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Contenidos

  1. Modelado
  2. Ecuaciones diferenciales
  3. Ecuaciones en diferencias
  4. Transitorio, permanente y estabilidad

Prerrequisitos

  • Temas 1 y 3
  • Matemáticas I, II y III
  • Circuitos Electrónicos

Modelado

De la física a la ecuación (i)

El uso de ecuaciones diferenciales en la ingeniería es fundamental.

  • Gobiernan el comportamiento de los sistemas físicos, como circuitos eléctricos, sistemas mecánicos y sistemas de control.

  • Permiten predecir la evolución de sistemas a lo largo del tiempo, lo que es crucial para el diseño y análisis de sistemas.

Pongamos de ejemplo la misión espacial Artemis:

  • ¿Cómo calculamos la trayectoria de la nave espacial?

  • ¿Cómo decidimos cuándo encender los motores y con qué intensidad?

  • Necesitamos una ecuación diferencial que relacione su posición (salida) con la fuerza de los motores (entrada).

De la física a la ecuación (ii)

Las leyes de cada dominio dan directamente la ecuación del sistema:

RC (primer orden)

\[RC\,\dot{v}_C + v_C = v_s\]

RLC serie (segundo orden)

\[LC\,\ddot{v}_C + RC\,\dot{v}_C + v_C = v_s\]

Masa-muelle (segundo orden)

\[m\,\ddot{y} + b\,\dot{y} + k\,y = f\]

  • Las EDOs son el resultado de aplicar leyes físicas (Kirchhoff, Newton, etc.) a un sistema
  • Fíjate que todas son ecuaciones diferenciales lineales de coeficientes constantes
  • El término de la derecha es la entrada que “fuerza” al sistema (tensión, fuerza, etc.)

Resolución de ecuaciones diferenciales (i)

Una ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes se define mediante su ecuación y las condiciones iniciales:

\[ \begin{cases} a_n\dfrac{d^n y}{dt^n} + \cdots + a_1\dfrac{dy}{dt} + a_0 y = \varphi(t) \\[4pt] y(t_0) = y_0 \\ y'(t_0) = y_1 \\ y''(t_0) = y_2 \\ \quad\vdots \\ y^{(n-1)}(t_0) = y_{n-1} \end{cases} \]

  • El orden de la ecuación es \(n\), se corresponde con la derivada más alta

  • Se necesitan \(n\) condiciones iniciales para determinar la solución única

  • Como son lineales y además tienen coeficientes constantes, eso implica que los sistemas modelados son LTI

  • Su solución se expresa como la suma de dos partes:

\[ y(t) = y_h(t) + y_p(t) \]

  • La solución homogénea \(y_h(t)\) representa la respuesta del sistema en ausencia de entradas externas

    • Su estructura depende de la ecuación característica

    • Sus constantes dependen de las condiciones iniciales

  • La solución particular \(y_p(t)\) representa la respuesta del sistema para una entrada externa dada

    • Su estructura depende de la estructura de la entrada

    • Es independiente de las condiciones iniciales

  • En sistemas estables:

    • El término \(y_h(t)\) se desvanece con el tiempo (transitorio)
    • El término \(y_p(t)\) sobrevive con el tiempo (permanente)

Resolución de ecuaciones diferenciales (ii)

  • Primer paso: obtener la solución homogénea, \(y_h(t)\), que satisface la ecuación sin entradas externas:

\[ a_n\dfrac{d^n y_h}{dt^n} + \cdots + a_1\dfrac{dy_h}{dt} + a_0 y_h = 0\]

  • Segundo paso: obtener la solución particular, \(y_p(t)\), que satisface la ecuación con la entrada externa:

\[ a_n\dfrac{d^n y_p}{dt^n} + \cdots + a_1\dfrac{dy_p}{dt} + a_0 y_p = \varphi(t)\]

