Distribuciones a posteriori
Asumiendo el modelo jerárquico que acabamos de especificar se tiene que la media de la distribución a posteriori de \(1/\sigma^2_i\) condicionada a \(s^2_i\) viene dada por \[
E \bigg [\frac{1}{\sigma^2_i} \bigg | s^2_i \bigg ] = \frac{1}{\tilde{s}^2_i},
\] con \[
\tilde{s}^2_i = \frac{d_0 s^2_0 + d_i s^2_i}{d_0 + d_i}.
\]
- Podemos definir el estadístico t moderado como \[
\tilde{t}_{ij} = \frac{\hat{\beta}_{ij}}{\tilde{s}^2_i \sqrt{v_{ij}}}.
\]
- Se demuestra que los t-estadísticos moderados \(\tilde{t}_{ij}\) y las varianzas muestrales residuales \(s^2_i\) se distribuyen independientemente.
- Bajo la hipótesis nula \(H_0: \beta_{ij}=0\), el t-estadístico moderado \(\tilde{t}_{ij}\) sigue una distribución t de Student con \(d_i + d_0\) grados de libertad.
- Los grados de libertad que estamos añadiendo \(d_0\) expresan la ganancia de información que obtenemos de utilizar todos los genes siempre asumiendo el modelo jerárquico.
- Los valores \(d_0\) y \(s_0\) que se suponen conocidos en lo previo serán estimados a partir de los datos.
- Tenemos un método empírico bayesiano.