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Contenidos

  1. Introducción
  2. Continuas y discretas, analógicas y digitales
  3. Señales elementales y periodicidad
  4. Clasificación de señales
  5. Operaciones con señales
  6. Energía y potencia
  7. Correlación y convolución

Prerrequisitos

  • Matemáticas I
  • Matemáticas II
  • Circuitos Electrónicos

Introducción

Antes que nada

¿Qué es una señal?

Una señal es una función que transporta información sobre un fenómeno.

  • La voz: presión acústica que varía en el tiempo.
  • Una imagen digital: función de dos variables espaciales.
  • Un electrocardiograma: actividad eléctrica del corazón.
  • El precio de cierre de una acción: un valor al final de cada día.

Una señal es una función

Una función asigna a cada valor de la variable independiente uno relacionado con la variable dependiente. Matemáticamente, lo expresamos como

\[x: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \qquad t \;\longmapsto\; x(t)\]

  • Variable independiente (\(t\)): es el dominio o la entrada aquello de lo que depende la señal
  • Variable dependiente (\(x\)): es la salida, el valor que toma la señal
  • Notación: \(x(t)\) es el valor en el instante \(t\)

Conjuntos numéricos

Conveniene repasar los conjuntos numéricos:

  • \(\mathbb{N}\) naturales: \(1, 2, 3, \dots\)
    • Los usaremos para contar muestras o múltiplos de un periodo
  • \(\mathbb{Z}\) enteros: \(\dots, -2, -1, 0, 1, 2, \dots\)
    • Será el índice \(n\) de las señales discretas
  • \(\mathbb{Q}\) racionales: aquellos que pueden expresarse como \(p/q\) siendo \(p, q \in \mathbb{Z}\)
    • Los usaremos para expresar relaciones de periodos y frecuencias
  • \(\mathbb{R}\) reales: incluyen también los números irracionales (\(\pi\), \(\sqrt{2}\), …)
    • Los usaremos para expresar valores de amplitud, tiempo y frecuencia
  • \(\mathbb{C}\) complejos: \(a + jb\), con \(j^2 = -1\)
    • Se usan para representar amplitudes y fases de señales que oscilan

Relación entre conjuntos

Cada conjunto contiene al anterior: \(\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C}\).

Trigonometría básica

  • Círculo unitario: el punto de ángulo \(\theta\) es \((\cos\theta,\ \sin\theta)\)
  • Radianes: \(\pi\ \text{rad} = 180^\circ\), una vuelta son \(2\pi\)
  • Identidad fundamental: \(\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1\)
  • Periodicidad: \[\cos(\theta + 2\pi) = \cos\theta\] \[\sin(\theta + 2\pi) = \sin\theta\]
  • Paridad: \[\cos(-\theta) = \cos\theta\] \[\sin(-\theta) = -\sin\theta\]
  • Desfase: \(\sin(\theta + \pi/2) = \cos\theta\)
  • Suma de ángulos: \[\cos(a \pm b) = \cos a \cos b \mp \sin a \sin b\] \[\sin(a \pm b) = \sin a \cos b \pm \cos a \sin b\]

Señales senoidales

  • Ecuación:

\[x(t) = A\cos(\omega t + \phi)\]

  • Amplitud: \(A\) (valor máximo)
  • Pulsación: \(\omega = \frac{2\pi}{T} = 2\pi f\) (rad/s)
  • Fase: \(\phi\) (rad)
  • Periodo: \(T = \dfrac{2\pi}{\omega} = \dfrac{1}{f}\)
  • Desfase temporal: \(x(t) = A\cos\big(\omega(t - t_0)\big)\), con \(t_0 = -\dfrac{\phi}{\omega}\)
    • \(\phi > 0\): adelantada (hacia la izquierda)
    • \(\phi < 0\): retrasada (hacia la derecha)

\(x(t) = 2\cos(\pi t + \pi/2)\): \(T = 2\) s y \(t_0 = -0{,}5\) s

Números complejos

  • Binómica: \(z = a + jb\), con \(a = \mathrm{Re}\{z\}\), \(b = \mathrm{Im}\{z\}\) y \(j^2 = -1\)
  • Polar: \(z = |z|\,e^{j\theta}\)
    • Módulo: \(|z| = \sqrt{a^2 + b^2}\) y Fase: \(\theta = \arctan(b/a)\)
    • De polar a binómica: \(a = |z|\cos\theta\), \(b = |z|\sin\theta\)
  • Fórmula de Euler: \(e^{j\theta} = \cos\theta + j\sin\theta\), y al revés \[\cos\theta = \frac{e^{j\theta} + e^{-j\theta}}{2}, \qquad \sin\theta = \frac{e^{j\theta} - e^{-j\theta}}{2j}\]
  • Conjugado: \(z^* = a - jb = |z|e^{-j\theta}\), con \(z \cdot z^* = |z|^2\)
  • Operaciones: se suma en binómica; se multiplica y divide en polar (módulos se multiplican, fases se suman)

Lo que usaremos todo el curso

La exponencial compleja \(e^{j\theta}\) gira sobre el círculo unidad, y su parte real es una oscilación.

