Señales
Capítulo 1 · Señales y Sistemas
En este capítulo se estudian las señales como objetos matemáticos: su definición, sus modelos elementales, su clasificación, las operaciones que se pueden realizar sobre ellas y sus propiedades energéticas, tanto en tiempo continuo como en tiempo discreto.
Tip💡 Prerrequisitos
- Cálculo diferencial e integral básico
- Números complejos (ver Apéndice A)
1 ¿Qué es una señal?
Una señal es una función que transporta información. Matemáticamente, es una función de una o más variables independientes que contiene información sobre el comportamiento o la naturaleza de algún fenómeno (Oppenheim et al. 1997). En la vida cotidiana estamos rodeados de señales:
- La voz humana: variación de presión acústica en el tiempo.
- Una imagen digital: función de dos variables espaciales (píxeles).
- Un electrocardiograma (ECG): actividad eléctrica del corazón a lo largo del tiempo
- El precio de cierre de una acción en bolsa: valor discreto registrado al final de cada día.
2 Señales continuas vs. discretas
Se establece una distinción fundamental en función de la naturaleza de la variable independiente. Así, distinguimos entre señales señales continuas y discretas. Las señales físicas son por su propia naturaleza, continuas, por ejemplo, la voz humana o el nivel de glucosa en sangre. Sin embargo, cuando medimos, almacenamos o procesamos señales, a menudo las convertimos en discretas mediante un proceso de muestreo. Por ejemplo, un microfóno convierte la presión acústica continua de la voz en una señal eléctrica discreta típicamente a 44.1 kHz (44,100 muestras por segundo), mientras que los monitores de glucosa en sangre proporcionan una medida discreta de la concentración de glucosa cada 5 minutos.
NotaDefinición formal de señal
Una señal es una función \(x\) que asigna a cada valor de una variable independiente (generalmente el tiempo \(t\) o un índice de muestra \(n\)) un valor que representa una cantidad física. En señales continuas, la variable independiente es un número real (lo cual se denota como \(t \in \mathbb{R}\)), mientras que en señales discretas es un número entero (lo cual se denota como \(t \in \mathbb{Z}\)). Por lo tanto, podemos escribir:
\[ x(\cdot): \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \quad \text{(señal continua)} \] \[ x[\cdot]: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{R} \quad \text{(señal discreta)} \]
AdvertenciaNotación discreta vs. continua
En este libro se seguirá la convención de Oppenheim y Schafer (2010) para denotar el argumento de las señales:
- Paréntesis \((\cdot)\) para señales continuas: \(x(t)\)
- Corchetes \([\cdot]\) para señales discretas: \(x[n]\)
A la hora de representar señales, como puede verse en la Figura 1, solemos dibujar las señales continuas con un trazo continuo, mientras que las señales discretas se suelen representar con bastones.
Nota💡 Solución del Ejemplo 1.1
a) Una señal dada como secuencia enumera sus muestras de izquierda a derecha, y la flecha fija cuál es la muestra \(n = 0\). Contando desde ella:
\[ x_1[-2] = 1, \quad x_1[-1] = -1, \quad x_1[0] = 2, \quad x_1[1] = 3, \quad x_1[2] = 1 \]
y \(x_1[n] = 0\) en el resto. Se dibuja un bastón por muestra. Sin la flecha no sabríamos dónde está el origen: la misma lista de valores desplazada es otra señal distinta.
b) Basta evaluar el tramo de \(n \geq 0\) y aprovechar que el otro tramo da el mismo valor en \(-n\):
| \(n\) | \(0\) | \(\pm 1\) | \(\pm 2\) | \(\pm 3\) | \(\pm 4\) | \(\cdots\) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(x_2[n]\) | \(1\) | \(\tfrac{1}{2}\) | \(\tfrac{1}{4}\) | \(\tfrac{1}{8}\) | \(\tfrac{1}{16}\) | \(\cdots\) |
Para \(n < 0\) se tiene \(x_2[n] = (1/2)^{-n}\), que es justo el valor del otro tramo en \(-n\). Por eso \(x_2[-n] = x_2[n]\): la señal es simétrica respecto al eje vertical, y las dos ramas se resumen en \(x_2[n] = (1/2)^{|n|}\). Decrece a la mitad en cada muestra a ambos lados del origen: tiende a cero cuando \(n \to \pm\infty\), pero nunca llega a anularse, así que no tiene un último valor distinto de cero.
c) Se dibuja tramo a tramo, fijándose en los extremos:
- En \([-1, 1)\) es la recta \(t + 1\), que sube de \(0\) (en \(t = -1\)) hacia \(2\). El valor \(2\) no se alcanza, porque \(t = 1\) ya pertenece al tramo siguiente: se marca con un círculo hueco.
- En \([1, 2)\) vale \(1\): en \(t = 1\) hay un salto de \(2\) a \(1\) (círculo relleno en \(1\)).
- A partir de \(t = 2\) vale \(0\): otro salto, de \(1\) a \(0\). Como \(t = 2\) ya no pertenece a \([1, 2)\), el círculo hueco va en \(1\) y el relleno en \(0\).
En \(t = -1\) no hay salto, porque la recta empieza en \(0\), el mismo valor que la señal a su izquierda.
d) Se parte de \(\cos(\pi t)\), de periodo \(T = 2\pi/\pi = 2\): vale \(1\) en \(t = 0\), \(0\) en \(t = \pm\tfrac{1}{2}\) y \(-1\) en \(t = \pm 1\). El valor absoluto deja igual los tramos positivos y refleja hacia arriba los negativos. El resultado es una sucesión de arcos iguales, con máximos de valor \(1\) en los enteros y ceros en \(t = \tfrac{1}{2} + k\). Cada arco dura \(1\), así que la señal es periódica con periodo \(T = 1\): la mitad que el coseno original.
3 Señales analógicas vs. digitales
Es muy común confundir los términos “discreto” y “digital”, o utilizarlos como sinónimos en el lenguaje cotidiano. Sin embargo, en el estudio riguroso de señales y sistemas, representan conceptos fundamentalmente distintos.
Mientras que la distinción entre continua o discreta se refiere a la naturaleza de la variable independiente (el “eje horizontal” o el tiempo), la clasificación de analógica o digital se refiere a los valores que puede tomar la amplitud de la señal (el “eje vertical”).
- Señal analógica: Es aquella cuya amplitud puede tomar cualquier valor dentro de un rango continuo. Es decir, existen teóricamente infinitos valores posibles de amplitud entre dos puntos dados. Las magnitudes físicas en su estado natural (voltaje, presión, temperatura) son analógicas.
- Señal digital: Es aquella cuya amplitud está restringida a un conjunto finito y discreto de valores predefinidos.
Para que un ordenador o microprocesador pueda trabajar con una señal, no basta con tomar muestras en instantes de tiempo separados (muestreo); también es necesario redondear o truncar la amplitud de cada muestra a un valor numérico específico que el sistema pueda almacenar mediante bits. A este proceso de “discretizar el eje vertical” se le conoce como cuantificación.
Advertencia¿Discreto es lo mismo que Digital?
Técnicamente, una señal en tiempo discreto \(x[n]\) no es necesariamente una señal digital. Imagina que mides la temperatura exterior cada hora exacta. Tienes un conjunto de datos separados en el tiempo (es decir, una señal discreta donde \(n\) representa la hora). Si tu termómetro fuera infinitamente preciso y registraras valores exactos con infinitos decimales (por ejemplo, 22.154879… °C), tu señal sería discreta en el tiempo, pero analógica en amplitud.
Para que una señal sea considerada estrictamente digital, debe estar discretizada en ambos ejes: el temporal (muestreo) y el de amplitud (cuantificación). La confusión nace del hecho de que, en la práctica de la ingeniería moderna, casi todas las señales en tiempo discreto que procesamos ya han pasado por un convertidor analógico-digital (ADC) y, por tanto, también están cuantificadas.
