REF.

 La variable X corresponent a l’Estatura en cm d’una població es distribueix com una normal de paràmetres m = 175 i s² = 64.

a) Calcular la probabilitat de trobar individus amb una estatura superior als 199 cm.

b) Quina és la probabilitat continguda en l’interval centrat entorn de la mitjana amb una amplària de dues desviacions típiques? I amb una amplària de 2s a banda i banda de la mitjana?

c) Determinar l’estatura mínima que no se superarà amb el 90% de probabilitat.

d) Construir un interval centrat entorn de la mitjana que delimite el 95% de la probabilitat.
 

Sabem que, per calcular probabilitats relatives a la variable , cal tipificar-la per poder obtenir la probabilitat de les taules de la normal estàndard N(0, 1):

a) Calcularem la probabilitat d’estatures superiors a 199 cm:

Buscant el valor de funció de distribució de la variable tipificada a les taules, tenim:   programa-script

b) L’interval d’una amplària de dues desviacions típiques centrat entorn de la mitjana és l’interval . D’una manera general, aquest interval conté la probabilitat següent:

Amb l’ajuda de les taules podem establir que aquesta probabilitat és 0.6826.

És important remarcar que el càlcul precedent s’ha fet d’una manera general i, per tant, és vàlid per a tota distribució normal amb independència del valor dels seus paràmetres. D’una manera anàloga podem obtenir la probabilitat que hi ha entre la mitjana menys dues desviacions típiques i la mitjana més dues desviacions:

I, amb l’ajuda de les taules, determinar –també amb caràcter general– que aquesta probabilitat és 0.9546.

c) En aquest apartat, el problema es planteja d’una forma inversa: fixada la probabilitat, es demana per l’interval. Busquem el valor que limita el 90% de la probabilitat acumulada des de menys infinit, deixant a la seua dreta una cua de 10% de probabilitat. Com que la qüestió és formulada en el mateix sentit en el qual acumula la funció de distribució [P(X £ x)], la solució és directa. Igual que en els casos anteriors, el plantejament exigeix la tipificació de la variable, però ara en sentit invers. Busquem en les taules de la normal tipificada el valor de z que correspon a una probabilitat acumulada de 0.9, que és 1.28. Per expressar aquest límit en termes de la variable X, tenim que:

És a dir, ; i d’ací,

És a dir, que 185.24 és el valor mínim que no serà superat amb una probabilitat del 90%.

d) En aquest cas, també es tracta de definir un interval per a una certa probabilitat. La diferència respecte al cas anterior és que ara l’interval és centrat entorn de la mitjana deixant als extrems dues cues. Com que la probabilitat continguda en l’interval és del 95%, hi queda fora el 5% que, repartit entre les dues cues, correspon a un 2.5% en cadascuna d’elles. Podem trobar fàcilment el valor de z que deixa a la seua dreta un 2.5% de probabilitat i, per tant, acumula a la seua esquerra un 97.5%. Buscant en les taules, aquest valor resulta ser 1.96. En virtut de la simetria de la distribució normal, el límit inferior de l’interval buscat serà –1.96. Ara cal expressar aquest valor de z en termes de la variable X, és a dir, desfer el procés de tipificació com en el cas anterior. El límit inferior deriva de la igualtat següent:

; és a dir,

D’altra banda,

 i, en conseqüència,

L’interval centrat entorn de la mitjana que conté la variable amb una probabilitat de 0.95 és el ]159.32, 190.68].

?