Cuestionario inicial

Series geométricas

Son aquellas en las que cada término se obtiene multiplicando el anterior por una razón constante \(r\).

  • Término general: \(\;a_k = a_0\,r^k\)

  • Suma Finita, con \(r \neq 1\): \(\displaystyle\sum_{k=n_1}^{n_2} r^k = \frac{r^{n_1} - r^{\,n_2+1}}{1-r}\)

  • Suma Infinita, solo si \(|r| < 1\): \(\;\displaystyle\sum_{k=n_1}^{\infty} r^k = \frac{r^{n_1}}{1-r}\)

📐 Ejemplo 1.1: Serie geométrica

Dada la serie

\[1,\ \frac{1}{2},\ \frac{1}{4},\ \frac{1}{8},\ \frac{1}{16},\ \dots\]

  1. Determina \(a_0\) y \(r\) y calcula el término general \(a_{10}\).
  2. Calcula la suma de los 3 primeros términos.
  3. Calcula su suma infinita.

Convegencia de series geométricas

Muy importante, la serie geométrica infinita \(\sum_{k=0}^{\infty} r^k\) converge solo si \(|r| < 1\), y en ese caso su suma infinita es \(1/(1-r)\).

¿Una suma infinita que vale 1?

\[\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \dots = \sum_{k=1}^{\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^k = \frac{1/2}{1 - 1/2} = 1\]

Circuitos electrónicos

Cada elemento relaciona dos señales: la tensión \(v(t)\) y la corriente \(i(t)\).

Resistencia (ley de Ohm)

\[v(t) = R\,i(t)\]

Condensador

\[i(t) = C\,\frac{dv(t)}{dt}\]

Bobina

\[v(t) = L\,\frac{di(t)}{dt}\]

Clasificación de señales

Continuas y discretas

En función del eje horizontal, una señal puede ser:

  • Continua: \(\; x(\cdot): \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), para todo instante \(t \in \mathbb{R}\).

  • Discreta: \(\; x[\cdot]: \mathbb{Z} \to \mathbb{R}\), solo en muestras \(n \in \mathbb{Z}\).

Notación

Usaremos paréntesis \((\cdot)\) para señales continuas \(x(t)\); y corchetes \([\cdot]\) para señales discretas, \(x[n]\).

Representación de señales

📐 Ejemplo 1.2: Representación de señales

Dibuja las siguientes señales:

a) \(x_1[n] = \{1,\ -1,\ \underset{\uparrow}{2},\ 3,\ 1\}\), donde la flecha indica la muestra \(n = 0\) y la señal es nula fuera de las muestras indicadas

b) \(x_2[n] = \begin{cases} \left(\tfrac{1}{2}\right)^{n}, & n \geq 0 \\ \left(\tfrac{1}{2}\right)^{-n}, & n < 0 \end{cases}\)

c) \(x_3(t) = \begin{cases} t + 1, & -1 \leq t < 1 \\ 1, & 1 \leq t < 2 \\ 0, & \text{en otro caso} \end{cases}\)

d) \(x_4(t) = |\cos(\pi t)|\)

Analógicas y digitales

En función del eje vertical, una señal puede ser:

  • Analógica: cuya amplitud puede tomar cualquier valor dentro de un rango continuo
  • Digital: cuya amplitud está restringida a un conjunto finito y discreto de valores

Muestreo y cuantización

  • Muestreo (continuo -> discreto): tomar valores solo en instantes determinados

Periodo y frecuencia de muestreo

Llamamos periodo de muestreo (\(T_s\), del inglés, sampling) al intervalo de tiempo transcurrido entre dos muestras consecutivas; y a su inversa, la frecuencia de muestreo (\(f_s = 1/T_s\)), medida en Hz.

Muestreo y cuantización

  • Cuantización (analógico -> digital): restringir la amplitud a un conjunto finito de valores

Bits y niveles de cuantización

Los cuantizadores se definen por su número de bits \(B\), que determina el número de niveles de cuantización: \(L = 2^B\).

Entradas y salidas de un Arduino Nano

📐 Ejemplo 1.3: Entradas y salidas de un Arduino Nano

Identifica las entradas y salidas del Arduino Nano y su tipo (analógico o digital).

PWM: tiempo continuo, amplitud digital

📐 Ejemplo 1.4: Señal PWM

Esto es una señal PWM. ¿Es analógica o digital? ¿Continua o discreta? Busca información sobre para qué sirve.

Señales elementales

Señales elementales

  • Existen señales que, por su imporancia y uso recurrente, se consideran elementales
  • Vamos a introducir las señales escalón, rampa, impulso, exponencial y senoidal
  • Su formulación discreta o continua suele ser similar pero con matices importantes
  • La combinación de estas señales (suma, multiplicación) junto con operaciones básicas de señales (desplazamiento, inversión, escalado) permite construir cualquier señal.