4 Comparativa de señales
Para comprender perfectamente la relación entre los dos ejes fundamentales de una señal (el eje del tiempo o variable independiente, y el eje de la amplitud o valor de la señal), podemos cruzar ambas clasificaciones en una matriz. Esto da lugar a cuatro casos matemáticos y prácticos bien diferenciados, resumidos en la Tabla 1.
| Amplitud Analógica | Amplitud Digital | |
|---|---|---|
| Tiempo Continuo (\(t \in \mathbb{R}\)) |
La señal existe en todo instante de tiempo y su intensidad puede variar infinitamente. Ejemplo: Cualquier señal física, como el voltaje directo que genera un micrófono de bobina cuando hablas frente a él, o la temperatura ambiente a lo largo del día. |
La señal existe en todo instante de tiempo, pero su valor solo puede saltar entre niveles fijos bien definidos. Ejemplo: La señal de salida de un controlador PWM utilizado frecuentemente para el control de motores. |
| Tiempo Discreto (\(n \in \mathbb{Z}\)) |
La señal solo existe en instantes de tiempo específicos (muestras), pero el valor de cada muestra puede tener precisión infinita. Este es un caso muy peculiar. Ejemplo: El cine en película analógica que rueda a 24 fotogramas por segundo, pero dentro de cada uno de ellos, la emulsión fotográfica registra el brillo de forma continua |
Tanto el tiempo como la amplitud están restringidos. Es el único tipo de señal que un procesador moderno puede almacenar. Ejemplo: Un archivo de música en formato WAV o MP3, donde la voz se ha muestreado a 44.1 kHz y se ha guardado usando 16 bits (65,536 niveles posibles). |
Para movernos dentro de esta Tabla 1, en ingeniería electrónica se realizan dos operaciones fundamentales sobre una señal natural:
- Muestreo (Cambio en el eje horizontal): Transforma el tiempo continuo en tiempo discreto.
- Cuantización (Cambio en el eje vertical): Transforma la amplitud analógica en digital al aproximar el valor real al nivel entero más cercano.
NotaEjemplo práctico: Control de un motor DC mediante PWM
Para visualizar claramente una señal de tiempo continuo y amplitud digital, el ejemplo más representativo en ingeniería electrónica es la Modulación por Ancho de Pulso (PWM) ideal.
Supongamos que queremos controlar la velocidad y el sentido de giro de un motor de corriente continua (DC). Una de las opciones es utilizar un circuito electronico llamado puente H que solamente puede aplicar dos niveles de voltaje al motor: \(+V\) (giro a la derecha)** o **\(-V\) (giro a la izquierda) pero es capaz conmutar entre abos estados a una gran velocidad. La amplitud está estrictamente cuantificada, es digital. Sin embargo, se trata de una señal puramente continua en el tiempo.
No es necesario entrar en detalle de cómo se genera este tipo de señal. Simplemente observa cómo en los tramos en los que la señal PWM está la mayor parte del tiempo en \(+V\) el motor gira a la derecha, mientras que cuando la señal está la mayor parte del tiempo en \(-V\) el motor gira a la izquierda. La velocidad de giro es proporcional al valor promedio de la señal PWM, que a su vez es proporcional a la señal moduladora senoidal ideal.
Advertencia¿Por qué las conmutaciones bruscas no se observan en el giro del motor?
El motor mecánico actúa como un filtro paso bajo natural. Su inercia física ignora los saltos bruscos de tensión y “promedia” la señal, convirtiendo esos pulsos discretos en una velocidad de giro analógica suave. El mismo fenómeno ocurre con los dimmers de luz LED, que atenúan la intensidad mientras que el ojo humano percibe un cambio continuo y suave.
Importante: en la práctica, las conmutaciones se producen a una frecuencia muy elevada, del orden de kHz, es decir, miles de veces por segundo. Ese es precisamente el motivo por el cual no se manifiestan en la velocidad del motor o en el brillo de un LED. Es importante señalar que, en la animación, la frencuencia de conmutación es mucho menor para una mejor comprensión del concepto.
NotaCuriosidad histórica: Los espías de la Segunda Guerra Mundial
Antes de que pudiéramos hablar de frecuencias de muestreo de 44.1 kHz en nuestros teléfonos o de música en formato digital, la necesidad de convertir una señal continua en discreta nació de un problema de ruido acústico y espionaje militar.
En la década de 1930, las señales de voz continuas \(x(t)\) que viajaban a través de largas líneas telefónicas sufrían un problema fundamental: el ruido analógico se acumulaba y degradaba la información de manera irreversible. En 1937, el ingeniero británico Alec Reeves propuso una solución revolucionaria conocida como Modulación por Impulsos Codificados (PCM). Reeves se dio cuenta de que si, en lugar de enviar la señal continua, tomaba muestras de la amplitud de la voz a intervalos regulares de tiempo y transmitía solo esos valores numéricos discretos \(x[n]\), la señal podía regenerarse en cada etapa de la transmisión, evitando la acumulación progresiva del ruido analógico y permitiendo una reproducción mucho más fiel de la información.
Aunque la idea de Reeves era brillante desde el punto de vista matemático, la tecnología de la época no era lo suficientemente rápida para procesar estos cálculos. La Segunda Guerra Mundial proporcionó una motivación estratégica para desarrollar sistemas basados en PCM, aunque su adopción masiva en telecomunicaciones llegaría varias décadas después.
Para evitar que las fuerzas Aliadas interceptaran y entendieran las conversaciones telefónicas transatlánticas de alto secreto entre Winston Churchill y Franklin D. Roosevelt, los laboratorios Bell desarrollaron el proyecto SIGSALY en 1943. Este sistema fue la primera transmisión de voz digital de la historia. Tomaba la señal de voz continua del locutor, la muestreaba y la convertía en una secuencia discreta, lo que permitía sumarle una clave criptográfica (ruido pseudoaleatorio) de manera matemática.
El primer equipo capaz de realizar esta conversión de \(t \in \mathbb{R}\) a \(n \in \mathbb{Z}\) pesaba cerca de 50 toneladas, consumía 30 kW de potencia y ocupaba una sala entera. Hoy en día, esa misma transición de señal continua a discreta la realiza un chip milimétrico en el interior de cualquier auricular inalámbrico.
5 Señales elementales
Existen varias señales fundamentales que aparecen constantemente en la teoría de señales y sistemas. Son señales muy sencillas, pero tienen dos papeles clave: sirven como bloques de construcción con los que expresar señales más complejas y como señales de prueba estándar con las que excitar un sistema para estudiar cómo responde.
Cada una de ellas tiene una versión en tiempo continuo y otra en tiempo discreto, y en esta sección se presentan juntas. En cada caso se describe primero la señal continua, que es la que modela directamente los fenómenos físicos, y después su equivalente discreto. El impulso se deja para el final y sigue el orden inverso: la delta de Dirac no es una función en el sentido clásico, y resulta más fácil de entender partiendo de su versión discreta. La Figura 2 muestra las más importantes en tiempo continuo.
5.1 Escalón unitario
Escalón continuo
\[ u(t) = \begin{cases} 1, & t > 0 \\ 0, & t < 0 \end{cases} \tag{1}\]
El escalón unitario (panel superior izquierdo de la Figura 2) modela una señal que se “enciende” en \(t=0\) y permanece constante a partir de ese instante. Es la abstracción matemática de accionar un interruptor: conectar una fuente de alimentación, aplicar una consigna de temperatura a un termostato o cambiar bruscamente la referencia de velocidad de un motor. Su valor en \(t=0\) no suele definirse, ya que no afecta al resultado de las integrales.
