PREDICCIÓN DE UN VALOR EXTRAMUESTRAL.-PREDICCIÓN POR INTERVALO

Ya vimos que la predicción puntual de un valor de y extramuestral se llevaba a cabo utilizando como predictor el modelo estimado aplicado sobre los valores futuros de las variables explicativas.

De manera general podríamos expresarlo de la siguiente forma:

Donde x'0 es el vector fila formado por los valores futuros de las variables explicativas: x'₀ = ( 1 x₁₀ x₂₀ . . . x_k0 )

Este predictor es una transformación lineal del vector aleatorio b de los estimadores del vector de regresores b .Ademas la dimensión del predictor es 1, por lo que será una variable aleatoria Normal.

Ademas su media será: E(x'₀ b)= x'₀ E(b) =x'₀ b esto es, el valor teórico esperado en el futuro para la variable y (el predictor es insesgado).

Por otro lado su varianza será:

Var(x'₀b)=x'₀ Var(b)x₀ = s 2 x'₀ (X'X)-1x₀

Así pues la distribución del predictor es:

Distribución que depende del parámetro desconocido s .Este problema puede solventarse construyendo el estadístico

Que tendrá una distribución F de Snedecor con 1 y n-k-1 g.l..

Como tanto x'₀ (X'X)-1x₀ ; como x'₀b ; como el predictor son escalares podemos expresar este estadístico como:

Y como la raiz cuadrada de una variable F_1,n-k-1 es una variable t de Student con n-k-1 g.l., tendremos que:

A partir de este estadístico es sencillo construir un intervalo para la predicción esperada según el modelo, dado un nivel de confianza prefijado (1- a):

Donde t_a/2 es el correspondiente valor tabulado para n-k-1 g.l.

Es interesante ver cómo quedaría el intervalo de predicción en el caso de un M.L.S.:

Tras realizar las operaciones pertinentes acaba quedando un intervalo para el valor futuro de y (teórico según el modelo):

Donde t_a/2 es el valor tabulado para n-2 grados de libertad.