Nota

Todas las señales elementales y sus propiedades fundamentales deben ser conocidas de memoria, puesto que son la base de la asignatura. Presta especial atención a las diferencias entre las versiones discretas y continuas de las señales exponencial y senoidal ya que es motivo frecuente de confusión.

Escalón unitario

  • Definición: señal que cambia de cero a uno en el instante cero:

\[u(t) = \begin{cases} 1, & t \geq 0 \\ 0, & t < 0 \end{cases} \qquad\qquad u[n] = \begin{cases} 1, & n \geq 0 \\ 0, & n < 0 \end{cases}\]

  • Señal de prueba: es muy frecuente en sistemas de control y electrónica
  • Enventanado: multiplicar por \(u(t)\) anula cualquier señal para \(t < 0\)

Rampa unitaria

  • Definición: señal que crece linealmente a partir del instante cero:

\[r(t) = t\,u(t) \qquad\qquad r[n] = n\,u[n]\]

  • Sistemas físicos: modela, por ejemplo, la carga de un condensador con corriente constante
  • Señal de prueba: se usa para comprobar si un sistema es capaz de seguir entradas que varian lentamente

Rampa unitaria

  • Definición: señal que crece linealmente a partir del instante cero:

\[r(t) = t\,u(t) \qquad\qquad r[n] = n\,u[n]\]

Nota

Fíjate que, en la definición, la multiplicación por el escalón unitario es lo que consigue que la rampa esté definida solamente a partir del instante cero. Podemos decir aquí que el escalón actúa como “ventana”. El enventanado es un cocepto muy importante en Tratamiento Digital de Señales.

Exponencial real continua

  • Definición: señal que crece (o decrece) exponecialmente a partir del instante cero:

\[x(t) = A\,e^{at}\,u(t), \qquad a \in \mathbb{R}\]

  • EDOs: la exponencial real es fundamental para la resolución de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes, que modelan muchos sistemas físicos.

Exponencial real discreta

  • Definición: señal análoga a la exponencial real continua, pero definida solo en instantes discretos:

\[x[n] = A\,a^n\,u[n], \qquad a \in \mathbb{R} \]

Senoidal

  • Definición: señal que varía senoidalmente a partir del instante cero:

\[x(t) = A\,\cos(\omega t + \phi)\,u(t), \qquad x[n] = A\,\cos(\Omega n + \Phi)\,u[n], \qquad \omega, \Omega \in \mathbb{R} \]

  • Sistemas físicos: modela, por ejemplo, la tensión de la red eléctrica (corriente alterna a 50 Hz),
  • Series de Fourier: cualquier señal periódica puede descomponerse en una suma de senoidales.

Diferencias importantes

Las senoidales continuas y discretas presentan diferencias importantes, que conviene tener muy claras

Señales elementales en la vida cotidiana

📐 Ejemplo 1.5: Evoluciones en la vida cotidiana

Piensa situaciones de la vida cotidiana que presenten, a lo largo del tiempo, una evolución:

a) exponencial.

b) oscilatoria.

c) oscilatoria amortiguada.

Periodicidad analógica

  • Una senoidal continua \(x(t) = A\,\cos(\omega t + \phi)\) es siempre periódica y su frecuencia analógica \(\omega\) se mide en radianes por segundo (rad/s)

  • Siempre se cumple la ya conocida relación entre frecuencia y periodo

\[\omega = 2\pi f = \frac{2\pi}{T}\]

  • La suma de dos senoidales de periodos \(T_1\) y \(T_2\) es periódica si y solo si el cociente \(T_1/T_2\) es racional:

\[ \frac{T_1}{T_2} = \frac{M}{N}, \quad M, N \in \mathbb{N}\]

¿Cómo lo aplicamos?

En la práctica, si vemos que el cociente \(T_1/T_2\) es racional, entonces la suma de senoidales es periódica y \(T_0 = \text{mcm}(T_1, T_2)\).

Periodicidad digital

  • Una senoidal digital \(x[n] = A\,\cos(\Omega n + \Phi)\) no siempre es periódica y la “frecuencia digital” \(\Omega\) se mide en radianes por muestra (rad/muestra):

  • Para que sea periódica, con periodo \(N \in \mathbb{Z}\), es necesario que el desfase introducido en esas \(N\) muestras sea un múltiplo entero de \(2\pi\), es decir:

\[ \Omega N = 2\pi M, \qquad M \in \mathbb{Z} \]

¿Cómo lo aplicamos?

El periodo \(N_0\) (si existe) es el menor entero positivo que cumple

\[\frac{\Omega}{2\pi} = \frac{M}{N_0}, \qquad M, N_0 \in \mathbb{Z}\]

Si dicho cociente es irracional, la senoidal no es periódica.