Se utiliza con dos finalidades principales:
- Como señal de prueba: la respuesta al escalón de un sistema permite observar de forma directa su tiempo de establecimiento, su sobreoscilación o su error en régimen permanente, y es una prueba habitual en ingeniería de control.
- Como “ventana” para señales causales: multiplicar una señal por \(u(t)\) anula su parte correspondiente a \(t<0\), lo que permite describir de forma compacta señales que empiezan en un instante determinado, como la exponencial de la Figura 2, que solo toma valores distintos de cero para \(t \geq 0\).
Escalón discreto
\[ u[n] = \begin{cases} 1, & n \geq 0 \\ 0, & n < 0 \end{cases} \tag{2}\]
Es la versión discreta de la Ec. 1 y tiene la misma interpretación y los mismos usos. La única diferencia es que en el origen no hay ambigüedad: \(u[0] = 1\).
5.2 Rampa unitaria
Rampa continua
\[ r(t) = t \cdot u(t) \tag{3}\]
La rampa unitaria (panel superior derecho de la Figura 2) es nula para \(t<0\) y crece con pendiente unidad a partir de \(t=0\). Representa magnitudes que aumentan a ritmo constante: la posición de un objeto que se mueve a velocidad constante, el ángulo girado por un motor a velocidad fija o la tensión de un condensador cargado con corriente constante.
Nota
Fíjate que en la definición de rampa unitaria ya se está usando el escalón \(u(t)\) como formalismo matemático para indicar que solamente toma valores distintos de cero para \(t \geq 0\). Esto es un ejemplo de cómo las señales elementales se combinan entre sí para construir otras más complejas.
En la práctica se emplea como señal de prueba para comprobar si un sistema es capaz de seguir una referencia que varía en el tiempo (por ejemplo, un radar que sigue a un avión o un control de posición), y también para generar las señales en diente de sierra de los osciladores y convertidores. La rampa se obtiene, además, integrando el escalón: \(r(t) = \int_{-\infty}^{t} u(\tau)\,d\tau\).
Rampa discreta
\[ r[n] = n \cdot u[n] \]
La rampa discreta es nula para \(n<0\) y aumenta una unidad en cada muestra a partir de \(n=0\). En tiempo discreto la integral se sustituye por una suma acumulada, aunque aparece un desplazamiento de una muestra: \(r[n+1] = \sum_{k=-\infty}^{n} u[k]\).
5.3 Exponencial real
Exponencial real continua
\[ x(t) = A\, e^{at} \cdot u(t), \qquad a \in \mathbb{R} \tag{4}\]
Su comportamiento depende del signo de \(a\):
- Si \(a < 0\), la señal decae hacia cero y es una señal de energía finita (panel inferior izquierdo de la Figura 2). Modela fenómenos como la descarga de un condensador, la desintegración radiactiva, la diferencia de temperatura entre un cuerpo que se enfría y su entorno o la extinción del eco en una sala. El valor \(\tau = 1/|a|\) se denomina constante de tiempo: es el tiempo que tarda la señal en reducirse al 37 % (\(e^{-1}\)) de su valor inicial, como en la descarga de un condensador en un circuito RC.
- Si \(a = 0\), se obtiene \(x(t) = A\,u(t)\): un escalón de amplitud \(A\).
- Si \(a > 0\), la señal crece sin límite, como el número de infectados en la fase inicial de una epidemia.
Los tres casos se comparan en la Figura 3.
Exponencial real discreta
\[ x[n] = A \cdot a^n \cdot u[n], \qquad a \in \mathbb{R} \tag{5}\]
En tiempo discreto, \(a\) deja de ser el exponente y pasa a ser la base. La exponencial real discreta tiene una propiedad muy característica: cada muestra es un múltiplo constante de la anterior, \(x[n+1] = a\,x[n]\) para \(n \geq 0\). Para \(a>0\) describe, por tanto, cualquier magnitud que pierde (o gana) el mismo porcentaje de su valor en cada paso.
Las dos formas están relacionadas: si se muestrea la exponencial continua \(e^{at}\) cada \(T_s\) segundos, se obtiene \(e^{aT_s n} = \bigl(e^{aT_s}\bigr)^n\), una exponencial discreta cuya base \(e^{aT_s}\) es siempre positiva. La versión discreta admite, además, bases negativas, que no tienen equivalente continuo. Su comportamiento depende del valor de \(a\), como puede verse en la Figura 4:
- Si \(a > 1\), la señal crece sin límite.
- Si \(a = 1\), se obtiene \(x[n] = A\,u[n]\): la señal ni crece ni decae (es un escalón de amplitud \(A\)).
- Si \(0 < a < 1\), la señal decae hacia cero. Cuanto más próximo a 1 es \(a\), más lento es el decaimiento.
- Si \(-1 < a < 0\), la señal alterna de signo en cada muestra y su amplitud decae hacia cero. Como \(a^n = |a|^n\cos(\pi n)\), se trata de una oscilación amortiguada a la máxima frecuencia representable en tiempo discreto.
- Si \(a = -1\), la señal alterna entre \(+A\) y \(-A\) indefinidamente, sin decaer ni crecer.
- Si \(a < -1\), la señal alterna de signo y crece sin límite: oscilaciones inestables.
Si esta señal es la respuesta al impulso de un sistema, el sistema es estable únicamente cuando \(|a| < 1\).
5.4 Exponencial compleja
Exponencial compleja continua
La extensión de la exponencial a exponentes imaginarios recibe el nombre de exponencial compleja y se define como:
\[ x(t) = A\, e^{j\omega t} = A\bigl[\cos(\omega t) + j\sin(\omega t)\bigr] \tag{6}\]
donde \(\omega\) es la frecuencia angular en rad/s y \(T_0 = 2\pi/\omega\) el periodo. A pesar de su nombre, es en realidad muy simple, ya que describe un punto que gira sobre una circunferencia de radio \(|A|\) en el plano complejo, a \(\omega\) radianes por segundo. Su parte real y su parte imaginaria son, respectivamente, un coseno y un seno de frecuencia \(\omega\), por lo que es la forma matemáticamente más cómoda de representar una oscilación pura: un tono de audio, la portadora de una emisora de radio o la tensión alterna de la red eléctrica. Es siempre periódica para cualquier \(\omega \neq 0\).
Nota
La relevancia de la exponencial compleja va mucho más allá de la comodidad de notación. Veremos, más adelante, que la solución de cualquier ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes puede expresarse en términos de exponenciales complejas. Por ello, la exponencial compleja es la señal elemental más importante en ingeniería de señales y sistemas.
Exponencial compleja discreta
\[ x[n] = A \cdot e^{j\Omega n} = A[\cos(\Omega n) + j\sin(\Omega n)] \tag{7}\]
En tiempo discreto, el punto ya no gira de forma continua, sino a saltos: avanza un ángulo \(\Omega\) radianes en cada muestra. Para verlo, tomemos por simplicidad \(A=1\). La Figura 5 muestra cómo, en cada muestra, el vector \(x[n]\) avanza un ángulo \(\Omega = \pi/8\) sobre la circunferencia unidad. Su proyección sobre el eje real va trazando \(\cos(\Omega n)\) y su proyección sobre el eje imaginario, \(\sin(\Omega n)\). Puesto que una vuelta completa son \(2\pi\) radianes, tras 16 muestras el vector vuelve al punto de partida y la secuencia se repite.
Importante⚠️ La frecuencia angular digital \(\Omega\)
En tiempo discreto, \(\Omega\) se denomina frecuencia angular digital y se mide en radianes por muestra, no en radianes por segundo. Es la única diferencia de fondo con la frecuencia angular continua \(\omega\), pero tiene consecuencias importantes.