  • Tercer paso: aplicar las condiciones iniciales para obtener la solución final

Resolución de la homogénea

  1. Calcular el polinomio característico: \(a_n s^n + \cdots + a_1 s + a_0 = 0\).
  2. Encontrar sus raíces \(s_1, s_2, \dots, s_n\).
  3. Construir la solución \(y_h(t)\) según las raíces:
Tipo de raíz Forma del modo
Real simple \(K e^{s_k t}\)
Real multiplicidad \(m\) \((K_1 + K_2 t + \dots + K_m t^{m-1}) e^{s_k t}\)
Compleja conjugada (\(s = \sigma \pm j\omega\)) \(e^{\sigma t}\left(K_1 \cos(\omega t) + K_2 \sin(\omega t)\right)\)

Resolución de la particular

  1. Construir la solución \(y_p(t)\) según el tipo de entrada:
Entrada \(\varphi(t)\) Forma de \(y_p(t)\)
Constante \(C\)
Lineal \(C_1 t + C_2\)
Exponencial \(C e^{at}\)
Seno/Coseno \(C_1 \cos(\omega t) + C_2 \sin(\omega t)\)
  1. Sustituir \(y_p(t)\) en la ecuación diferencial y calcular las constantes \(C_j\)

Resolución completa

  1. Construir la solución final \(y(t) = y_h(t) + y_p(t)\)
  2. Aplicar las condiciones iniciales para determinar las constantes \(K_j\).

Mapa de raíces: el plano s

Ejemplo circuito RLC: obtención de la EDO

📐 Ejemplo 4.1: Circuito RLC serie

Un circuito RLC serie con \(R = 3\ \Omega\), \(L = 1\) H y \(C = 0{,}5\) F. La entrada es la tensión de la fuente \(v_s(t)\), y la salida la tensión en bornes del condensador, \(v_C(t)\). El circuito está en reposo, es decir, el condensador está descargado y no circula corriente.

Calcula la tensión en el condesador \(v_c(t)\) si se enciende una fuente de alimentación en \(t = 0\) configurada como:

a) Tensión continua \(v_s(t) = 10 \, u(t)\) V

b) Tensión \(v_s(t) = 10 \cos(t) u(t)\) V

1) Ley de tensiones de Kirchhoff: la fuente se reparte entre los tres elementos.

\[v_s(t) = v_R(t) + v_L(t) + v_C(t)\]

2) Ley de cada elemento, con la misma corriente \(i(t)\) en los tres (están en serie):

\[v_R(t) = R\,i(t) \qquad v_L(t) = L\,\frac{di(t)}{dt} \qquad i(t) = C\,\frac{dv_C(t)}{dt}\]

3) Se elimina la corriente, sustituyendo \(i(t)\) en \(v_R(t)\) y \(v_L(t)\):

\[v_R(t) = RC\,\frac{dv_C(t)}{dt} \qquad\qquad v_L(t) = LC\,\frac{d^2 v_C(t)}{dt^2}\]

4) Se llevan a la ley de Kirchhoff, y queda una ecuación solo en \(v_C(t)\) y \(v_s(t)\):

\[LC\,\frac{d^2 v_C(t)}{dt^2} + RC\,\frac{dv_C(t)}{dt} + v_C(t) = v_s(t)\]

5) Con los valores del circuito, y con \(\varphi(t) = v_s(t)\) e \(y(t) = v_C(t)\):

\[\ 0{,}5\,y'' + 1{,}5\,y' + y = \varphi(t)\]

Ejemplo circuito RLC: condiciones iniciales

Ya sabemos que la ecuación diferencial es:

\[\ 0{,}5\,y'' + 1{,}5\,y' + y = \varphi(t)\]

1) Es una EDO de segundo orden, así que necesitamos dos CCII: \(y(0)\) e \(y'(0)\).