  • La oscilación más rápida posible corresponde a \(\Omega = \pi\) rad/muestra, que alterna de signo en cada muestra.
  • Si \(\Omega > \pi\) rad/muestra, la senoidal se “pliega” y se comporta como si \(\Omega - 2\pi\) rad/muestra (aliasing)
  • La suma de dos senoidales digitales periódicas es siempre periódica, y su periodo es el m.c.m. de ambos

Periodicidad digital

📐 Ejemplo 1.6: Periodo y representación

Determina si las siguientes señales son periódicas y, en caso de serlo, calcula su periodo y dibújalas:

a) \(x_1[n] = \cos\left( \frac{\pi}{4}n \right)\)

b) \(x_2[n] = \cos\left( n \right)\)

💡 Solución a)

\(\dfrac{\Omega}{2\pi} = \dfrac{\pi/4}{2\pi} = \dfrac{1}{8}\) es racional: periódica con \(N_0 = 8\) (\(M = 1\)).

💡 Solución b)

\(\dfrac{\Omega}{2\pi} = \dfrac{1}{2\pi}\) es irracional: no periódica, no hay \(N_0\) entero.

Periodicidad de señales compuestas

📐 Ejemplo 1.7: Periodicidad

Determina si las siguientes señales son periódicas y, en caso de serlo, calcula su periodo:

a) \(x_1(t) = \cos(2t) + \sin(3t)\)

b) \(x_2(t) = \cos(3t) + \sin(\pi t)\)

c) \(x_5[n] = \cos\left(\dfrac{\pi n}{3}\right) + \sin\left(\dfrac{\pi n}{4}\right)\)

d) \(x_6[n] = \cos\left(\dfrac{\pi n}{5}\right) + \sin\left(\dfrac{n}{2}\right)\)

💡 Solución a)

\(T_1 = \pi\), \(T_2 = \frac{2\pi}{3}\); \(\frac{T_1}{T_2} = \frac{3}{2}\) racional: periódica, \(T_0 = \text{mcm}(\pi, 2\pi/3) = 2\pi\).

💡 Solución b)

\(T_1 = \frac{2\pi}{3}\), \(T_2 = 2\); \(\frac{T_1}{T_2} = \frac{\pi}{3}\) irracional: no periódica.

💡 Solución c)

\(\frac{\Omega_1}{2\pi} = \frac{1}{6}\) y \(\frac{\Omega_2}{2\pi} = \frac{1}{8}\): periódica, \(N_0 = \text{mcm}(6, 8) = 24\).

💡 Solución d)

\(N_1 = 10\), pero \(\frac{\Omega_2}{2\pi} = \frac{1}{4\pi}\) es irracional: no periódica.

Senoidal amortiguada continua

Senoidal amortiguada discreta

Impulso discreto (delta de Kronecker)

  • Definición: señal que vale 1 en el instante cero y 0 en cualquier otro instante:

\[\delta[n] = \begin{cases} 1, & n = 0 \\ 0, & n \neq 0 \end{cases}\]

  • Sistemas físicos: sirve para modelar un evento súbito como un golpe
  • Señal de prueba: es la señal de prueba por excelencia (respuesta impulsional)

Respuesta impulsional

Cuando excitamos un sistema con un impulso, la salida que obtenemos contiene toda la información sobre su comportamiento.

Impulso continuo (delta de Dirac)

  • Definición: señal nula en cualquier instante distinto de cero, y cuya integral es unitaria:

\[ \delta(t): \quad \int_{-\infty}^{\infty} \delta(t)\, dt = 1, \quad \delta(t) = 0 \; \forall\, t \neq 0 \]

Significado

Lo importante es comprender su significado físico, análogo al impulso discreto: un evento súbito.

Propiedades de las “deltas”

  • La delta de Dirac tiene la propiedad de “extraer” el valor de una señal en un instante concreto si se multiplica por ella y se integra:

\[\int_{-\infty}^{\infty} x(t)\,\delta(t - t_0)\,dt = x(t_0)\]

  • La delta de Kronecker tiene la misma propiedad, pero con sumatorios:

\[\sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n]\,\delta[n - n_0] = x[n_0]\]

Aplicación

Esta propiedades seran cruciales a la hora de calcular convoluciones y correlaciones ya que permiten simplificar mucho los cálculos.

Clasificación de señales

Deterministas y aleatorias

  • Determinista: una fórmula exacta; su futuro es predecible
  • Aleatoria: solo se describe estadísticamente (media, varianza…)

Pares e impares

  • Par: simétrica respecto al eje vertical: \(x(-t) = x(t)\)
  • Imopar: simétrica respecto al origen: \(x(-t) = -x(t)\)
  • Toda señal se descomponer, de forma única, en parte parte impar:

\[x(t) = \underbrace{\frac{x(t) + x(-t)}{2}}_{x_p(t)} + \underbrace{\frac{x(t) - x(-t)}{2}}_{x_i(t)}\]

Aplicación

Se puede aplicar directamente estas fórmulas para obtener la descomposición de cualquier señal en su parte par e impar.