La interpretación es directa: \(\Omega\) es el ángulo que avanza el vector en cada muestra, es decir, la fracción de vuelta que se recorre por muestra. Con \(\Omega = \pi/8\) hacen falta 16 muestras para completar una vuelta (\(2\pi\)); con \(\Omega = \pi\) cada muestra da media vuelta, que es la oscilación más rápida posible. Si la secuencia procede de muestrear una señal continua cada \(T_s\) segundos, ambas frecuencias se relacionan mediante \(\Omega = \omega\,T_s = 2\pi f / f_s\).
De aquí se derivan dos hechos que no tienen equivalente en tiempo continuo:
- \(\Omega\) solo es distinguible en un intervalo de longitud \(2\pi\), habitualmente \(-\pi < \Omega \leq \pi\). Como \(e^{j(\Omega + 2\pi)n} = e^{j\Omega n}\) para todo \(n\) entero, aumentar la frecuencia más allá de \(\pi\) no produce una señal nueva.
- La señal no siempre es periódica. En el ejemplo anterior lo es porque \(\Omega/2\pi = 1/16\) es racional, pero eso no ocurre para cualquier \(\Omega\): con \(\Omega = 1\) rad/muestra la secuencia nunca se repite exactamente. Esta condición se estudia en la
5.5 Exponencial amortiguada o amplificada
Exponencial amortiguada continua
Combinando la exponencial real (Ec. 4) y la compleja (Ec. 6) se obtiene
\[ x(t) = A\, e^{at}\, e^{j\omega t}\, u(t), \qquad a \in \mathbb{R} \tag{8}\]
La exponencial real \(e^{at}\) actúa como envolvente de la oscilación. Si \(a<0\) la oscilación se amortigua, como la vibración de una cuerda de guitarra que se va apagando (su parte real se muestra en el panel inferior derecho de la Figura 2, con \(a=-0.5\)); si \(a>0\) crece sin límite, y si \(a=0\) se recupera la oscilación pura. Es la respuesta típica de sistemas con inercia y rozamiento, como un sistema masa-muelle o un circuito RLC. Agrupando exponentes, puede escribirse como \(x(t) = A\,e^{st}\,u(t)\) con \(s = a + j\omega\), una idea que será central en la transformada de Laplace.
Exponencial amortiguada discreta
Del mismo modo, combinando la exponencial real (Ec. 5) y la compleja (Ec. 7) discretas se obtiene \[x[n] = A\,a^n e^{j\Omega n}\,u[n]\] que describe oscilaciones que se amortiguan (\(a<1\)) o se amplifican (\(a>1\)) muestra a muestra. Para \(a=1\) se recupera la oscilación pura de amplitud constante.
La Figura 6 muestra la parte real de esta señal, \(a^n\cos(\Omega n)\,u[n]\), para dos valores de \(a\). La oscilación queda encerrada entre las curvas \(\pm a^n\) (en discontinua), que forman su envolvente: es precisamente la exponencial real de la Ec. 5 la que decide si la oscilación se extingue o crece. Si esta señal fuera la respuesta al impulso de un sistema, el caso \(a<1\) correspondería a un sistema estable y el caso \(a>1\), a uno inestable.
5.6 Impulso unitario
Impulso discreto (delta de Kronecker)
\[ \delta[n] = \begin{cases} 1, & n = 0 \\ 0, & n \neq 0 \end{cases} \tag{9}\]
El impulso unitario es la señal más simple posible: vale 1 en un único instante, \(n=0\), y es nula en todos los demás. Físicamente representa un estímulo muy breve e intenso, como un golpe de martillo sobre una estructura, una palmada en una sala o un pulso de tensión muy corto aplicado a un circuito.
Nota
La salida de un sistema cuando su entrada es \(\delta[n]\) se denomina respuesta al impulso. Una analogía clara podría ser el movimiento de un columpio al recibir un empujón. Veremos que esta única respuesta, por sí sola, contiene toda la información del sistema. Así se puede caracterizar, por ejemplo, un filtro digital.
Impulso continuo (delta de Dirac)
La delta de Dirac es la versión continua del impulso unitario discreto. Se define como una “función” que vale cero en todos los instantes salvo en \(t=0\), donde es infinitamente alta, de manera que su integral sobre todo el eje temporal es 1. Matemáticamente, se expresa como:
\[ \delta(t): \quad \int_{-\infty}^{\infty} \delta(t)\, dt = 1, \quad \delta(t) = 0 \; \forall\, t \neq 0 \tag{10}\]
La Ec. 10 parece contradictoria: una “función” que vale cero en todas partes salvo en \(t=0\) y que, sin embargo, encierra un área igual a 1. Para entenderla, conviene pensar en un pulso rectangular de anchura \(\Delta\) y altura \(1/\Delta\), cuya área es siempre 1:
\[ p_\Delta(t) = \begin{cases} 1/\Delta, & 0 < t < \Delta \\ 0, & \text{en otro caso} \end{cases} \qquad\Longrightarrow\qquad \delta(t) = \lim_{\Delta \to 0} p_\Delta(t) \]
A medida que \(\Delta \to 0\), el pulso se hace cada vez más estrecho y más alto, pero conserva su área, como muestra la Figura 7.
Físicamente, la delta de Dirac es la idealización de un estímulo muy intenso y de duración despreciable: un golpe de martillo, un rayo que cae sobre una línea eléctrica o el disparo de un flash. Lo relevante no es su forma ni su altura, sino su área, que mide la intensidad total del estímulo. Por eso se dibuja como una flecha en \(t=0\) cuya altura indica el área, y \(A\,\delta(t-t_0)\) denota un impulso de área \(A\) situado en \(t_0\).
Su propiedad más importante es la de muestreo (o selección): al multiplicar una señal por un impulso desplazado e integrar, se extrae el valor de la señal en ese instante (siempre que \(x(t)\) sea continua en \(t_0\)):
\[ \int_{-\infty}^{\infty} x(t)\,\delta(t - t_0)\, dt = x(t_0) \tag{11}\]
Es decir, dentro de la integral la delta “ignora” todos los valores de \(x(t)\) salvo el de \(t_0\). Esta propiedad es el equivalente continuo de escribir una señal discreta como suma de impulsos, y será la base para caracterizar los sistemas LTI continuos mediante su respuesta al impulso.
El impulso cierra la cadena de señales elementales vistas en esta sección. Acumulando el área de \(\delta(t)\) desde \(-\infty\) se obtiene 0 antes del origen y 1 después, es decir, el escalón: \(u(t) = \int_{-\infty}^{t} \delta(\tau)\,d\tau\). En tiempo discreto la integral se convierte en una suma acumulada, \(u[n] = \sum_{k=-\infty}^{n} \delta[k]\). Acumulando de nuevo se llega a la rampa.
Importante⚠️ Delta de Dirac vs. delta de Kronecker
La delta de Dirac \(\delta(t)\) es un funcional (distribución), no una función ordinaria. La delta de Kronecker \(\delta[n]\) sí es una secuencia ordinaria con valor 1 en \(n=0\). No deben confundirse: una es continua y la otra discreta.
Nota📖 Para profundizar
La descripción completa de las señales elementales puede encontrarse en Oppenheim et al. (1997, cap. 1) y Lathi (2005, cap. 1). La señal impulso unitario es especialmente importante: como veremos en los capítulos dedicados a los sistemas LTI en tiempo continuo y en tiempo discreto, permite caracterizar completamente un sistema LTI.
6 Clasificación de señales
Más allá de la distinción entre continuas y discretas, las señales se clasifican según diversas propiedades. Conocer estas clasificaciones es fundamental para seleccionar las herramientas matemáticas adecuadas para su análisis (Oppenheim et al. 1997).
6.1 Señales deterministas vs. aleatorias
Nota📝 Definición — señal determinista y aleatoria
- Determinista: puede expresarse mediante una fórmula matemática exacta. Su valor futuro es completamente predecible.
- Aleatoria (estocástica): no puede predecirse con exactitud; se describe mediante propiedades estadísticas (media, varianza, etc.).
6.2 Señales periódicas vs. aperiódicas
En función de su periodicidad, decimos que una señal es:
- periódica si su forma se repite indefinidamente a intervalos regulares
- aperiódica en caso contrario.
La Figura 9 muestra ambos casos en tiempo discreto. Por su importancia, las señales periódicas se estudian en detalle en la 1.
6.3 Señales pares e impares
Esta clasificación se basa en la simetría de la señal respecto al eje vertical. Una señal es:
- par: si es simétrica, \(x(t) = x(-t)\)
- impar: si es antisimétrica, \(x(t) = -x(-t)\)
La importancia de esta clasificación radica en que las señales pares e impares tienen propiedades matemáticas muy útiles, especialmente en el análisis de Fourier.
Además, cualquier señal puede descomponerse en su componente par y su componente impar. Fíjate que podemos reescribir cualquier señal \(x(t)\) de la siguiente forma: \[ x(t) = \underbrace{\frac{x(t) + x(-t)}{2}}_{x_p(t) \text{ (par)}} + \underbrace{\frac{x(t) - x(-t)}{2}}_{x_i(t) \text{ (impar)}} \tag{12}\]
Esta descomposición es siempre posible y es única (tanto en el caso continuo como en el discreto).
Nota💡 Solución del Ejemplo 1.4
a) Desarrollando el cuadrado, \(x(t) = 1 + 2t + t^2\), y la señal reflejada es \(x(-t) = (1 - t)^2 = 1 - 2t + t^2\). Aplicando la Ec. 12:
\[ x_p(t) = \frac{(1 + 2t + t^2) + (1 - 2t + t^2)}{2} = 1 + t^2 \qquad x_i(t) = \frac{(1 + 2t + t^2) - (1 - 2t + t^2)}{2} = 2t \]
En un polinomio la descomposición se lee directamente: las potencias pares de \(t\) (incluida la constante) forman la parte par, y las impares, la parte impar.
b) La señal vale 1 en \(n = 0, 1, 2\) y 0 en el resto. Su reflejada \(x[-n]\) vale 1 en \(n = -2, -1, 0\). Basta calcular las componentes en las muestras donde alguna de las dos es distinta de cero:
| \(n\) | \(-2\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(x[n]\) | \(0\) | \(0\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) |
| \(x[-n]\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(0\) | \(0\) |
| \(x_p[n] = \frac{x[n] + x[-n]}{2}\) | \(\frac{1}{2}\) | \(\frac{1}{2}\) | \(1\) | \(\frac{1}{2}\) | \(\frac{1}{2}\) |
| \(x_i[n] = \frac{x[n] - x[-n]}{2}\) | \(-\frac{1}{2}\) | \(-\frac{1}{2}\) | \(0\) | \(\frac{1}{2}\) | \(\frac{1}{2}\) |
Fuera de \(-2 \leq n \leq 2\) ambas componentes son nulas. La parte par es simétrica y la impar cambia de signo al reflejarla; en \(n = 0\) la parte impar vale 0 y toda la muestra \(x[0]\) va a la parte par.
6.4 Señales causales y anticausales
El término causalidad se refiere a la relación entre el tiempo y la existencia de la señal. Una señal es:
- Causal: \(x[n] = 0\) para todo \(n < 0\)
- Anticausal (o no causal): \(x[n] = 0\) para todo \(n > 0\)
- Bilateral: tiene valores no nulos tanto para \(n < 0\) como para \(n > 0\)
En la práctica, las señales que medimos son siempre causales: empezamos a grabar en un instante determinado y los datos solo existen desde ese momento. Sin embargo, en el análisis teórico es útil trabajar con señales no causales.
El concepto de causalidad será importante, por ejemplo, cuando estudiemos filtros digitales. Un filtro digital no causal requeriría conocer el futuro de la señal de entrada para implemetarse, por tanto, no es realizable físicamente. En cambio, un filtro causal solo depende del presente y del pasado, y sí puede implementarse.
6.5 Señales de duración finita e infinita
Como su propo nombre indica, decimos que una señal es de duración:
- finita si distinta de cero solamente en un intervalo limitado de tiempo
- infinita si tiene valores no nulos durante un intervalo ilimitado de tiempo
Nota💡 Solución del Ejemplo 1.5
a) El escalón \(u[n]\) vale 1 para \(n \geq 0\) y el escalón retardado \(u[n-1]\) vale 1 para \(n \geq 1\). Al restarlos, ambos se cancelan en todas las muestras salvo en \(n = 0\), donde solo contribuye \(u[n]\):
\[ x_1[n] = u[n] - u[n-1] = \begin{cases} 1, & n = 0 \\ 0, & n \neq 0 \end{cases} = \delta[n] \]
Es el impulso unitario, distinto de cero en una única muestra: duración finita.
b) El factor \(u(t)\) anula la señal para \(t < 0\). Para \(t \geq 0\) es un coseno cuya amplitud decae según la envolvente \(e^{-t}\): se hace cada vez más pequeña, pero nunca se anula en todo un intervalo (solo cruza por cero en instantes aislados, \(t = 1/8 + k/4\)). Como toma valores no nulos en el intervalo ilimitado \([0, \infty)\), es de duración infinita.
Que una señal tienda a cero no la hace de duración finita. Sí tiene consecuencias sobre su energía, como se verá en la Sección 10.2.
7 Señales periódicas
7.1 Definición y propiedades
\(x(t)\) es periódica de periodo \(T_0 > 0\) si:
\[ x(t + T_0) = x(t) \quad \forall\, t \tag{13}\]
El periodo fundamental \(T_0\) es el menor valor positivo que satisface esta condición. En tiempo discreto, \(x[n]\) es periódica de periodo \(N_0 > 0\) si:
\[ x[n + N_0] = x[n] \quad \forall\, n \tag{14}\]
con la diferencia esencial de que \(N_0\) debe ser un número entero: no tiene sentido desplazar una secuencia media muestra. Esta restricción tiene una consecuencia sorprendente.
Importante⚠️ Periodicidad de sinusoides discretas
Una sinusoide discreta \(x[n] = \cos(\Omega n)\) es periódica si y solo si \(\Omega/(2\pi)\) es un número racional:
\[ \frac{\Omega}{2\pi} = \frac{M}{N}, \quad M, N \in \mathbb{Z} \]
En ese caso el periodo fundamental es \(N_0 = N\) (con la fracción ya simplificada).
- \(\cos(0.1\pi n)\) → \(\Omega/(2\pi) = 1/20\) → periódica con \(N_0 = 20\).
- \(\cos(\sqrt{2}\, n)\) → no racional → no periódica.
Esto contrasta con el caso continuo, donde \(\cos(\omega t)\) es siempre periódica.
7.2 Frecuencia fundamental y armónicos
A partir del periodo fundamental se definen la frecuencia fundamental \(f_0 = 1/T_0\) (en hercios) y la frecuencia angular fundamental:
\[ \omega_0 = \frac{2\pi}{T_0} \;\text{(rad/s)}, \qquad \Omega_0 = \frac{2\pi}{N_0} \;\text{(rad/muestra)} \]
Se llaman armónicos a las señales cuya frecuencia es un múltiplo entero de la fundamental, \(k\omega_0\) con \(k = 2, 3, \dots\) Todas ellas comparten el periodo \(T_0\), ya que si una señal se repite cada \(T_0/k\) también se repite cada \(T_0\).
