiciones dejan la ventana \(\max(0,\, n-3) \leq k \leq \min(3,\, n)\), cuyo número de términos es

  • \(n + 1\) mientras \(0 \leq n \leq 3\) (el solape va creciendo),
  • \(7 - n\) mientras \(3 \leq n \leq 6\) (el solape se va perdiendo).

\[ \boxed{w[n] = 4 - |n - 3| \;\text{ para } 0 \leq n \leq 6} \qquad\Longrightarrow\qquad w[n] = \{\underset{\uparrow}{1},\, 2,\, 3,\, 4,\, 3,\, 2,\, 1\} \]

Un pulso rectangular convolucionado consigo mismo da un triángulo: dura \(4 + 4 - 1 = 7\) muestras, está centrado en \(n = 3\) y su pico vale 4, que es justo el número de muestras del pulso. Es el caso discreto del mismo resultado que en continuo convierte un pulso en una señal triangular.

Nota✏️ Ejercicio 31: Convolución de dos exponenciales causales

Calcula \(w[n] = x[n] * y[n]\) siendo

\[x[n] = \left(\tfrac{1}{2}\right)^n u[n] \qquad\qquad y[n] = \left(\tfrac{1}{3}\right)^n u[n]\]

Las dos señales son de duración infinita, así que no cabe tabla: hay que plantear la suma y resolverla. Los dos escalones acotan el sumatorio por los dos lados:

\[ w[n] = \sum_{k=-\infty}^{\infty} \left(\tfrac{1}{2}\right)^{k} \underbrace{u[k]}_{k\,\geq\,0} \left(\tfrac{1}{3}\right)^{n-k} \underbrace{u[n-k]}_{k\,\leq\,n} = \sum_{k=0}^{n} \left(\tfrac{1}{2}\right)^{k}\left(\tfrac{1}{3}\right)^{n-k} \]

y la ventana \(0 \leq k \leq n\) solo tiene muestras si \(n \geq 0\). Sacando factor común \(\left(\tfrac{1}{3}\right)^{n}\) queda una serie geométrica de razón \(\tfrac{3}{2}\):

\[ w[n] = \left(\tfrac{1}{3}\right)^{n} \sum_{k=0}^{n} \left(\tfrac{3}{2}\right)^{k} = \left(\tfrac{1}{3}\right)^{n}\;\frac{\left(\tfrac{3}{2}\right)^{n+1} - 1}{\tfrac{3}{2} - 1} = 2\left(\tfrac{1}{3}\right)^{n}\left(\tfrac{3}{2}\right)^{n+1} - 2\left(\tfrac{1}{3}\right)^{n} \]

y, como \(\left(\tfrac{1}{3}\right)^{n}\left(\tfrac{3}{2}\right)^{n} = \left(\tfrac{1}{2}\right)^{n}\):

\[ \boxed{w[n] = \left(3\left(\tfrac{1}{2}\right)^{n} - 2\left(\tfrac{1}{3}\right)^{n}\right) u[n]} \]

Comprobación en las dos primeras muestras: \(w[0] = 3 - 2 = 1\), que es \(x[0]\,y[0]\); y \(w[1] = \tfrac{3}{2} - \tfrac{2}{3} = \tfrac{5}{6}\), que es \(x[0]y[1] + x[1]y[0] = \tfrac{1}{3} + \tfrac{1}{2}\).

El resultado es el caso particular de una fórmula que conviene recordar: para \(a \neq b\),

\[ a^n u[n] * b^n u[n] = \frac{a^{n+1} - b^{n+1}}{a - b}\,u[n] \]

Nótese que la suma decae como la más lenta de las dos exponenciales, \(\left(\tfrac{1}{2}\right)^n\).

Nota✏️ Ejercicio 32: Convolución y correlación

Dadas las señales de duración finita

\[x_1[n] = \{\underset{\uparrow}{1},\, 1,\, 1\} \qquad\qquad x_2[n] = \{\underset{\uparrow}{1},\, 2\}\]

a) Calcula \(y[n] = (x_1 * x_2)[n]\) e indica cuántas muestras no nulas tiene.

b) Calcula la correlación cruzada \(R_{x_1x_2}[l] = \sum_n x_1[n]\,x_2[n+l]\).

c) ¿Por qué los dos resultados no coinciden?

a) Convolución. Aplicando \((x_1 * x_2)[n] = \sum_k x_1[k]\,x_2[n-k]\):

\(n\) 0 1 2 3
\(y[n]\) \(1\cdot1 = 1\) \(1\cdot2 + 1\cdot1 = 3\) \(1\cdot2 + 1\cdot1 = 3\) \(1\cdot2 = 2\)

\[ \boxed{y[n] = \{\underset{\uparrow}{1},\, 3,\, 3,\, 2\}} \]

El número de muestras es \(L_y = L_1 + L_2 - 1 = 3 + 2 - 1 = 4\).

b) Correlación cruzada. Ahora no se refleja ninguna señal; se desliza \(x_2\) y se suman los productos:

\(l\) \(-2\) \(-1\) \(0\) \(1\)
\(R_{x_1x_2}[l]\) \(1\cdot1 = 1\) \(1\cdot1 + 1\cdot2 = 3\) \(1\cdot1 + 1\cdot2 = 3\) \(1\cdot2 = 2\)

\[ \boxed{R_{x_1x_2}[l] = \{1,\, 3,\, \underset{\uparrow}{3},\, 2\}} \]

c) Los valores coinciden, pero ocupan posiciones distintas: la convolución vive en \(n = 0\ldots3\) y la correlación en \(l = -2\ldots1\). La razón es que la convolución refleja una de las señales y la correlación no. Aquí los valores son los mismos porque \(x_1\) es simétrica; con una \(x_1\) asimétrica tampoco coincidirían.