Ejercicios Suplementarios

1.- Cálculos aritméticos con Mathematica (ejemplos suplementarios)

1.1.- Ejemplo de cálculo convencional:   3.4× 6.5×7

1.2.- Efectuar las siguientes operaciones, comprobando la diferencia entre usar números enteros y decimales:
a.  (Sqrt[2]), (Sqrt[2]) (Sqrt[3]), (Sqrt[12]), (Sqrt[6]) (Sqrt[10])            
b.  (1/2) + (1/3), (1/4) - (((2/3))/((1/5))), (16/20), (2/3) (5/4), 
      (1/6) + (2/3) (5/8)                                        
c.   ((3 (4 + 5))/(2 (6 - 1)))	
	
d)	 \(TraditionalForm\`\(1 + \(1 + \(1 + 1\/2\)\/2\)\/2\)\/\(1 + \(1 + \(1 + 1\/3\)\/3\)\/3\)\)	


e)	\(TraditionalForm\`\(\((4 + 5)\)\([\)\(2 \((2 - 3 + 6 \((5 - 1]\)\)\)\)\/\(5 \((4 - 1)\) - \((2 - 3)\) 6\)\)

1.3.- Realice las siguientes operaciones para practicar el input de Mathematica y las diferencias entre usar puntos decimales o no al operar con números
a.     1+(1+(1+(1+(1+(1+(1+(1+10)))))))     (El cambio de color de los parentesis al ir cerrrándose ayuda a escribir correctamente expresiones como esta)
b.    (345/( 12457)) + (567/234567) - 2

c.     (345/12457) + (567.25/234567) - 2

d.      1 + (1/(1 + (1/(1 + (1/(1 + (1/5)))))))

1.4.- Cálculos con números grandes.  Observe la diferencia respecto a una calculadora convencional que solo puede dar 12 dígitos
a.      3^25
b.     5^35
c.     3^100
d.     3.^100	(Si el  numero no ha de ser exacto, Mathematica da la respuesta en notacion científica)

1.5.- Número de moleculas en un vaso de agua (destilada, a 4º C) de 100 ml. (1 L pesa 1 kg)

1.6.- Número de nucleos de H (protones)  en 1 (m^3)  (equivalente a 1 Tm = 1000 kg) de agua.

1.7.- Un 1.15% son nucleos de Deuterio (D). ¿Cuántos  D hay en 1 (m^3)de agua?

2.- Variables , Listas y Funciones Predefinidas (ejemplos suplementarios)

2.1.- Calcular la temperatura de un gas ideal de masa atómica igual a 18 unidades si p=2 atm, V=100L, masa=2 kg

2.2.- Dada la reacción en fase gaseosa: 2 NO(g) + (Subscript[O, 2])(g) → 2 N(Subscript[O, 2])(g) . ¿Cuántos gramos de oxígeno reaccionan con cinco moles de monóxido de nitrógeno suponiendo que la reacción consume todo el NO? ¿Qué volumen ocupará a p=2 atm y t=30º C el producto de la reacción?

2.3.- Calcular la energía cinética en J de un objeto de masa 3 kg moviendose a 6.5 m/s

. Nota: No podemos llamar E a la energia porque E es un simbolo reservado en Mathematica al numero e (base de los logaritmos neperianos). Como norma se aconseja comenzar las variables definidas por el usuario con minúscula. Si se quiere usar una notación cómoda con la letra ℰ  o 𝔈 pueden obtenerse abriendo la "paleta" CompleteCharacters (menú: File:Palettes:CompleteCharacters)

2.4.- a)Obtener la energía cinética en J de un coche de 1000.0 kg moviendose a 100 km/hora. b)Con esa energía, ¿cuantos L de agua podrian evaporarse? (a 25 ºC se necesitan 44.02 kJ para evaporar un mol de agua) c)Con esta energia, ¿a qué altura podria levantarse desde el suelo una persona de 80 kg.?

2.5.- Construye dos matrices cuadradas de 3x3 (al menos).  Llamemosles A y B. Calcula su suma, su diferencia, su producto y su cociente. Comprueba si el determinante de la suma es la suma de los determinantes. Idem para la diferencia. Idem para el producto y para el cociente.

ATENCION: ¡¡CUIDADO!!: El producto matricial es A . B y el cociente es A*Inverse[B].   Mathematica opera sin dar ningún aviso y da respuestas matriciales si se le pide A*B, A/B o incluso A.(B^(-1)) pero n inguna de esas matrices son lo que parecen, como se puede verificar facilmente comparando los determinantes. Solo los productos A.B y A.Inverse[B] cumplen que producto de determinantes=determinante del producto.  La razón de esto es que para Mathematica las matrices son Listas. Si le pides una operacion que el conoce, como elevar a -1, la aplica tranquilamente a cada miembro de la lista. La responsabilidad de lo que pueda significar esa operación se la deja completamente al usuario.

2.6.- Construye las matrices cuadradas A=(({{10, 8, 7, -3}, {5, 12, -4, +5}, {3, 6, 21, -3}, {4, 7, 2, 25}})) y    B=(({{5, 4, 2, -1}, {5, -6, -4, +5}, {4, 8, 11, -9}, {3, 17, -2, 7}})).  Calcula la matriz inversa de A y la de B. A partir de ellas, calcula la matriz inversa del producto A.B . (Si el cálculo es correcto, el producto de A.B por su inversa debe dar la matriz unidad)

2.7.- Se llama "Traza" de una matriz a la suma de los elementos de su diagonal principal. Calcular la traza de las matrices A y B del ejercicio anterior.

2.8.- Verificar simbólicamente que el producto vectorial da un vector que es ortogonal a los dos factores (es decir, el producto escalar con cada uno de ellos es cero)

A = {x1, y1, z1}; 
    B = {x2, y2, z2};

    M = A\[Cross]B

    M . A

NOTA: Para que se realicen las operaciones puede hacer falta aplicar el comando Expand[  ]

2.9.- Obtener el modulo de los vectores A×B , A y B y a partir de ellos, el seno del angulo que forman los dos vectores A y B.

Lo que en Física se conoce como "módulo" de un vector, se denomina en lenguaje matemático "Norma" del vector, y corresponde a un concepto más general. La función predefinida en Mathematica para calcular el "Módulo" o Norma de un vector es Norm[ v ] donde v es un vector.

2.10.- Considérese un vector A={x1,y1,z1}.  Calcúlese (A^2), {x1, y1, z1}^2, A.A, A*A, A×A. ¿Cual de estas operaciones representa el cuadrado del vector A?

NOTA: Recuerde que cuando se trabaja con vectores en física, sólo se definen dos productos entre vectores, el producto escalar y el producto vectorial

NOTA: algunas de estas operaciones dan vectores y otras escalares.

2.11.- Determinar el producto escalar, producto vectorial y el ángulo que forman entre sí cada dos de los siguientes vectores

(Subscript[v, 1])=(({{1}, {2}, {3}}))	(Subscript[v, 2])=(({{4}, {5}, {6}}))	(Subscript[v, 1])=(({{-1}, {2}, {-4}}))	(Subscript[v, 1])=(({{0}, {1}, {2}}))

2.12.- Generar los 50 primeros numeros pares y los 50 primeros números impares

2.13.- Comprobar numéricamente creando una lista con el  comando Table[  ] que el número "e", la base de los logaritmos neperianos o naturales, cumple esta condición 

                 e =  (lim_(n -> ∞))(((1+(1/n)))^n)

2.14.- Cuenta la leyenda que el inventor del ajedrez le pidió al Maharajá como pago por su juego que pusiera un grano de arroz en el primer cuadrado del tablero, dos en el segundo, cuatro en el tercero y así sucesivamente. ¿Cuántos granos de arroz debían ponerse en el último cuadrado? ¿Cuántos había en todo el tablero?

2.15.- Defina una función que dado un número, calcule su cubo y le reste su raiz cuadrada. Obtenga valores de esa función para distintos valores de x

2.16.- Calcule estos valores (recuerde la diferencia entre usar números exactos y números aproximados. Recuerde también la diferencia entre radianes y grados).
a) arcsen(0.5)        arcsen(1/2)              sen(30)                sen(30°)
b) ln(2)          log(2)                log(100)             exp(1)            exp(5)

2.17.- Construya una función  deltaY que calcule el incremento de la función  (x^2)*Sin[(x^2)] cuando x se incrementa en una cantidad variable h.  Obtgenga el valor de la función deltaY para x=5. y h=2.

2.18.- Defina las siguientes funciones. 

y(x) = (x^3) - 2.5 (x^2) -6 x + 8
y(x) = (e^x) sen(x)
y(x) = ((x + 3)/(2 x-4))
z(x,y) = (x^2)+ (y^2)
z(x,y)=((3cos(((x^2)+(y^2))/3))/(3+(x^2)+(y^2)))

3.- Expresiones algebraicas (ejemplos suplementarios)

3.1.- Simplificar  la expresión algebraica \(\(\(\ \ \)\(\((x + y + z)\)\^3 - \((x + y - z)\)\^3 - \((x - y + z)\)\^3 - \((\(-x\) + y + z)\)\^3\)\)\)

3.2.- Realice las siguientes operaciones:
a) ((x - a)/4)+((x - 2  a)/(x + 3  a))		b) ((6  x - 5)/2)-((2  x  -  8)/3)		c)((x + 3)/(x - 2))+((x - 1)/(x + 2))		d) ((a - 5  b)/(2 - 3  b))+((3  a + 2  b)/(2 - 6  a))

3.3.- Desarrolle la séptima potencia de la suma de a y b y la octava de su diferencia. Obtenga la diferencia entre ambos desarrollos

3.4.- Descomponga en productos el polinomio  (x^3) - 2 (x^2) - 5  x + 6

3.5.- Saque factor común en la expresión     (a^3) b - a (b^3)

3.6.- Saque en la expresion
 -(Sqrt[a]) (b^(5 x)) (e^(-(ab^2))) + 
        3 (Sqrt[a]) (b^(5 x)) (e^(-(ab^2))) x - 
        5 (Sqrt[a]) (b^(5 x)) (e^(-(ab^2) + 2 c)) (x^3) - 
        2 (Sqrt[a]) (b^(5 x)) (e^(-(ab^2))) x y + 
        3 (Sqrt[a]) (b^(5 x)) (e^(-(ab^2))) (y^5) 
  los factores...
  1)  (Sqrt[a])
  2)    (b^(5 x))  (* Observese que no se puede sacer factor comun sólo (b^x), pues el resultado no varia)
  3)   (e^(-(ab^2)))
  4)  x
  Ayuda: Dele un nombre a la expresion usando el operador = y  haga "copy" y "paste" para evitar tener que escribirla.

4.- Solución de ecuaciones. El comando Solve[  ] . El operador ==    (ejemplos suplementarios)

Problemas de tipo matemático

4.1.- Encontrar el valor de x en que dos expresiones se igualan : por ejemplo (7x+3) y (x-9),  o bien (7-5(x+8))   y   (  x - (1/4) x + (3/5) x  ).

4.2.- Encontrar el valor de x en estas ecuaciones
a) (75/x) + (1/3)= 150.
b) 2x + ((7 )/8)  = 5x .
c)  8(x+5) = 3x + (5/7)x + 2.7  .

4.3.- En este ejemplo, se cruzan una parabola y = \(6  x\^2 - 
        5  x + \(\(3\)\(\ \ \ \ \ \)\(y\)\(\ \)\(una\)\(\ \)\(recta\)\(\ \ \ \ \ \ \ \ \)\)\)y=9  x + (1/5) .  La solución da dos valores de x.

4.4.- El problema anterior puede plantearse de forma abstracta: Cruce entre una parabola y = a (x^2) + b x +  cy una recta y = m x + n.

4.5.- Obtener de forma general los valores de x para el cruce entre una parábola   y = a (x^2)+b x+ c     y otra parábola      y = p (x^2) + q x +  r

4.6.- La norma DIN para los pliegos de papel significa que cuando se dobla la hoja por el lado más largo, la hoja pequeña que resulta guarda entre sus lados largos y cortos la misma proporción que guardaban los lados largo y corto de la hoja grande: Asi, por ejemplo, dados un folio DIN A4  y una cuartilla DIN A5,  el lado largo del folio lF es a su lado  corto cF como el lado largo de la cuartilla lC (que es igual al lado corto del folio) es a su lado corto cC. Establecer cual es la relación constante  lado_largo/lado_corto de la norma DIN. 
     Resp: (Sqrt[2])

4.7.- Supongamos que el lado largo de la hoja DINA4 sea 29.5 cm. ¿Cuánto mide el lado corto del folio DIN A4 que es a su vez, el lado largo de la cuartilla DIN A5?
Resp: 20.85 cm    (Puede verificarlo facilmente si dispone de un folio DINA4 y una regla... y el fabricante ha respetado la norma)

4.8.- Resuelve las ecuaciones (independientemente una de otra) y verifica que los resultados son correctos
a) (x^7) - 3  (x^5)  =  -(x^3) + 
          3  x

       
b)  3  (x^2) + 2  (x^3)  - 6  =  
        4  (x^4) - 2  x

c) (1/x)+7x  =  8(x+3)

d)(1/x)+(2/x)+(3/(x  ))  =  1

e)(a/x)+(b/x)+(c/x) = 1   (* Comparar los resultados de los apartados d) y c)  *)

5.- Representación y ajuste de curvas (ejemplos suplementarios)

5.1.- Representar la función  y = 3 x sen(2x)   entre x=  -40 y x= 40.  Modifique el tamaño, los límites de x, etc.

5.2.- Represente ahora entre los mismos límites del ejercicio anterior, la función y= 25 (e^(-(10^(-1.5 x)))) sin(
          x).  Utilice un color diferente del del ejercicio anterior para representar la función

5.3.- Superponga en un mismo gráfico las dos funciones anteriores.

5.4.- Realice el mismo ejercicio de superposicion de gráficos con algunas de las funciones que se definieron en un ejercicio anterior 
y(x) = (x^3) - 2.5 (x^2) -6 x + 8
y(x) = (e^x) sen(x)
y(x) = ((x + 3)/(2 x-4))
z(x,y) = (x^2)+ (y^2)
z(x,y)=((3cos(((x^2)+(y^2))/3))/(3+(x^2)+(y^2)))

6.- Derivación e Integración (ejemplos suplementarios)

6.1.- Verifique en el ejemplo siguiente que se cumple la "regla de la cadena":  Si y=f(u)   pero u=g(x)    se cumple que   ((d y)/(d x)) = ((d y)/(d u)) ((d u)/(d x))
f = (sen^2)(x)      (Es decir, f = (u^2) ; u = sen (x)

6.2.- Represente en la misma gráfica la función   h = (x^3) + 2    y su primera derivada.

NOTA: Para introducir el color de las curvas puede usarse el menu  Input:Color Slector

6.3.- Represente en la misma gráfica la función   h = (Sqrt[(((x^3) + 1)/(Sqrt[x]))])    y su primera derivada.

6.4.- Calcule las derivadas primera, segunda y tercera de F =  ((Sqrt[x + 3])/(x^3))

6.5.- Calcular los máximos y mínimos de la función  y= (x-3)(x+2)(x-π)

\(Este\ ejercicio\ sirve\ de\ ejemplo\ de\ cálculo\ de\ MAXIMOS\ y\ MINIMOS\ en\ un\ polinomio\)
Los pasos a seguir son:

1-Se deriva.

2- Se obtiene la segunda derivada.

3.- Se iguala la primera derivada a cero  y se buscan las raices de la primera derivada.

4.- Se comprueba si las raices de la primera derivadas corresponden a  máximos o  a mínimos de la función.

