Introducción

• Ya sabemos bastante sobre señales: cómo se describen, se clasifican y se transforman
• Ahora nos ocupamos de lo que actúa sobre ellas: un micrófono, un filtro, un amplificador
• Cualquier de estos elementos es un sistema
• Objetivo del tema: saber qué propiedades tiene un sistema y qué podemos hacer con él.

¿Qué es un sistema?

• Definición: proceso que transforma una señal de entrada en una señal de salida.

\[{\color{#e74c3c}{y(t)}} = T\{{\color{#2c7fb8}{x(t)}}\} \qquad\qquad {\color{#e74c3c}{y[n]}} = T\{{\color{#2c7fb8}{x[n]}}\}\]

• Notación: \(T\{\cdot\}\) es el operador del sistema; las llaves indican que actúa sobre una señal
• Diagrama de bloques: la forma habitual de dibujarlo, con la entrada a la izquierda.

Sistemas en la vida cotidiana (i)

Casi cualquier aparato es un sistema: basta identificar qué entra y qué sale.

• Ecualizador de audio: la señal de audio entra, sale la misma señal con más graves o agudos.
• Motor eléctrico: la señal de control entra, sale la velocidad de giro.
• Suspensión de un coche: la fuerza de un bache entra, sale la aceleración del chasis.
• Un cargador: la tensión de red entra, sale una tensión continua estable.

Sistemas en la vida cotidiana (ii)

Modelado de sistemas

Circuito RC: la entrada es la tensión de la fuente y la salida es la tensión en bornes del condensador

\[RC\,\frac{dv_C(t)}{dt} + v_C(t) = v_s(t)\]

Promediador móvil: la entrada es una secuencia de valores y la salida es la media de los tres últimos

\[y[n] = \frac{x[n] + x[n-1] + x[n-2]}{3}\]

Las seis propiedades

Vamos a estudiar seis propiedades, y cada una nos dice algo distinto:

• Memoria: ¿necesita recordar el pasado?
• Causalidad: ¿puede construirse en tiempo real?
• Invertibilidad: ¿se puede deshacer lo que hace?
• Estabilidad: ¿se le puede dar una entrada sin que se descontrole?
• Invarianza temporal: ¿se comporta igual hoy que mañana?
• Linealidad: ¿vale el principio de superposición?

Sin memoria y con memoria

• Sin memoria (estático): la salida en un instante solo depende de la entrada en ese mismo instante.
• Con memoria (dinámico): depende también del valor de la entrada en otros instantes.

\[v(t) = R\,i(t) \quad\qquad\qquad\qquad i(t) = C\,\frac{dv(t)}{dt} \quad\qquad\qquad\qquad v(t) = L\,\frac{di(t)}{dt}\]

• Sistemas físicos: todo lo que almacena energía tiene memoria (condensadores, bobinas, muelles)

Causalidad

• Causal: la salida en cada instante solo depende de la entrada en ese mismo instante y en instantes pasados.
• No causal: la salida depende de la entrada en instantes futuros.

\[y[n] = \frac{x[n] + x[n-1]}{2} \qquad\qquad\qquad y[n] = \frac{x[n] + x[n+1]}{2} \]

• Sistemas no causales: los únicos sistemas no causales son algoritmos que procesan señales ya grabadas. Cualquier sistema físico o algoritmo en tiempo real, son causales.

Invertibilidad

• Invertible: existe otro sistema que, aplicado a la salida, recupera la entrada original
• No invertible: no existe tal sistema

\[ \qquad\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad y[n] = 2\,x[n] \qquad \qquad \qquad y(t) = |x(t)| \]

• Comunicaciones: cualquier pareja de codificador y decodificador son sistemas inversos

Estabilidad BIBO (bounded input, bounded output)

• BIBO estable: toda entrada acotada produce una salida acotada
• BIBO inestable: existe alguna entrada acotada que produce una salida no acotada

\[ \qquad\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \dot{y}(t) = -y(t) + u(t) \qquad \qquad y(t) = \int_{0}^{t} u(\tau) d\tau \]

• Sistemas físicos: en la práctica, los sistemas inestables saturan, oscilan o se rompen. Nunca una variable física crece indefinidamente.

Invarianza temporal (i)

• Invariante: un retardo en la entrada simplemente retrasa la salida

\[T\{x[n-n_0]\} = y[n-n_0] \qquad\qquad T\{x(t-t_0)\} = y(t-t_0)\]

• Variante: un retardo en la entrada produce una salida totalmente diferente.

Representación en diagrama de bloques de la condición (continuo):

Representación en diagrama de bloques de la condición (discreto):

Invarianza temporal (ii)

Comparativa de un sistema invariante y uno variante en el tiempo:

• Círculos: la salida original retrasada. Si rodean a la nueva salida, el sistema es invariante.

