RECTA DE REGRESIÓN Y/X (M.C.O)

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Pretendemos obtener como función de regresión que nos explique la variable Y en función de los valores de X una función lineal, con el criterio de que minimice los cuadrados de las diferencias entre los valores reales y los teóricos (según la regresión).

La función de regresión a obtener es y* = a + b X con la pretensión de que
S S (y_j - (a+b x_i) ) ².n_ij sea mínima .

Habrá que encontrar los valores de los parámetros a y b que minimizan esa expresión.Es decir que anulan simultáneamente las derivadas parciales de la función:

y (a,b)= S S (y_j - (a+b x_i) ) ².n_ij: (Sistema de ecuaciones normales)

= 0	2S S (yj -a-b xi ) . nij (-1)= 0
= 0	2S S [ yj -a-b xi ) . nij ].[-S S xi nij ] = 0

S S yj nij =aS S nij +b S S xi nij
S S yj xi nij = a S S xi nij +bS S xi2 nij

(*1)

                                restando la segunda ecuación por la primera multiplicada por -x, quedará:

Sxy=b S2x (*2)

de forma que de (*1) y de (*2) se concluye que los valores de a y b que minimizan los cuadrados de los residuos y que, por tanto son los parámetros del ajuste mínimo-cuadrático serán:

                    La ecuación de la recta de regresión Y/X quedará, por lo tanto como:

    De (*1) , o de la propia ecuación de la recta se deduce que la recta de regresión de Y/X pasa por el centro de gravedad de la distribución .

Otra expresión alternativa de la recta de regresión de regresión Y/X es: