exemple

Calcular la covariància de les variables Estatura i Pes de l’exemple 3.2

Taula 2.1

		edat	A	P	carnet
1	D	22	162	63	N
2	D	24	174	64	N
3	H	23	179	73	S
4	D	25	166	76	S
5	H	22	181	89	N
6	H	23	170	72	S
7	D	22	172	68	N
8	H	23	168	70	S
9	H	23	175	81	N
10	D	24	170	69	N

Per tal de procedir al càlcul de la covariància s_xy entre les variables Estatura i Pes, reprenem la taula de freqüències (en aquest cas relatives) i l’anirem desenvolupant en la mesura de les necessitats del càlcul. En primer lloc hem d’obtenir les mitjanes, ja que aquestes són un element essencial de la covariància. Per tractar-se de dades agrupades, cal determinar prèviament les marques de classe, x_i i y_j.

Taula 3.9

X \ Y		]60, 70]	]70, 80]	]80, 90]	f_i.	x_if_i.
	**x_i\ y_j**	65	75	85
]160, 170]	165	0.3	0.2	0	0.5	82.5
]170, 180]	175	0.2	0.1	0.1	0.4	70.0
]180, 190]	185	0	0	0.1	0.1	18.5
f._j		0.5	0.3	0.2	1
y_jf._j		32.5	22.5	17

Per economia de càlcul hem optat per l’expressió simplificada de la covariància

que caldrà desenvolupar ordenadament per als dos subíndexs i, j. Per fer-ho, fixem en primer lloc el subíndex i al nivell 1, i multipliquem el primer valor de X, (x₁) successivament amb tots els valors possibles de Y, multiplicant també per la corresponent freqüència conjunta f_ij. Esgotades les combinacions, passem al valor 2 d’i repetint el procediment. I així fins a haver recorregut tota la taula. Al valor obtingut cal restar-li el producte de les mitjanes.

És molt recomanable mantenir l’estructura matricial de la taula, ja que d’aquesta forma és més fàcil la comprovació de les operacions,

s_xy = [165(65)0.3 + 165(75)0.2 +165(85)0.0

175(65)0.2 + 175(75)0.1 + 175(85)0.1

185(65)0.0 + 185(75)0.0 + 185(85)0.1] – 171(72) = 28

El valor positiu de la covariància indica una relació directa entre les variables: X i Y evolucionen en el mateix sentit. A mesura que creix una variable també ho fa l’altra, i per tant «en conjunt» valors elevats de l’Estatura apareixen associats a valors elevats del Pes i viceversa.