Linealidad (i)

• Lineal: cumple el principio de superposición, es decir, la salida a una combinación lineal de entradas es la misma combinación lineal de las salidas:

\[T\{a_1x_1 + a_2x_2\} = a_1T\{x_1\} + a_2T\{x_2\}\]

• No lineal: no cumple el principio de superposición.

Representación en diagrama de bloques de la condición:

Linealidad (ii)

Comparativa de un sistema lineal y uno no lineal:

• Círculos: indican la suma de las salidas individuales; si coinciden entonces el sistema es lineal.

Comprobar si un sistema es LTI

Ejemplo: no lineal pero invariante en el tiempo

Ejemplo: lineal pero no invariante en el tiempo

Resumen de propiedades

Por qué LTI es la clase que importa

Un sistema LTI es lineal e invariante en el tiempo (se deben cumplir ambas propiedades). Son fundamentales por los siguientes motivos, entre otros:

• Se describen con una sola señal
  • la respuesta impulsional \(h[n]\) o \(h(t)\) contiene toda la información sobre el sistema
• La salida se obtiene con una convolución:
  • Se cumple que \(y(t) = (x * h)(t)\) ó \(y[n] = (x * h)[n]\) en discreto, y ya sabemos calcularla
• Admiten transformadas
  • Laplace y \(\mathcal{Z}\) convertirán la convolución en un producto, simplificando mucho el análisis
• Modelan muchísimos sistemas reales:
  • Circuitos eléctricos, filtros analógicos/digitales, motores DC, sistemas mecánicos, etc.

La respuesta impulsional

• Definición: se define como la salida del sistema cuando la entrada es un impulso.

\[h(t) = T\{\delta(t)\} \qquad\qquad h[n] = T\{\delta[n]\}\]

• Señal de prueba: por eso el impulso es la señal de prueba por excelencia
• En el laboratorio: se mide golpeando el sistema (un golpe a un pendulo, un pulso en un circuito).

Circuito RC: transitorio y permanente

fmt_rc = (v, u) => {
  const pref = [[1e6, "M"], [1e3, "k"], [1, ""], [1e-3, "m"], [1e-6, "µ"], [1e-9, "n"]];
  const [k, p] = pref.find(([k]) => v >= k * 0.999) ?? pref[pref.length - 1];
  return `${+(v / k).toPrecision(3)} ${p}${u}`;
}
R_lista_rc = [470, 1e3, 2.2e3, 4.7e3]
C_lista_rc = [100e-6, 220e-6, 470e-6, 1e-3]
viewof R_rc = Inputs.select(new Map(R_lista_rc.map(v => [fmt_rc(v, "Ω"), v])), {value: 1e3, label: "R"})
viewof C_rc = Inputs.select(new Map(C_lista_rc.map(v => [fmt_rc(v, "F"), v])), {value: 1e-3, label: "C"})

viewof modo_rc = Inputs.radio(["Escalón", "Senoidal", "Cuadrada"], {value: "Senoidal", label: "Entrada"})
// Frecuencia en escala logarítmica, de 0.05 a 2 Hz. El valor es la frecuencia en Hz y es
// `transform` quien hace logarítmico el recorrido del deslizador: así el número que se escribe
// a mano en el cuadro es también la frecuencia, y no el exponente
viewof f_rc = Inputs.range([0.05, 2], {value: 0.16, step: 0.01, transform: Math.log,
                           label: "f (Hz)"})

{
  const fc = 1 / (2 * Math.PI * R_rc * C_rc);
  return html`<div class="ojs-texto"><p>f<sub>c</sub> = 1/(2πRC) = ${+fc.toPrecision(3)} Hz</p></div>`;
}

rc = {
  const tau = R_rc * C_rc, w = 2 * Math.PI * f_rc, T = 2 * Math.PI / w;
  const Tv = 10;          // eje horizontal fijo, en segundos
  const N = 3000, dt = Tv / N;
  const ts = d3.range(-0.05 * N, N + 1).map(i => i * dt);
  let x, y, p;
  if (modo_rc === "Escalón") {
    x = t => t < 0 ? 0 : 1;
    y = t => t < 0 ? 0 : 1 - Math.exp(-t / tau);
    p = t => 1;
  } else if (modo_rc === "Senoidal") {
    // x(t) = cos(ωt) u(t): permanente con ganancia 1/√(1+(ωτ)²) y desfase arctan(ωτ)
    const g = 1 / Math.sqrt(1 + (w * tau) ** 2), fi = Math.atan(w * tau);
    x = t => t < 0 ? 0 : Math.cos(w * t);
    p = t => g * Math.cos(w * t - fi);
    y = t => t < 0 ? 0 : p(t) - g * g * Math.exp(-t / tau);
  } else {
    // Cuadrada de 0 a 1 V. Entre flancos la salida tiende exponencialmente a la entrada; el
    // permanente es la solución periódica, que en cada flanco de subida parte de a/(1+a)
    const a = Math.exp(-T / (2 * tau));
    x = t => t < 0 ? 0 : (t % T) < T / 2 ? 1 : 0;
    p = t => {
      const s = ((t % T) + T) % T;
      return s < T / 2 ? 1 + (a / (1 + a) - 1) * Math.exp(-s / tau)
                       : (1 + (a / (1 + a) - 1) * a) * Math.exp(-(s - T / 2) / tau);
    };
    // La diferencia entre salida y permanente es un transitorio puro, proporcional a e^{-t/τ}
    y = t => t < 0 ? 0 : p(t) - p(0) * Math.exp(-t / tau);
  }
  return {
    datos: ts.map(t => ({t, x: x(t), y: y(t), p: t < 0 ? null : p(t)})),
    tau: [tau]
  };
}