Los armónicos son las exponenciales complejas \(e^{jk\omega_0 t}\) de la Ec. 6, y son la razón por la que dos instrumentos que tocan la misma nota suenan distinto: su frecuencia fundamental coincide, pero el peso de cada armónico es diferente. Sumando armónicos con los pesos adecuados puede construirse prácticamente cualquier señal periódica, que es la idea central de las series de Fourier.
7.3 Suma de señales periódicas
La suma de dos señales periódicas de periodos \(T_1\) y \(T_2\) no siempre es periódica. Lo es si y solo si el cociente \(T_1/T_2\) es racional, es decir, si existen enteros \(M\) y \(N\) tales que:
\[ \frac{T_1}{T_2} = \frac{M}{N} \qquad\Longrightarrow\qquad T_0 = N\,T_1 = M\,T_2 \]
y en ese caso el periodo de la suma es el mínimo común múltiplo de \(T_1\) y \(T_2\). Por ejemplo, \(\cos(2\pi t)\) (periodo 1) más \(\cos(3\pi t)\) (periodo \(2/3\)) da un cociente \(3/2\), racional, y la suma es periódica con \(T_0 = 2\). En cambio, \(\cos(2\pi t) + \cos(2t)\) tiene un cociente irracional y la suma nunca se repite.
Nota💡 Solución del Ejemplo 1.7
a) Toda sinusoide continua es periódica, y la fase no altera el periodo. Con \(\omega = \pi\) rad/s,
\[ T_0 = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{\pi} = 2 \text{ s}. \]
Para dibujarla conviene sacar factor común a \(\omega\) y ver la fase como un desplazamiento:
\[ x_1(t) = 2\cos\left(\pi t - \frac{\pi}{2}\right) = 2\cos\Big(\pi\,(t - 0.5)\Big), \]
es decir, \(2\cos(\pi t)\) retrasada 0.5 s. Basta con marcar cuatro puntos por periodo, desplazados medio segundo respecto al coseno sin fase: máximo \(x_1 = 2\) en \(t = 0.5\), cero en \(t = 1\), mínimo \(x_1 = -2\) en \(t = 1.5\), de nuevo cero en \(t = 2\) y otra vez el máximo en \(t = 2.5\), y repetir ese trazo cada 2 s hacia ambos lados. (Equivale a \(2\sin(\pi t)\).)
b) Con \(\Omega = \pi/4\) rad/muestra,
\[ \frac{\Omega}{2\pi} = \frac{\pi/4}{2\pi} = \frac{1}{8}, \]
racional y ya simplificado: es periódica con \(N_0 = 8\) muestras (y \(M = 1\) ciclo por periodo). La fase, como en el caso continuo, no cambia el periodo. Para dibujarla se saca factor común:
\[ x_2[n] = \cos\left(\frac{\pi n}{4} + \frac{\pi}{4}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{4}\,(n + 1)\right), \]
que es \(\cos(\pi n/4)\) adelantada una muestra. Las muestras de un periodo, de \(n = 0\) a \(n = 7\), son
\[ \tfrac{\sqrt{2}}{2},\; 0,\; -\tfrac{\sqrt{2}}{2},\; -1,\; -\tfrac{\sqrt{2}}{2},\; 0,\; \tfrac{\sqrt{2}}{2},\; 1, \]
y el máximo cae en \(n = -1\) (y en \(n = 7, 15, \dots\)). Aquí la fase equivale a un número entero de muestras porque es múltiplo de \(\Omega\); con cualquier otra fase, por ejemplo \(\pi/3\), la señal sigue siendo periódica con \(N_0 = 8\), pero sus muestras ya no coinciden con las de \(\cos(\pi n/4)\) desplazada.
c) Ahora \(\Omega = 8\pi/5 > \pi\). Se procede igual, pero hay que simplificar la fracción:
\[ \frac{\Omega}{2\pi} = \frac{8\pi/5}{2\pi} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5} \quad\Longrightarrow\quad N_0 = 5,\; M = 4. \]
Si no se simplifica se obtendría \(N = 10\), que también es un periodo de la señal, pero no el fundamental. La señal completa \(M = 4\) ciclos de la sinusoide continua cada 5 muestras, lo que parece imposible de dibujar; la clave está en que, como se vio en la Sección 5, \(\Omega\) y \(\Omega - 2\pi\) generan las mismas muestras:
\[ \cos\left(\frac{8\pi n}{5}\right) = \cos\left(\frac{8\pi n}{5} - 2\pi n\right) = \cos\left(-\frac{2\pi n}{5}\right) = \cos\left(\frac{2\pi n}{5}\right). \]
Así que se dibuja como un coseno de 5 muestras por ciclo: de \(n = 0\) a \(n = 4\) vale \(1,\; 0.31,\; -0.81,\; -0.81,\; 0.31\) y se repite.
d) Con \(\Omega = 2\) rad/muestra, \(\Omega/(2\pi) = 1/\pi\) es irracional: la señal no es periódica. Se pueden calcular y dibujar sus muestras (\(0,\; 0.91,\; -0.76,\; -0.28,\; 0.99, \dots\)), pero ningún tramo se repite exactamente, por largo que se tome.
En verde, un periodo de cada señal periódica. En a), en gris, el coseno sin fase: \(x_1(t)\) es el mismo trazo retrasado 0.5 s. En las discretas, en gris, la sinusoide continua que pasa por las muestras: en c) es la de \(\Omega = 2\pi/5\), no la de \(8\pi/5\).
8 Operaciones básicas con señales
Las señales se pueden manipular matemáticamente mediante operaciones sobre la variable independiente (el tiempo) y sobre la amplitud. Dominar estas operaciones es imprescindible para el estudio de los sistemas (Oppenheim et al. 1997; Lathi 2005).
Para ilustrarlas se usará a lo largo de toda la sección la misma señal de partida, definida por la siguiente función a trozos \[ x(t) = \begin{cases} 2t, & 0 \leq t < 1 \\ 2, & 1 \leq t < 2 \\ -1, & 2 \leq t < 3 \\ 0, & \text{en otro caso} \end{cases} \] cuya representación gráfica se muestra en la Figura 10.
8.1 Desplazamiento temporal
Dado un desplazamiento \(t_0\) (o \(n_0\) en discreto):
\[ y(t) = x(t - t_0), \qquad y[n] = x[n - n_0] \tag{15}\]
- Si \(t_0 > 0\) → retardo: la señal se mueve a la derecha.
- Si \(t_0 < 0\) → adelanto: la señal se mueve a la izquierda.
El signo resulta contraintuitivo al principio, pero se entiende comprobando dónde se sitúa ahora el valor que \(x\) tomaba en el origen: \(t - t_0 = 0\) ocurre en \(t = t_0\). La Figura 11 compara ambos sentidos.
8.2 Inversión temporal
\[ y(t) = x(-t) \tag{16}\]
La señal se refleja respecto al eje vertical, como si se reprodujera hacia atrás: lo que ocurría en \(t\) pasa a ocurrir en \(-t\). En la Figura 12 se aprecia que el tramo negativo, que estaba al final, aparece ahora al principio.
8.3 Escalado temporal
\[ y(t) = x(at), \quad a > 0 \tag{17}\]
- Si \(a > 1\) → compresión en el tiempo: la señal se acelera.
- Si \(0 < a < 1\) → expansión en el tiempo: la señal se ralentiza.
En la Figura 13 se observa que la duración total cambia —de 3 s pasa a 1,5 s o a 6 s— pero los valores que toma la señal son exactamente los mismos.
Importante⚠️ Escala en señales discretas
En señales discretas la escala entera \(x[Mn]\) (diezmado) o \(x[n/L]\) (interpolación) no es tan simple como en continuo: al diezmar se pierden muestras y al interpolar hay que insertar ceros. Estas operaciones se estudian en detalle en el capítulo de muestreo.
8.4 Desplazamiento en amplitud
\[ y(t) = x(t) + C \]
Suma una constante a todos los valores de la señal, desplazándola verticalmente: - Si \(C > 0\) → desplazamiento positivo: la señal se desplaza hacia arriba. - Si \(C < 0\) → desplazamiento negativo: la señal se desplaza hacia abajo. En electrónica se conoce como añadir un nivel de continua (offset o componente DC) y es una operación habitual. Por ejemplo, para que una señal de audio, que oscila en torno a cero, quepa dentro del rango de entrada de un convertidor analógico-digital que solo admite tensiones positivas, tenemos que añadir un offset. Obsérvese en la Figura 14 que la señal deja de ser nula fuera de su tramo original: el desplazamiento afecta a todo el eje temporal.
8.5 Escalado en amplitud
\[ y(t) = A \cdot x(t), \qquad y[n] = A \cdot x[n] \]
Multiplica todos los valores por una constante \(A\). Con \(|A| > 1\) se amplifica la señal y con \(|A| < 1\) se atenúa; es lo que hace el mando de volumen de un amplificador. La Figura 15 muestra ambos casos: cambia la altura, pero no la duración ni la forma.
8.6 Inversión en amplitud
\[ y(t) = -x(t), \qquad y[n] = -x[n] \]
Es el caso particular \(A = -1\) del escalado: la señal se refleja respecto al eje horizontal, sin alterar el eje de tiempos. No debe confundirse con la inversión temporal de la Ec. 16, que refleja respecto al eje vertical. Comparando la Figura 16 con la Figura 12 se aprecia la diferencia: aquí el tramo negativo se vuelve positivo, pero sigue ocupando \([2,3)\).
8.7 No conmutatividad de las operaciones
Cuando se combinan un escalado y un desplazamiento, el orden importa. Para obtener \(y(t) = x(at + b)\) la secuencia correcta es:
- Aplicar la escala: \(t \to at\).
- Aplicar después el desplazamiento: \(t \to t + b/a\), es decir, \(b/a\) y no \(b\).
Una comprobación rápida y segura consiste en localizar el instante en el que la señal transformada toma el valor que \(x\) tomaba en el origen: \(at + b = 0 \Rightarrow t = -b/a\).
La Figura 17 muestra qué ocurre cuando se invierte el orden: desplazar primero y escalar después produce una señal distinta, situada en otro instante. Ambas transformaciones comprimen igual, pero solo una está en el sitio correcto.
9 Correlación y convolución
Las operaciones anteriores transforman una única señal. La correlación y la convolución son distintas: combinan dos señales para producir una tercera. Aquí se presentan como operaciones entre señales, \(x_1\) y \(x_2\); más adelante, en los capítulos de sistemas LTI, la convolución reaparecerá con un papel protagonista, cuando una de las dos señales sea la respuesta al impulso de un sistema.
9.1 Correlación cruzada
Nota📝 Definición — correlación cruzada
La correlación cruzada mide el parecido entre dos señales en función de un desplazamiento relativo \(l\) (o \(\tau\) en continuo):
\[ R_{x_1x_2}[l] = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x_1[n]\,x_2[n+l], \qquad R_{x_1x_2}(\tau) = \int_{-\infty}^{\infty} x_1(t)\,x_2(t+\tau)\, dt \tag{18}\]
donde \(l\) se denomina retardo (lag).
La idea es sencilla: se desliza una señal sobre la otra y, para cada desplazamiento, se multiplican punto a punto y se suma. El resultado es grande cuando ambas señales «encajan» y pequeño cuando no guardan relación. El valor de \(l\) donde la correlación alcanza su máximo indica cuánto hay que desplazar una señal para que se parezca lo más posible a la otra, y esa es su utilidad principal: medir retardos. En Python se calcula con np.correlate.
9.2 Autocorrelación
Nota📝 Definición — autocorrelación
La autocorrelación es la correlación cruzada de una señal consigo misma:
\[ R_{xx}[l] = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n]\,x[n+l], \qquad R_{xx}(\tau) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t)\,x(t+\tau)\, dt \tag{19}\]
Comparar una señal consigo misma puede parecer inútil, pero no lo es: revela estructura interna. Si la señal esconde una componente periódica, la autocorrelación presenta picos en los múltiplos de ese periodo, incluso cuando el ruido hace que la periodicidad sea invisible a simple vista, como muestra la Figura 20.
9.3 Propiedades de la autocorrelación
| Propiedad | Expresión |
|---|---|
| Simetría par | \(R_{xx}[l] = R_{xx}[-l]\) |
| Máximo en el origen | \(R_{xx}[0] \geq |R_{xx}[l]| \quad \forall l\) |
| Valor en el origen | \(R_{xx}[0] = E_x\) (la energía de la señal) |
La última propiedad es especialmente interesante: en el desplazamiento nulo, la señal coincide consigo misma y la suma de productos se convierte en la suma de cuadrados, que es justamente la energía que se define en la Sección 10. Correlación y energía son, por tanto, dos caras de la misma moneda.
9.4 Convolución: definición y propiedades
Nota📝 Definición — convolución
La convolución de dos señales combina una con una versión reflejada y desplazada de la otra:
\[ (x_1 * x_2)[n] = \sum_{k=-\infty}^{\infty} x_1[k]\,x_2[n-k], \qquad (x_1 * x_2)(t) = \int_{-\infty}^{\infty} x_1(\tau)\,x_2(t-\tau)\, d\tau \tag{20}\]
La diferencia con la correlación es únicamente ese reflejo, pero cambia por completo su interpretación y sus propiedades.
| Propiedad | Expresión |
|---|---|
| Conmutativa | \(x_1 * x_2 = x_2 * x_1\) |
| Asociativa | \((x_1 * x_2) * x_3 = x_1 * (x_2 * x_3)\) |
| Distributiva | \(x_1 * (x_2 + x_3) = x_1 * x_2 + x_1 * x_3\) |
| Elemento neutro | \(x * \delta = x\) |
| Desplazamiento | \(x_1(t-t_1) * x_2(t-t_2) = (x_1 * x_2)(t - t_1 - t_2)\) |
En tiempo discreto, si \(x_1\) tiene \(L_1\) muestras no nulas y \(x_2\) tiene \(L_2\), el resultado tiene exactamente
\[ L_y = L_1 + L_2 - 1 \]
muestras: la convolución ensancha las señales. En Python se calcula con np.convolve.
Importante⚠️ Correlación ≠ convolución
Las dos operaciones deslizan una señal sobre otra, pero solo la convolución refleja:
\[ (x_1 * x_2)(t) = \int x_1(\tau)\,x_2(t-\tau)\,d\tau \quad\text{(convolución: refleja)} \] \[ R_{x_1x_2}(\tau) = \int x_1(t)\,x_2(t+\tau)\,dt \quad\text{(correlación: no refleja)} \]
Si \(x_2\) es una señal par, ambas coinciden. En Python: np.convolve frente a np.correlate.
9.5 Evaluación gráfica de la convolución
El cálculo de \((x_1 * x_2)(t)\) para un instante \(t\) concreto sigue siempre cuatro pasos:
- Reflejar \(x_2\): obtener \(x_2(-\tau)\).
- Desplazar por \(t\): obtener \(x_2(t - \tau)\).
- Multiplicar punto a punto por \(x_1(\tau)\).
- Integrar (o sumar, en discreto) el producto: ese área es el valor \(y(t)\).
Repitiendo el proceso para todos los valores de \(t\) se obtiene la señal completa. La Figura 21 lo muestra en movimiento: al deslizar el pulso reflejado, el área sombreada del producto va dibujando la salida punto a punto.
