Respuesta conteos

Guillermo Ayala Gallego

2025-04-09

Regresión Poisson

La distribución Poisson

La función de probabilidad de una distribución de Poisson es \[ f(y ; \mu) = \frac{e^{-\mu} \mu^y}{y!}, \] con $y = 0, 1, $.
La podemos expresar como un elemento de la familia exponencial natural
\[ f(y; \mu) = \frac{e^{-\mu}\mu^{y}}{y!} = \exp\{y \ln \mu - \mu - \ln(y!)\}, \] tomando $\theta_i = \ln \mu_i$, $b(\theta_i) = \exp{\theta_i}$, $a(\phi) =1$, $c(y_i,\phi) = - \ln(y_i!)$.

Ecuaciones de verosimilitud

Son las siguientes
\[ \sum_{i=1}^n (y_i - \mu_i) x_{ij} = 0. \]
La desviación (escalada y sin escalar) y con término constante es \[ D(\mathbf y; \hat{\mathbf \mu}) = 2 \sum_{i=1}^n y_i \ln \frac{y_i}{\hat{\mu}_i}. \]
Adopta la expresión \[ D(\mathbf y; \hat{\mathbf \mu}) = 2 \sum Observado \ln \left (\frac{Observado}{Esperado} \right ) . \]

`tamidata2:PRJNA218851`

Datos

pacman::p_load(SummarizedExperiment)
data(PRJNA218851,package="tamidata2")

table(colData(PRJNA218851)[,"Stage"])


    Cancer Metastasis     Normal 
        18         18         18

Nos fijamos en el gen que ocupa la fila 1000.
Construimos un data.frame en donde incluimos la variable Stage y el conteo correspondiente a este gen.

df = data.frame(count = assay(PRJNA218851)[1000,],
                Stage=colData(PRJNA218851)[,"Stage"])
head(df)

                             count  Stage
SRR975551Aligned.out.sam.bam   539 Cancer
SRR975552Aligned.out.sam.bam   563 Cancer
SRR975553Aligned.out.sam.bam  1018 Cancer
SRR975554Aligned.out.sam.bam   393 Cancer
SRR975555Aligned.out.sam.bam   398 Cancer
SRR975556Aligned.out.sam.bam   672 Cancer

Regresión Poisson

Ajustamos un modelo loglineal de Poisson.

fit = glm(count ~ Stage, family = poisson(link = log),data = df)
summary(fit)


Call:
glm(formula = count ~ Stage, family = poisson(link = log), data = df)

Coefficients:
                 Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)    
(Intercept)      6.729957   0.008146  826.14   <2e-16 ***
StageMetastasis -0.306800   0.012512  -24.52   <2e-16 ***
StageNormal      0.429249   0.010467   41.01   <2e-16 ***
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

(Dispersion parameter for poisson family taken to be 1)

    Null deviance: 13236.9  on 53  degrees of freedom
Residual deviance:  8723.7  on 51  degrees of freedom
AIC: 9189.2

Number of Fisher Scoring iterations: 4

No es adecuado por varias razones:
- Distintas profundidades de secuenciación.
- Posiblemente sobre dispersión.
- No lo podemos usar.
Vemos la diferencia de las desviaciones.

fit$null.deviance - fit$deviance

[1] 4513.206

Sobre dispersión

Vamos a estimar la sobre dispersión.

fit1 = glm(count ~ Stage, family = quasipoisson(link = log),data = df)
summary(fit1)$dispersion

[1] 198.0956

Regresión binomial negativa

Distribución binomial negativa

La función de probabilidad es \[ f(y; \phi, \mu) = \frac{\Gamma(y+\phi)}{\Gamma(\phi)\Gamma(y+1)} \bigg ( \frac{\phi}{\mu+\phi} \bigg)^\phi \bigg ( 1- \frac{\phi}{\mu+\phi} \bigg)^y \] con $y= 0, 1, 2 , \ldots$ donde $\phi$ y $\mu$ son los parámetros.
Se tiene que \[ E(Y) = \mu, \] \[ var(Y) = \mu + \frac{\mu^2}{\phi}. \]
El parámetro $1/\phi$ es un parámetro de dispersión.

Ejemplo

library(MASS)
fit = MASS::glm.nb(count~Stage,data=df)
summary(fit)


Call:
MASS::glm.nb(formula = count ~ Stage, data = df, init.theta = 5.191786539, 
    link = log)

Coefficients:
                Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)    
(Intercept)       6.7300     0.1038  64.858  < 2e-16 ***
StageMetastasis  -0.3068     0.1468  -2.090  0.03666 *  
StageNormal       0.4292     0.1467   2.927  0.00343 ** 
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

(Dispersion parameter for Negative Binomial(5.1918) family taken to be 1)

    Null deviance: 81.344  on 53  degrees of freedom
Residual deviance: 55.733  on 51  degrees of freedom
AIC: 796.61

Number of Fisher Scoring iterations: 1

              Theta:  5.192 
          Std. Err.:  0.976 

 2 x log-likelihood:  -788.611