html`<div class="ojs-texto"><p>
  <span style="color:#2c7fb8">━ entrada x(t)</span> &nbsp;
  <span style="color:#e74c3c">━ salida v<sub>C</sub>(t)</span>
  &nbsp; <span style="color:#41ab5d">┅ permanente</span>
</p></div>`

Plot.plot({
  width: 1216, height: 300,
  x: {label: "t (s)", domain: [-0.5, 10]},
  y: {label: "V", grid: true, domain: [-1.15, 1.15]},
  marks: [
    Plot.ruleY([0]),
    Plot.ruleX(rc.tau, {stroke: "#555", strokeDasharray: "6 4"}),
    Plot.text(rc.tau, {x: d => d, frameAnchor: "top", text: () => "τ", dx: 12, fill: "#555"}),
    Plot.line(rc.datos, {x: "t", y: "x", stroke: "#2c7fb8", strokeWidth: 2}),
    Plot.line(rc.datos, {x: "t", y: "p", stroke: "#41ab5d", strokeWidth: 2, strokeDasharray: "6 4"}),
    Plot.line(rc.datos, {x: "t", y: "y", stroke: "#e74c3c", strokeWidth: 2.5})
  ]
})

Transitorio y permanente

• Hemos visto que la salida de un sistema LTI puede descomponerse en dos partes:

  • Transitorio: depende de las condiciones iniciales y tiende a cero con el tiempo.
  • Régimen permanente: depende de la entrada y permanece indefinidamente.

• A veces, nos puede interesar calcular solo el permanente

  • En ese caso, podemos omitir la función escalón de la entrada

• Por ejemplo, en el circuito RC anterior:

  • Con \(x(t) = \cos(t) u(t)\) obtenemos el transitorio y el permanente, como ya hemos visto
  • Con \(x(t) = \cos(t)\) obtenemos solo el permanente

FIR e IIR

Según la duración de la respuesta impulsional, los sistemas discretos se clasifican en:

• FIR (finite impulse response): su \(h[n]\) tiene un número finito de muestras no nulas.
• IIR (infinite impulse response): su \(h[n]\) se extiende indefinidamente.

\[h_{\text{FIR}}[n] = \{\tfrac{1}{3},\, \tfrac{1}{3},\, \tfrac{1}{3}\} \qquad\qquad h_{\text{IIR}}[n] = 0{,}8^n\,u[n]\]

• Filtros digitales: un FIR siempre es estable; un IIR puede ser estable o inestable

Conexión en serie

Dos sistemas están en serie cuando la salida del primero es la entrada del segundo (también llamada cascada):

\[y(t) = T_2\big\{T_1\{x(t)\}\big\} \qquad\qquad h = h_1 * h_2\]

• Las respuestas impulsionales se convolucionan, no se multiplican.
• La conexión en serie es conmutativa: el orden de los bloques no importa.
• Ejemplo: la cadena micrófono → preamplificador → ecualizador → altavoz es una cascada.

Conexión en paralelo

Dos sistemas están en paralelo cuando la misma entrada alimenta los dos sistemas y las salidas se suman.

\[y(t) = T_1\{x(t)\} + T_2\{x(t)\} \qquad\qquad h = h_1 + h_2\]

• En este caso se suman las respuestas impulsionales
• Ejemplo: un ecualizador de bandas es un paralelo de filtros, cada uno con su ganancia

Realimentación

• Definición: parte de la salida vuelve a la entrada y se resta de ella.

• Sistemas de control: la realimentación permite que un sistema siga una referencia, por ejemplo, la temperatura en un termostato o la velocidad del coche en un control de crucero.

• Solución: el cálculo del sistema equivalente requiere el uso de transformadas (Laplace o \(\mathcal{Z}\)), lo veremos más adelante

Para terminar