2) Recuerda, como \(y(t) = v_C(t)\), eso implica que debemos conocer \(v_c(0)\) y \(v_c'(0)\)

3) El condensador está descargado y por tanto, directamente: \[v_C(0) = 0 \quad\Longrightarrow\quad y(0) = 0\]

4) No circula corriente, es decir, \(i(0) = 0\), pero la corriente del circuito es la misma del condensador, y por tanto, a partir de su ecuación \(i(t) = C\,v_C'(t)\), se deduce que:

\[v_c'(0) = y'(0) = \frac{i(0)}{C} = 0\]

  • Por tanto, tenemos que resolver la EDO:

\[ 0{,}5\,y'' + 1{,}5\,y' + y = \varphi(t) , \qquad y(0) = 0, \quad y'(0) = 0 \]

Ejemplo circuito RLC: entrada escalón

Primer paso: solución homogénea

  1. Polinomio característico y raíces:

\[0{,}5\,s^2 + 1{,}5\,s + 1 = 0 \quad\Longrightarrow\quad s_1 = -1, \quad s_2 = -2\]

  1. Raíces reales simples, y cada una aporta un modo \(K e^{s_k t}\):

\[y_h(t) = K_1\,e^{-t} + K_2\,e^{-2t}\]

Segundo paso: solución particular

  1. La entrada es constante, así que \(y_p(t) = C\).

  2. Sustituir \(y_p\) en la ecuación y calcular \(C\):

\[0{,}5 \cdot 0 + 1{,}5 \cdot 0 + C = 10 \quad\Longrightarrow\quad y_p(t) = 10\]

Tercer paso: solución completa

  1. Calcular la solución completa: \(y(t) = K_1\,e^{-t} + K_2\,e^{-2t} + 10\)

  2. Usar las CCII para obtener \(K_1\) y \(K_2\):

\[\left.\begin{aligned} y(0) &= K_1 + K_2 + 10 = 0 \\ y'(0) &= -K_1 - 2K_2 = 0 \end{aligned}\right\} \quad\Longrightarrow\quad K_1 = -20, \quad K_2 = 10\]

\[{\color{#e74c3c}{y(t)}} = {\color{#9370db}{\underbrace{-20\,e^{-t} + 10\,e^{-2t}}_{y_h(t)}}} + {\color{#41ab5d}{\underbrace{10}_{y_p(t)}}} \ \text{V}, \quad t \geq 0\]

  • La homogénea se desvanece (el campo magnético de la bobina se disipa, el condensador se carga y la resistencia disipa energía)
  • La particular sobrevive (condensador cargado a 10 V)

Ejemplo circuito RLC: entrada senoidal

Primer paso: solución homogénea (¡es la misma!)

\[y_h(t) = K_1\,e^{-t} + K_2\,e^{-2t}\]

Segundo paso: solución particular

  1. La entrada es senoidal, así que \(y_p(t) = C_1\cos(t) + C_2\sin(t)\).

  2. Sustituir \(y_p\) en la ecuación (con sus derivadas \(y_p'\) e \(y_p''\)) y agrupar cosenos y senos:

\[ 0.5 y_p'' + 1.5 y_p' + y_p = x \implies C_1 = 2,\, C_2 = 6\]

Tercer paso: solución completa

  1. Calcular la solución completa:

\[y(t) = K_1\,e^{-t} + K_2\,e^{-2t} + 2\cos(t) + 6\sin(t)\]

  1. Usar las CCII para obtener \(K_1\) y \(K_2\):

\[\left.\begin{aligned} y(0) &= K_1 + K_2 + 2 = 0 \\ y'(0) &= -K_1 - 2K_2 + 6 = 0 \end{aligned}\right\} \quad\Longrightarrow\quad K_1 = -10, \quad K_2 = 8\]

\[{\color{#e74c3c}{y(t)}} = {\color{#9370db}{\underbrace{-10\,e^{-t} + 8\,e^{-2t}}_{y_h(t)}}} + {\color{#41ab5d}{\underbrace{2\cos(t) + 6\sin(t)}_{y_p(t)}}} \ \text{V}, \quad t \geq 0\]

Suma de senos y cosenos

Recuerda que \(a\cos(\omega t) + b\sin(\omega t) = \sqrt{a^2+b^2}\,\cos\!\left(\omega t - \phi\right)\) con \(\phi = -\arctan(b/a)\). Por ejemplo, en este caso, con \(a = 2\) y \(b = 6\): \(y_p(t) = 2\cos(t) + 6\sin(t) = 2\sqrt{10}\,\cos(t - \arctan 3)\).

Ejemplo circuito RLC: fasores

La respuesta permanente del circuito RLC ya sabes calcularla mediante fasores:

  • La entrada \(\varphi(t) = 10\cos(t)\) tiene fasor \(\hat{V}_S = 10\) V

  • Aplicando el divisor de tensión tenemos que:

\[\begin{aligned} \hat{V}_C(j\omega) &= \frac{Z_C}{Z_R + Z_L + Z_C}\,\hat{V}_s(j\omega) = \frac{1/(j\omega C)}{R + j\omega L + 1/(j\omega C)}\,\hat{V}_s(j\omega) \\[6pt] &= \frac{1}{1 - \omega^2 LC + j\omega RC}\,\hat{V}_s(j\omega) = \frac{1}{1 - 0{,}5\,\omega^2 + j\,1{,}5\,\omega}\,\hat{V}_s(j\omega) \end{aligned}\]

  • Particularizando para la frecuencia de la fuente, \(\omega = 1\) rad/s, y con \(\hat{V}_s = 10\) V:

\[\hat{V}_C = \frac{10}{0{,}5 + j\,1{,}5} = \frac{10\,(0{,}5 - j\,1{,}5)}{0{,}5^2 + 1{,}5^2} = 2 - j\,6 \begin{cases} |\hat{V}_C| = 2\sqrt{10} \, \text{V}\\ \angle\hat{V}_C = -\arctan(3) \end{cases}\]

  • Así que en el tiempo \(v_C(t) = 2\sqrt{10}\,\cos(t - \arctan(3))\) V, que coincide con la respuesta particular obtenida anteriormente

Ecuaciones en diferencias

Filtros digitales

Una de las principales aplicaciones de las ecuaciones en diferencias es el procesamiento digital de señales

  • Es habitual usar el operador retardo \(z^{-1}\) (relacionado con la transformada Z)

Filtro paso bajo (IIR)

\[y[n] = (1-a)\,x[n] + a\,y[n-1]\]

Ecualizador de graves y agudos (FIR)

\[y[n] = g_G\,\frac{x[n] + x[n-1]}{2} + g_A\,\frac{x[n] - x[n-1]}{2}\]

Resolución de ecuaciones en diferencias (i)

Una ecuación en diferencias lineal con coeficientes constantes se define mediante su ecuación y las condiciones iniciales:

\[ \begin{cases} a_0\,y[n] + a_1\,y[n-1] + \cdots + a_N\,y[n-N] = \varphi[n] \\[4pt] y[-1] = y_1 \\ y[-2] = y_2 \\ \quad\vdots \\ y[-N] = y_N \end{cases} \]

  • El orden de la ecuación es \(N\), se corresponde con el retardo más grande de la salida

  • Se necesitan \(N\) condiciones iniciales para determinar la solución única

  • Como son lineales y además tienen coeficientes constantes, eso implica que los sistemas modelados son LTI

  • Su solución se expresa como la suma de dos partes:

\[ y[n] = y_h[n] + y_p[n] \]

  • La solución homogénea \(y_h[n]\) representa la respuesta del sistema en ausencia de entradas externas

    • Su estructura depende de la ecuación característica

    • Sus constantes dependen de las condiciones iniciales

  • La solución particular \(y_p[n]\) representa la respuesta del sistema para una entrada externa dada

    • Su estructura depende de la estructura de la entrada

    • Es independiente de las condiciones iniciales

  • En sistemas estables:

    • El término \(y_h[n]\) se desvanece con el tiempo (transitorio)
    • El término \(y_p[n]\) sobrevive con el tiempo (permanente)

Resolución de ecuaciones en diferencias (ii)

  • Primer paso: obtener la solución homogénea, \(y_h[n]\), que satisface la ecuación sin entradas externas:

\[ \small a_0y_h[n] + a_1y_h[n-1] + \cdots + a_Ny_h[n-N] = 0\]

  • Segundo paso: obtener la solución particular, \(y_p[n]\), que satisface la ecuación con la entrada externa:

\[ \small a_0y_p[n] + a_1y_p[n-1] + \cdots + a_Ny_p[n-N] = \varphi[n]\]

  • Tercer paso: aplicar las condiciones iniciales para obtener la solución final

Resolución de la homogénea

  1. Calcular el polinomio característico: \(a_0 z^N + a_1 z^{N-1} + \cdots + a_N = 0\).
  2. Encontrar sus raíces \(z_1, z_2, \dots, z_N\).
  3. Construir la solución \(y_h[n]\) según las raíces:
Tipo de raíz Forma del modo
Real simple \(K z_k^{\,n}\)
Real multiplicidad \(m\) \((K_1 + K_2 n + \dots + K_m n^{m-1})\, z_k^{\,n}\)
Compleja conjugada (\(z = r\,e^{\pm j\Omega_0}\)) \(r^{\,n}\left(K_1 \cos(\Omega_0 n) + K_2 \sin(\Omega_0 n)\right)\)

Resolución de la particular

  1. Construir la solución \(y_p[n]\) según el tipo de entrada:
Entrada \(\varphi[n]\) Forma de \(y_p[n]\)
Constante \(C\)
Lineal \(C_1 n + C_2\)
Exponencial \(C a^n\)
Seno/Coseno \(C_1 \cos(\Omega n) + C_2 \sin(\Omega n)\)
  1. Sustituir \(y_p[n]\) en la ecuación en diferencias y calcular las constantes \(C_j\)

Resolución completa

  1. Construir la solución final \(y[n] = y_h[n] + y_p[n]\)
  2. Aplicar las condiciones iniciales para determinar las constantes \(K_j\).

Mapa de raíces: el plano z

Solución por recurrencia

Algo distintivo de las ecuaciones en diferencias es que se pueden resolver por recurrencia. Esto permite ver el patrón de la solución y deducir su fórmula general.

Por ejemplo, podemos calcular la respuesta impulsional del filtro paso bajo IIR

\[y[n] = 0{,}2\,x[n] + 0{,}8\,y[n-1]\]

  • La salida ante \(x[n] = \delta[n]\) partiendo del reposo, \(y[-1] = 0\) es:

\[\begin{aligned} y[0] &= 0{,}2\cdot 1 + 0{,}8\cdot 0 = 0{,}2 \\ y[1] &= 0{,}2\cdot 0 + 0{,}8\,y[0] = 0{,}8\cdot 0{,}2 \\ y[2] &= 0{,}2\cdot 0 + 0{,}8\,y[1] = 0{,}8^2\cdot 0{,}2 \\ y[3] &= 0{,}2\cdot 0 + 0{,}8\,y[2] = 0{,}8^3\cdot 0{,}2 \\ \dots \\ y[n] &= 0{,}8^n\cdot 0{,}2 \end{aligned}\]

  • Por tanto:

\[h[n] = 0{,}2\cdot 0{,}8^{\,n}\,u[n]\]

Ejemplo primer orden

📐 Ejemplo 4.2: Cuenta de ahorro con interés

Una cuenta da un \(2\,\%\) anual. La cuenta se abre con 1000 € y cada año se ingresan 500 € más.

a) Escribe la ecuación en diferencias que describe la evolución del saldo.

b) ¿Se puede resolver por recurrencia?

c) Resuelve la ecuación por el método habitual (homogénea y particular). ¿Cuál es el saldo a los 20 años?