En este ejemplo
la raiz  x -> (1/3) (1 + π - (Sqrt[19 - π + (π^2)]))es un MAXIMO
la raiz ox -> (1/3) (1 + π + (Sqrt[19 - π + (π^2)]))es un MINIMO

Se puede representar la función para comprobar los resultados

Se puede usar la función FindMinimum[    ]  para obtener los resultados de forma numérica.

6.6.- Determine los puntos críticos de la función  y = 3  (x^4) + 4  (x^3) - 12 (x^2) + 12

DERIVADAS IMPLICITAS: La expresion D[y,x,NonConstants->{y}] significa dy/dx
Puede eviatarse su uso declarando que y depende de x de la forma y[x]

6.7.- Calcular la derivada de y respecto a x sabiendo que (x^2) + x y  + (y^2) = 7

6.8.- Calcular y'(x) sabiendo que      (x^2) + (y^2) - 2  xy + 3  x - y  =  3

6.9.- Calcular y'(x) sabiendo que      (e^x)sen y + (e^y)sen x = 1

Ejemplos de cálculo de Integrales

6.10.- Calcular las integrales  ∫(1/(1 + x)) dx    ,     (∫_0^1) (1/(1 + x))   dx

6.11.- ¿Qué ocurre al intentar realizar esta integral?  (∫_(-1)^1) (1/(1 + x)) dx

6.12.- Calcular las integrales siguientes que aparecen en mecánica cuántica: 
  (∫_0^L) (x^2) (sen^2)(kx) 
          dx  .
  (∫_0^L) (sen^2)(kx) dx.
  Puede desarrollarse más el problema teniendo en cuenta que    k=((n π)/L) siendo n un número entero.  L es un valor arbitrario.

NOTA: en este ejemplo (tomado de un problema de la mecánica cuántica conocido como "la partícula en una caja") , hace falta usar Simplify[   ]   para que calcule el Sin[n * Pi]

6.13.- Resuelve las integrales:
a)∫(x^3) dx	b)∫ln(x) dx	c) ∫tan(x) dx	d)\(TraditionalForm\`∫\_0\%∞ e\^\(\(-a\)\ x\)\ dx\)	e)(∫_((π/4))^((π/2)))(cos^2)(
            x) dx

6.14.- Resuelve las integrales
a) ∫x (e^x) dx	b) ∫(x^3) sen(x) dx	c)(∫_0^1) cos(x) dx

6.15.- Resuelve las integrales
a)  ∫(Sqrt[a - 
                b (x^2)]) dx	b) ∫((x + 3)/((x^3) - 2  (x^2) + x - 
                2)) dx

6.16.- Representa la función   ln(1+x)  y las tres primeras aproximaciones de su polinomio de Taylor. En función de esto, ¿piensas que el polinomio de Taylor converge a la función para todo valor de x?

6.17.- Para una cierta reacción la variación de entalpía entre 250 y 400 K puede expresarse de acuerdo con la expresión 
ΔH = α (T^2)+ β T - γ
α=0.00015  ,  β = 0.12,  γ= 60        (Se prescinde de las unidades para que se practique unicamente con el caracter matemático de las funciones)

a) Encontrar la temperatura para la cual ΔH = 0
b)Determinar la expresión de ΔCp sabiedo que    Δ\(TraditionalForm\`C\_p\  = \ \(∂\_\ \)\ ΔH\/\(∂\_\ \)\ T\) 
			 
c) Substituir los valores de α, β  y γ  y representar ΔCp en el intervalo [300,350]
d) Calcular la variación de entropía   ΔS=\(TraditionalForm\`∫\_300\%350\( ΔC\_p\/T\) dT\)

7.- Ecuaciones diferenciales

7.1.- Resolver las ecuaciones diferenciales:
a) y' = a y + 1
b) y'' (1-x)  + y' x = y
c) 2 y y'' + 2\(TraditionalForm\`\(\(\ \)\(y'\^2\)\)\) = 0
d) La anterior, sabiendo que y vale 5 en x=0 y 10 en x=1