Descomponer en par e impar

📐 Ejemplo 1.8: Descomposición de una señal continua

Dibuja la señal \(x(t) = (1 + t)^2\) y calcula su descomposición como suma de una señal par y una impar.

💡 Solución

Como \(x(-t) = (1-t)^2\), las fórmulas dan directamente:

\[x_p(t) = \frac{(1+t)^2 + (1-t)^2}{2} = 1 + t^2\]

\[x_i(t) = \frac{(1+t)^2 - (1-t)^2}{2} = 2t\]

Descomponer en par e impar

📐 Ejemplo 1.9: Descomposición de una señal discreta

Dibuja la señal \(x[n] = \{\underset{\uparrow}{1},\, 1,\, 1\}\) y calcula su descomposición como suma de una señal par y una impar.

💡 Solución

Basta tabular \(x[n]\) y \(x[-n]\) y aplicar las fórmulas muestra a muestra:

\(n\) \(-2\) \(-1\) \(0\) \(1\) \(2\)
\(x[n]\) 0 0 1 1 1
\(x[-n]\) 1 1 1 0 0
\(x_p[n]\) 0,5 0,5 1 0,5 0,5
\(x_i[n]\) −0,5 −0,5 0 0,5 0,5

Causales, anticausales y bilaterales

  • Causal: \(x[n] = 0\) para \(n < 0\). Las señales que medimos lo son.
  • Anticausal: \(x[n] = 0\) para \(n > 0\).
  • Bilateral: valores no nulos a ambos lados del origen.

Duración finita e infinita

  • Finita: distinta de cero solo en un intervalo limitado.
  • Infinita: valores no nulos en un intervalo ilimitado.

Tender a cero no hace finita a una señal.

¿Finita o infinita?

📐 Ejemplo 1.10: Duración de una señal

Representa las siguientes señales y determina si son de duración finita o infinita:

a) \(x_1[n] = u[n] - u[n-1]\)

b) \(x_2(t) = e^{-t}\cos(4\pi t) \; u(t)\)

Operaciones con señales

La señal de ejemplo

Se van a ilustrar las diferentes operaciones con la siguiente señal de ejemplo:

\[x(t) = \begin{cases} 2t, & 0 \leq t < 1 \\ 2, & 1 \leq t < 2 \\ -1, & 2 \leq t < 3 \\ 0, & \text{en otro caso} \end{cases}\]

Desplazamiento temporal

  • El desplazamiento temporal se obtiene mediante:

\[y(t) = x(t - t_0) \qquad t_0 > 0:\ \text{retardo (derecha)} \qquad t_0 < 0:\ \text{adelanto (izquierda)}\]

  • La señal se deplaza a izquierda o derecha según el signo de \(t_0\).
  • No se modifica la forma de la señal

Inversión temporal

  • La inversión temporal se consigue cambiando el signo de la variable independiente:

\[y(t) = x(-t)\]

  • El efecto es un reflejo respecto al eje vertical
  • No se modifica la forma de la señal

Escalado temporal

  • El escalado temporal se consigue multiplicando la variable independiente por un factor \(a\):

\[y(t) = x(at), \quad a > 0 \qquad a > 1:\ \text{compresión} \qquad 0 < a < 1:\ \text{expansión}\]

  • La señal se comprime o expande según el valor de \(a\).

  • En discreto, llamamos diezmado a la compresión y sobremuestreo a la expansión

El orden importa: desplazar y escalar

Queremos obtener \(y(t) = x(2t - 2)\) a partir de \(x(t)\):

Regla

Para \(y(t) = x(at + b)\), primero se desplaza, \(v(t) = x(t + b)\), y después se escala, \(y(t) = v(at)\).

Desplazamiento en amplitud

  • El desplazamiento en amplitud se obtiene sumando una constante \(c\) a la señal:

\[y(t) = x(t) + c \qquad c > 0:\ \text{sube} \qquad c < 0:\ \text{baja}\]

  • La señal se desplaza arriba o abajo según el signo de \(c\).
  • No se modifica la forma de la señal, pero sí su valor medio (componente continua).