💡 Solución a)

Cada año el saldo anterior crece un \(2\,\%\) y se le suman los 500 € del ingreso:

\[y[n] = 1{,}02\,y[n-1] + 500, \quad n \geq 1, \qquad\text{con } y[0] = 1000\]

Es una ecuación de primer orden, \(y[n] - 1{,}02\,y[n-1] = \varphi[n]\), con término no homogéneo constante, \(\varphi[n] = 500\), y una condición inicial.

💡 Solución b)

Se aplica la ecuación año a año sin operar, para que se vea el patrón:

\[\begin{aligned} y[1] &= 1{,}02\,y[0] + 500 \\ y[2] &= 1{,}02\,y[1] + 500 = (1{,}02)^2\,y[0] + 500\,(1{,}02 + 1) \\ y[3] &= 1{,}02\,y[2] + 500 = (1{,}02)^3\,y[0] + 500\,\big((1{,}02)^2 + 1{,}02 + 1\big) \\ y[n] &= (1{,}02)^n\,y[0] + 500 \sum_{k=0}^{n-1} (1{,}02)^k \end{aligned}\]

El último término es una suma geométrica finita de razón \(1{,}02\):

\[\sum_{k=0}^{n-1} (1{,}02)^k = \frac{(1{,}02)^{0} - (1{,}02)^{(n-1)+1}}{1 - 1{,}02} = \frac{1 - (1{,}02)^n}{-0{,}02} = 50 \,(1{,}02^n - 1)\]

Con \(y[0] = 1000\) y \(500 / 0{,}02 = 25\,000\), queda la fórmula del saldo para \(n \geq 0\):

\[y[n] = 1000 \cdot 1{,}02^n + 25\,000\,\big(1{,}02^n - 1\big) = 26\,000\cdot 1{,}02^n - 25\,000\]

💡 Solución c)

Homogénea: la ecuación característica es \(z - 1{,}02 = 0\), con una raíz real simple, así que \(y_h[n] = K\,(1{,}02)^n\).

Particular: como \(\varphi[n]\) es constante, se prueba \(y_p[n] = C\):

\[C - 1{,}02\,C = 500 \quad\Longrightarrow\quad C = -\frac{500}{0{,}02} = -25\,000\]

Completa: con \(y[0] = K - 25\,000 = 1000\) sale \(K = 26\,000\), y por tanto

\[y[n] = 26\,000\,(1{,}02)^n - 25\,000, \qquad n \geq 0\]

Es la misma fórmula que da la recurrencia. A los 20 años, \(y[20] \approx 13\,635\) €.

Ejemplo polos conjugados

📐 Ejemplo 4.3: Control digital de velocidad de un motor DC

Se tiene un controlador digital de velocidad en un motor DC. La velocidad \(y[n]\) (rpm) se lee mediante un encoder cada \(5\) ms. El bucle de control diseñado da lugar a la ecuación en diferencias

\[y[n] = y[n-1] - 0{,}5\,y[n-2] + 0{,}5\,x[n-2]\]

donde \(x[n]\) (rpm) es la velocidad deseada. La referencia deseada aparece con un retraso de dos muestras, debido al tiempo de procesamiento de la señal del encoder y del algoritmo de control.

El motor está inicialmente parado, \(y[-1] = y[-2] = 0\), y en \(n=0\) se pide una velocidad deseada de 150 rpm. Resuelve la ecuación:

a) Calcula la respuesta homogénea.

b) Calcula la respuesta particular.

c) Calcula la respuesta completa. ¿Se alcanza la velocidad deseada? ¿Cuál es la velocidad a los \(50\) ms de haber establecido la velocidad deseada?