El resultado ilustra dos hechos generales: la convolución de dos pulsos rectangulares es un trapecio (un triángulo si ambos tienen la misma anchura), y su anchura es la suma de las anchuras de las señales de partida, que es la versión continua de la regla \(L_y = L_1 + L_2 - 1\).
9.6 Convolución con la delta de Dirac
La delta de Dirac de la Ec. 10 es el elemento neutro de la convolución:
\[ x(t) * \delta(t) = x(t), \qquad x(t) * \delta(t - t_0) = x(t - t_0) \tag{21}\]
y en tiempo discreto, con la delta de Kronecker de la Ec. 9, \(x[n] * \delta[n - n_0] = x[n - n_0]\). Convolucionar con una delta desplazada equivale, por tanto, a desplazar la señal, que es la operación de la Ec. 15. Esto no es casualidad: es la propiedad de muestreo de la Ec. 11 vista desde otro ángulo, y es la razón por la que cualquier señal puede escribirse como una suma (o integral) de deltas desplazadas y escaladas.
10 Energía y potencia
10.1 Introducción
La energía y la potencia son magnitudes fundamentales para clasificar señales y determinar sus propiedades en el contexto del procesado de señal (Oppenheim et al. 1997).
10.2 Energía
Nota📝 Definición — energía
La energía total de una señal se define como:
\[ E_x = \sum_{n=-\infty}^{\infty} |x[n]|^2 \tag{22}\]
\[ E_x = \int_{-\infty}^{\infty} |x(t)|^2\, dt \tag{23}\]
Para señales complejas se usa el módulo al cuadrado \(|x[n]|^2 = x[n] \cdot x^*[n]\).
10.3 Potencia
Nota📝 Definición — potencia media
La potencia media es la energía por unidad de tiempo, promediada sobre un intervalo que crece indefinidamente:
\[ P_x = \lim_{N \to \infty} \frac{1}{2N+1} \sum_{n=-N}^{N} |x[n]|^2 \tag{24}\]
\[ P_x = \lim_{T \to \infty} \frac{1}{2T} \int_{-T}^{T} |x(t)|^2\, dt \tag{25}\]
Para una señal periódica de periodo \(T_0\) basta integrar sobre un periodo:
\[ P_x = \frac{1}{T_0} \int_{0}^{T_0} |x(t)|^2\, dt \tag{26}\]
10.4 Tabla resumen continuo vs. discreto
| Magnitud | Discreta | Continua |
|---|---|---|
| Energía | \(\displaystyle\sum_{n=-\infty}^{\infty} \|x[n]\|^2\) | \(\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \|x(t)\|^2\,dt\) |
| Potencia | \(\displaystyle\lim_{N\to\infty}\frac{1}{2N+1}\sum_{n=-N}^{N}\|x[n]\|^2\) | \(\displaystyle\lim_{T\to\infty}\frac{1}{2T}\int_{-T}^{T}\|x(t)\|^2\,dt\) |
10.5 Clasificación energética
| Tipo | Condición | Ejemplo discreto | Ejemplo continuo |
|---|---|---|---|
| Señal de energía | \(0 < E_x < \infty\), \(P_x = 0\) | \(a^n u[n]\), \(\|a\|<1\) | \(e^{-at}u(t)\), \(a>0\) |
| Señal de potencia | \(0 < P_x < \infty\), \(E_x = \infty\) | \(\cos(\Omega n)\) | \(\cos(\omega t)\) |
| Ni energía ni potencia | \(E_x = \infty\), \(P_x = \infty\) | \(r[n]=n\cdot u[n]\) | \(r(t)=t\cdot u(t)\) |
Advertencia⚠️ Una señal no puede ser de energía y de potencia a la vez
Si la energía es finita, la potencia es necesariamente cero, ya que se divide una cantidad finita por un intervalo que tiende a infinito. Y si la potencia es no nula, la energía es infinita.
10.6 Ejemplo: cálculo de energía
Calculemos la energía de la señal \(x[n] = a^n u[n]\) con \(|a| < 1\):
\[ E_x = \sum_{n=0}^{\infty} |a^n|^2 = \sum_{n=0}^{\infty} |a|^{2n} = \frac{1}{1 - |a|^2} \tag{27}\]
ya que es una serie geométrica convergente cuando \(|a| < 1\).
Energía teórica: E = 1/(1 - 0.8²) = 2.777778
Energía numérica (50 muestras): 2.77777810.7 Ejemplo: potencia de una sinusoide
Para \(x[n] = A\cos(\Omega n + \phi)\), la potencia media es:
\[ P_x = \frac{A^2}{2} \tag{28}\]
Tip💡 Demostración rápida
Usando la identidad \(\cos^2(\theta) = \frac{1 + \cos(2\theta)}{2}\):
\[ P_x = \lim_{N \to \infty} \frac{1}{2N+1} \sum_{n=-N}^{N} A^2 \cos^2(\Omega n + \phi) = \frac{A^2}{2} \]
ya que el término \(\cos(2\Omega n + 2\phi)\) tiene media cero.
10.8 Decibelios (dB)
En ingeniería de señales, es habitual expresar energía y potencia en decibelios:
\[ \text{Potencia en dB} = 10 \log_{10}\left(\frac{P}{P_{\text{ref}}}\right) \]
\[ \text{Amplitud en dB} = 20 \log_{10}\left(\frac{A}{A_{\text{ref}}}\right) \tag{29}\]
Tip🔍 Curiosidad: ¿Por qué decibelios?
La escala en decibelios fue introducida por ingenieros de Bell Telephone Laboratories en la década de 1920. El nombre honra a Alexander Graham Bell. Se usa una escala logarítmica porque:
- El oído humano percibe la intensidad sonora de forma logarítmica.
- Permite trabajar con rangos dinámicos enormes (de \(10^{-12}\) a \(10^0\) W/m² en acústica).
- Convierte multiplicaciones en sumas, simplificando cálculos de cadenas de amplificadores y atenuadores.
| Relación lineal | dB (potencia) | dB (amplitud) |
|---|---|---|
| 0.001 | -30 | -60 |
| 0.01 | -20 | -40 |
| 0.1 | -10 | -20 |
| 0.5 | -3 | -6 |
| 1 | 0 | 0 |
| 2 | 3 | 6 |
| 10 | 10 | 20 |
| 100 | 20 | 40 |
| 1000 | 30 | 60 |
Nota📖 Para profundizar — clasificación, operaciones y energía
La clasificación de señales se detalla en Oppenheim et al. (1997, cap. 1, Secciones 1.1–1.3) y Haykin y Van Veen (2014, cap. 1); las operaciones, en Oppenheim et al. (1997, sec. 1.3–1.5). La correlación se trata en Oppenheim y Schafer (2010, sec. 2.10) y Proakis y Manolakis (2007, sec. 2.6). Los conceptos de energía y potencia aparecen en Oppenheim et al. (1997, sec. 1.1.2) y Oppenheim y Schafer (2010, sec. 2.1), y la escala de decibelios en Proakis y Manolakis (2007, Apéndice A).
Haykin, Simon, y Barry Van Veen. 2014. Signals and Systems. 2nd ed. John Wiley & Sons.
Lathi, B. P. 2005. Linear Systems and Signals. 2nd ed. Oxford University Press.
Oppenheim, Alan V., y Ronald W. Schafer. 2010. Discrete-Time Signal Processing. 3rd ed. Prentice Hall.
Oppenheim, Alan V., Alan S. Willsky, y S. Hamid Nawab. 1997. Signals and Systems. 2nd ed. Prentice Hall.
Proakis, John G., y Dimitris G. Manolakis. 2007. Digital Signal Processing: Principles, Algorithms, and Applications. 4th ed. Prentice Hall.