Inversión en amplitud

  • La inversión en amplitud se consigue cambiando el signo de la variable dependiente:

\[y(t) = -x(t)\]

  • El efecto es un reflejo respecto al eje horizontal
  • No se modifica la forma de la señal

Escalado en amplitud

  • El escalado en amplitud se consigue multiplicando la señal por un factor \(A\):

\[y(t) = A\,x(t), \quad A > 0 \qquad A > 1:\ \text{amplificación} \qquad 0 < A < 1:\ \text{atenuación}\]

  • La señal se amplifica o atenúa según el valor de \(A\) (muchas veces llamado ganancia)

  • Es común expresar la ganancia en decibelios: \(A_{dB} = 20\log_{10}A\)

Adivina la transformación: \(y(t) = A\,x(at + b) + c\)

Ejercicios: transformaciones de una señal

📐 Ejemplo 1.11: Transformaciones de una señal

Dada la función:

\[x(t) = \begin{cases} t + 1, & -1 \leq t < 0 \\ 1, & 0 \leq t < 2 \\ 0, & \text{en otro caso} \end{cases}\]

dibuja, las siguientes señales:

a) \(y_1(t) = x(t-2)\) \(\qquad\) b) \(y_2(t) = x(3-t)\)

c) \(y_3(t) = x(2t+2)\) \(\qquad\) d) \(y_4(t) = -2\,x(1-t/2) +1\)

💡 Soluciones

Energía y potencia

Energía y potencia

Energía

La energía es una medida absoluta de la magnitud de una señal:

\[E_x = \sum_{n=-\infty}^{\infty} |x[n]|^2\]

\[E_x = \int_{-\infty}^{\infty} |x(t)|^2\,dt\]

Potencia media

La potencia media es una medida de la magnitud de una señal por unidad de tiempo:

\[P_x = \lim_{N\to\infty} \frac{1}{2N+1} \sum_{n=-N}^{N} |x[n]|^2\]

\[P_x = \lim_{T\to\infty} \frac{1}{2T} \int_{-T}^{T} |x(t)|^2\,dt\]

Potencia de señales periódicas

Para una señal periódica basta promediar sobre un periodo, lo que permite simplificar el cálculo de la integral (o el sumatorio).

Clasificación energética

En función de su energía y potencia, decimos que las señales son:

  • de energía: energía finita, potencia nula.
  • de potencia: energía infinita, potencia finita.
Energía Potencia Ej. Discreto Ej. Continuo
De energía \(0 < E_x < \infty\) \(P_x = 0\) \(a^n u[n]\), \(\|a\| < 1\) \(e^{-at}u(t)\), \(a > 0\)
De potencia \(E_x = \infty\) \(0 < P_x < \infty\) \(\cos(\Omega n)\) \(\cos(\omega t)\)

Exclusión mutua y señales no acotadas

  • Una señal no puede ser de energía y de potencia a la vez: energía finita repartida en un intervalo infinito da potencia nula.
  • Existen señales que no son de energía ni de potencia; todas aquellas que crecen indefinidamente, como por ejemplo, una rampa.

Energía de \(a^n u[n]\)

\[E_x = \sum_{n=0}^{\infty} |a|^{2n} = \frac{1}{1 - |a|^2}, \qquad |a| < 1\]

Una serie geométrica: la energía acumulada converge.

Potencia de una sinusoide

\[x[n] = A\cos(\Omega n + \phi) \quad\Longrightarrow\quad P_x = \frac{A^2}{2}\]

Con \(\cos^2\theta = \dfrac{1 + \cos 2\theta}{2}\):

\[P_x = \lim_{N \to \infty} \frac{1}{2N+1} \sum_{n=-N}^{N} A^2\,\frac{1 + \cos(2\Omega n + 2\phi)}{2} = \frac{A^2}{2}\]

porque el término \(\cos(2\Omega n + 2\phi)\) tiene media cero.

Correlación y convolución

Correlación cruzada

\[R_{x_1x_2}[l] = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x_1[n]\,x_2[n+l]\]

Mide el parecido en función del desplazamiento: el máximo indica el retardo entre señales.

Autocorrelación

\[R_{xx}[l] = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n]\,x[n+l] \qquad R_{xx}[0] = E_x \geq |R_{xx}[l]|\]

Revela periodicidades ocultas en el ruido.

Convolución

\[(x_1 * x_2)[n] = \sum_{k=-\infty}^{\infty} x_1[k]\,x_2[n-k] \qquad (x_1 * x_2)(t) = \int_{-\infty}^{\infty} x_1(\tau)\,x_2(t-\tau)\,d\tau\]

Propiedad Expresión
Conmutativa \(x_1 * x_2 = x_2 * x_1\)
Asociativa \((x_1 * x_2) * x_3 = x_1 * (x_2 * x_3)\)
Distributiva \(x_1 * (x_2 + x_3) = x_1 * x_2 + x_1 * x_3\)
Elemento neutro \(x * \delta = x\)
  • Longitud del resultado: \(L_1 + L_2 - 1\).
  • A diferencia de la correlación, la convolución refleja una de las señales.
  • Si \(x_2\) es par, ambas coinciden.

Evaluación gráfica de la convolución

  1. Reflejar \(x_2(-\tau)\)
  2. Desplazar \(x_2(t-\tau)\)
  3. Multiplicar por \(x_1(\tau)\)
  4. Integrar: el área es \(y(t)\)

Convolución de un pulso y una exponencial

\(x_1(t) = u(t) - u(t-1)\)

\(x_2(t) = e^{-t}u(t)\)

Al reflejar \(x_2\) se aprecia la asimetría: decae hacia la izquierda.