💡 Solución a)

Con la salida a un lado y la entrada al otro, es una ecuación de segundo orden:

\[y[n] - y[n-1] + 0{,}5\,y[n-2] = \varphi[n], \qquad \varphi[n] = 0{,}5\,x[n-2] = 75\,u[n-2]\]

La ecuación característica es \(z^2 - z + 0{,}5 = 0\), con raíces complejas conjugadas:

\[z = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 2}}{2} = \frac{1 \pm j}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}\,e^{\pm j\pi/4}\]

Con \(r = 1/\sqrt{2}\) y \(\Omega_0 = \pi/4\), la respuesta homogénea es

\[y_h[n] = \left(\tfrac{1}{\sqrt{2}}\right)^{n}\left(K_1 \cos\!\left(\tfrac{\pi}{4}n\right) + K_2 \sin\!\left(\tfrac{\pi}{4}n\right)\right)\]

Como \(r < 1\), el modo se apaga: el lazo de control es estable.

💡 Solución b)

La velocidad deseada tarda dos muestras (\(10\) ms) en notarse: \(\varphi[0] = \varphi[1] = 0\) y, desde \(n = 2\), \(\varphi[n] = 75\).

Para \(n \geq 2\) el término no homogéneo es constante, así que se prueba \(y_p[n] = C\):

\[C - C + 0{,}5\,C = 75 \quad\Longrightarrow\quad C = 150\]

Por tanto, \(y_p[n] = 150\) rpm: la velocidad deseada.

💡 Solución c)

Completa: \(y[n] = 150 + \left(\tfrac{1}{\sqrt{2}}\right)^{n}\left(K_1 \cos\!\left(\tfrac{\pi}{4}n\right) + K_2 \sin\!\left(\tfrac{\pi}{4}n\right)\right)\).

Usando la propia ecuación con las CCII y teniendo en cuenta que \(x[-1] = x[-2] = 0\), se obtiene \(y[0] = 0\) y \(y[1] = 0\).

Por otro lado, con \(n = 0\) y \(n = 1\) en nuestra solución completa:

\[\begin{aligned} y[0] &= 150 + K_1 = 0 &&\Longrightarrow\quad K_1 = -150 \\ y[1] &= 150 + \tfrac{1}{\sqrt{2}}\left(\tfrac{\sqrt{2}}{2}K_1 + \tfrac{\sqrt{2}}{2}K_2\right) = 150 + \tfrac{K_1 + K_2}{2} = 0 &&\Longrightarrow\quad K_2 = -150 \end{aligned}\]

\[y[n] = 150\left[1 - \left(\tfrac{1}{\sqrt{2}}\right)^{n}\left(\cos\!\left(\tfrac{\pi}{4}n\right) + \sin\!\left(\tfrac{\pi}{4}n\right)\right)\right], \qquad n \geq 0\]

Como \(r < 1\), el transitorio se apaga y sí se alcanza la velocidad deseada: \(y[n] \to 150\) rpm. A los \(50\) ms, \(n = 10\) y \(y[10] = 150\,\big(1 - \tfrac{1}{32}\big) \approx 145{,}3\) rpm.

📈 Evolución de la velocidad

Continuo y discreto (i)

Tabla comparativa de ambos casos:

Continuo Discreto
Operación básica derivar retrasar
Operador (temporal) \(\dfrac{dy(t)}{dt}\) \(y[n-1]\)
Operador (transformada) \(s\) \(z^{-1}\)
Ecuación característica \(\sum a_k s^k = 0\) \(\sum a_k z^{N-k} = 0\)
Estable si \(\mathrm{Re}\{s_k\} < 0\) \(\lvert z_k\rvert < 1\)

Transformadas

Veremos más adelante que \(s\) es la variable de la transformada de Laplace y \(z\) es la variable de la transformada Z. Por eso, las transformadas son tan útiles para resolver ecuaciones diferenciales.

Continuo y discreto (ii)

La condición de estabilidad dibuja zonas diferentes en el plano complejo en cada caso:

Para terminar