Introducción

• El Problema de Riemann es un problema de valores iniciales discontinuos de la forma:
  
  $$\frac{\partial {\bf u}}{\partial t} + \frac{\partial {\bf F}... ...{c} \rho u \\ \rho u^2 + p \\ u (E + p) \end{array} \right]$$
  
  
  con
  
  $${\bf u}(x, 0) = u_0(x) = \left\{ \begin{array}{ll} {\bf u}_{... ...} \\ {\bf u}_{\rm R} & \mbox{ si $x>x_0$} \end{array} \right.$$
  
  
  

• El dato inicial no tiene escala espacial definida, por lo que su solución es autosemejante: ${\bf u}(x,t) = {\bf u}(x/t)$. La solución consiste en dos estados constantes ($L_*$, $R_*$) separados de los estados iniciales por ondas de choque ($\cal S$) y/o rarefacciones ($\cal R$) con una discontinuidad de contacto ($\cal C$) entre ellos:
  

  $$I\;\rightarrow \;L\;{\cal W}_{\leftarrow}\;L_*\;{\cal C}\; R_*\;{\cal W}_{\rightarrow}\;R \nonumber$$

  
  
  ( $\cal W = \cal S, \cal R$; las flechas ($\leftarrow$ / $\rightarrow$) indican la dirección desde la que los elementos de fluido atraviesan la correspondiente onda).

• Ondas de choque: Soluciones discontinuas de las ecuaciones de Euler con flujo de masa a través de la discontinuidad. Los estados a izquierda y derecha de la onda de choque y su velocidad están relacionados mediante las condiciones de Rankine-Hugoniot. Las ondas de choque son compresivas (las partículas de fluido aumentan su presión al atravesarlas).

• Discontinuidades de contacto: Soluciones discontinuas de las ecuaciones de Euler. A diferencia de las ondas de choque, a través de la discontinuidades de contacto no hay flujo de masa. La presión y la velocidad del fluido son iguales a ambos lados de la discontinuidad de contacto.

• Ondas de rarefacción: Soluciones continuas autosemejantes de las ecuaciones de Euler que conectan estados constantes. Las partículas de fluido reducen su presión al atravesarlas.

• La solución para la presión en los estados intermedios, $p_*$, de un problema de Riemann con una ecuación de estado de gas ideal viene dada por la raíz de la ecuación algebraica
  

  $$f(p; {\bf u}_{\rm L}, {\bf u}_{\rm R}) = f_{\rm L}(p; {\bf u... ... R}(p; {\bf u}_{\rm R}) + u_{\rm R} - u_{\rm L} = 0, \nonumber$$

  
  
  donde la función $f_{\rm I}$ ($I = L, R$) viene dada por:
  
  $$f_{\rm I}(p; {\bf u}_{\rm I}) = \left\{ \begin{array}{ll} (... ... $p < p_{\rm I}$ (onda de rarefacci\'on)} \end{array} \right.$$
  
  
  donde $\gamma$ es el cociente de calores específicos del gas ideal, $a$ la velocidad del sonido y las constantes $A_{\rm I}$ y $B_{\rm I}$ están dadas por
  

  $$A_{\rm I} = \frac{2}{(\gamma + 1) \rho_{\rm I}}, B_{\rm I} = \frac{(\gamma - 1)}{(\gamma + 1)} p_{\rm I} \nonumber$$

  
  
  

• La solución para la velocidad del fluido en el estado intermedio, $u_*$, viene dada por
  

  $$u_* = \frac{1}{2} (u_{\rm L} + u_{\rm R}) + \frac{1}{2} \left[f_{\rm R}(p_*) - f_{\rm L}(p_*)\right] \nonumber$$

  
  

• Una vez obtenidas $p_*$, $u_*$, se pueden obtener los valores del resto de variables en los estados intermedios y las velocidades de propagación de las ondas de choque, los extremos de las rarefacciones y la discontinuidad de contacto, que separan los diferentes estados constantes. Por último se pueden obtener los valores de las variables en la rarefacción.

• Referencias:

  E.F. Toro, Riemann solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics, Springer, 1997. Capítulo 4

  R. Courant, K.O. Friedrichs, Supersonic Flow and Shock Waves, Springer, 1976. Epígrafes 80 y 81

  L.D. Landau, E.M. Lifshitz, Fluid Mechanics, Springer, 1987. Epígrafe 100