Por tramos:

  • \(t < 0\): \(y(t) = 0\)
  • \(0 \leq t < 1\): \(y(t) = 1 - e^{-t}\)
  • \(t \geq 1\): \(y(t) = (e-1)\,e^{-t}\)

Convolución discreta: método tabular

El método tabular es muy útil para señales de duración finita, por ejemplo:

\[x[n] = \{\underset{\uparrow}{1},\, 2,\, 3\} \qquad\qquad h[n] = \{\underset{\uparrow}{1},\, -1,\, 2\}\]

Se construye una tabla donde:

  • cada fila es \(h[k]\,x[n-k]\), desplazada \(k\) muestras
  • después se suma por columnas
\(n=0\) \(n=1\) \(n=2\) \(n=3\) \(n=4\)
\(h[0]=1\) \(1(1)\) \(2(2)\) \(3(3)\)
\(h[1]=-1\) \(-1(1)\) \(-2(2)\) \(-3(3)\)
\(h[2]=2\) \(2(1)\) \(4(2)\) \(6(3)\)
\(y[n]\) \(\mathbf{1}\) \(\mathbf{1}\) \(\mathbf{3}\) \(\mathbf{1}\) \(\mathbf{6}\)
  • Longitud: \(L = L_1 + L_2 - 1 = 3 + 3 - 1 = 5\) muestras
  • Soporte: \(n = 0, 1, 2, 3, 4\) (desde \(n_1 + n_2\) hasta \(n_1 + n_2 + L -1\))

Correlación discreta: método tabular

La misma tabla sirve para la correlación. Con las mismas señales de antes:

\[R_{xh}[l] = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n]\,h[n+l] \qquad\quad x[n] = \{\underset{\uparrow}{1},\, 2,\, 3\} \qquad h[n] = \{\underset{\uparrow}{1},\, -1,\, 2\}\]

Ahora no se refleja ninguna señal: cada fila es \(h[m]\,x[m-l]\), así que las muestras de \(x[n]\) aparecen en orden inverso. Es el único cambio respecto a la tabla anterior.

\(l=-2\) \(l=-1\) \(l=0\) \(l=1\) \(l=2\)
\(h[0]=1\) \(3(3)\) \(2(2)\) \(1(1)\)
\(h[1]=-1\) \(-3(3)\) \(-2(2)\) \(-1(1)\)
\(h[2]=2\) \(6(3)\) \(4(2)\) \(2(1)\)
\(R_{xh}[l]\) \(\mathbf{3}\) \(\mathbf{-1}\) \(\mathbf{5}\) \(\mathbf{3}\) \(\mathbf{2}\)
  • Longitud: \(3 + 3 - 1 = 5\), pero centrada: de \(l=-2\) a \(l=2\)
  • \(R_{xh}[0] = 5\) es la suma de productos sin desplazar
  • Distinto de \(y[n] = \{1, 1, 3, 1, 6\}\): reflejar sí importa

Método tabular muestra a muestra

Ejemplo método tabular

📐 Ejemplo 1.12: Convolución de dos secuencias finitas

Calcula \(y[n] = x_1[n] * x_2[n]\) por el método tabular:

\[x_1[n] = \{\underset{\uparrow}{1},\, 2,\, -1\} \qquad\qquad x_2[n] = \{2,\, \underset{\uparrow}{1},\, 0,\, 3\}\]

💡 Solución
\(n=-1\) \(n=0\) \(n=1\) \(n=2\) \(n=3\) \(n=4\)
\(x_1[0]=1\) \(2(2)\) \(1(1)\) \(0(0)\) \(3(3)\)
\(x_1[1]=2\) \(4(2)\) \(2(1)\) \(0(0)\) \(6(3)\)
\(x_1[2]=-1\) \(-2(2)\) \(-1(1)\) \(0(0)\) \(-3(3)\)
\(y[n]\) \(\mathbf{2}\) \(\mathbf{5}\) \(\mathbf{0}\) \(\mathbf{2}\) \(\mathbf{6}\) \(\mathbf{-3}\)
  • Longitud: \(L = 3 + 4 - 1 = 6\) muestras
  • Soporte: desde (\(0 -1=-1\)) hasta (\(0 -1 + 6 - 1 = 4\))

Convolución discreta: método analítico (i)

El método analítico debe usarse para señales de duración infinita, por ejemplo:

\[f[n] = \left(\tfrac{1}{3}\right)^n {\color{#2c7fb8}{u[n-1]}} \qquad\qquad g[n] = 2\,{\color{#e74c3c}{u[n-2]}}\]

\[y[n] = \sum_{k=-\infty}^{\infty} f[k]\,g[n-k] = \sum_{k=-\infty}^{\infty} \left(\tfrac{1}{3}\right)^{k} \underbrace{{\color{#2c7fb8}{u[k-1]}}}_{\neq\, 0 \;\text{si}\; {\color{#2c7fb8}{k \,\geq\, 1}}} \cdot\; 2\, \underbrace{{\color{#e74c3c}{u[n-k-2]}}}_{\neq\, 0 \;\text{si}\; {\color{#e74c3c}{k \,\leq\, n-2}}}\]

Convolución discreta: método analítico (ii)

\[y[n] = \sum_{k=-\infty}^{\infty} f[k]\,g[n-k] = \sum_{k=-\infty}^{\infty} \left(\tfrac{1}{3}\right)^{k} \underbrace{{\color{#2c7fb8}{u[k-1]}}}_{\neq\, 0 \;\text{si}\; {\color{#2c7fb8}{k \,\geq\, 1}}} \cdot\; 2\, \underbrace{{\color{#e74c3c}{u[n-k-2]}}}_{\neq\, 0 \;\text{si}\; {\color{#e74c3c}{k \,\leq\, n-2}}}\]

Cada escalón anula el sumatorio por un lado:

  • \({\color{#2c7fb8}{u[k-1]}} \neq 0 \iff {\color{#2c7fb8}{k \geq 1}}\)
  • \({\color{#e74c3c}{u[n-k-2]}} \neq 0 \iff {\color{#e74c3c}{k \leq n-2}}\)

Por tanto, el sumatorio puede truncarse:

\[ {\color{#9370db}{n \,\geq\, 3}} \Longleftarrow \underbrace{{\color{#2c7fb8}{1}} \,\leq\, k \,\leq\, {\color{#e74c3c}{n-2}}}_{\color{#41ab5d}{\text{ventana}}} \Longrightarrow y[n] = 2\sum_{k={\color{#2c7fb8}{1}}}^{{\color{#e74c3c}{n-2}}} \left(\tfrac{1}{3}\right)^{k}\]

Aplicando el sumatorio de una serie geométrica:

\[y[n] = 2\sum_{k={\color{#2c7fb8}{1}}}^{{\color{#e74c3c}{n-2}}} \left(\tfrac{1}{3}\right)^{k} = 2\;\frac{\left(\tfrac{1}{3}\right)^{{\color{#2c7fb8}{1}}} - \left(\tfrac{1}{3}\right)^{{\color{#e74c3c}{n-2}}+1}}{1 - \tfrac{1}{3}}\]

Resultado (solamente válido para \(n \geq 3\)):

\[y[n] = \left(1 - \left(\tfrac{1}{3}\right)^{n-2}\right) {\color{#9370db}{u[n-3]}}\]

Método analítico muestra a muestra

Ejemplo método analítico

📐 Ejemplo 1.13: Convolución analítica de dos señales infinitas

Calcula \(y[n] = f[n] * g[n]\) para

\[f[n] = \left(\tfrac{1}{2}\right)^n {\color{#2c7fb8}{u[n-1]}} \qquad\qquad g[n] = {\color{#e74c3c}{u[n-3]}}\]

💡 Solución

\[y[n] = \sum_{k=-\infty}^{\infty} \left(\tfrac{1}{2}\right)^{k} \underbrace{{\color{#2c7fb8}{u[k-1]}}}_{\neq\, 0 \;\text{si}\; {\color{#2c7fb8}{k \,\geq\, 1}}} \cdot\; \underbrace{{\color{#e74c3c}{u[n-k-3]}}}_{\neq\, 0 \;\text{si}\; {\color{#e74c3c}{k \,\leq\, n-3}}}\]

La ventana \({\color{#2c7fb8}{1}} \leq k \leq {\color{#e74c3c}{n-3}}\) solo tiene muestras si \({\color{#9370db}{n \,\geq\, 4}}\), y entonces la serie geométrica da

\[y[n] = \sum_{k={\color{#2c7fb8}{1}}}^{{\color{#e74c3c}{n-3}}} \left(\tfrac{1}{2}\right)^{k} = \frac{\left(\tfrac{1}{2}\right)^{{\color{#2c7fb8}{1}}} - \left(\tfrac{1}{2}\right)^{{\color{#e74c3c}{n-3}}+1}}{1 - \tfrac{1}{2}} = 1 - \left(\tfrac{1}{2}\right)^{n-3}\]

Recogiendo la condición de validez en un escalón:

\[y[n] = \left(1 - \left(\tfrac{1}{2}\right)^{n-3}\right){\color{#9370db}{u[n-4]}}\]

Resumen

  • Una señal es una función: continua \(x(t)\) o discreta \(x[n]\); analógica o digital.
  • Señales elementales: escalón, rampa, exponenciales e impulso.
  • Se clasifican por determinismo, simetría, causalidad, duración y periodicidad.
  • \(\cos(\Omega n)\) solo es periódica si \(\Omega/2\pi\) es racional.
  • Operaciones temporales: en \(x(at+b)\) se escala y luego se desplaza \(b/a\).
  • Correlación mide parecido; convolución refleja y desliza.
  • Energía y potencia clasifican las señales.