INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA PROPORCIÓN DE UNA CARACTERÍSTICA
ir a construcción de intervalos
ir a
script con m.a.s y p=conocida
ir a script con m.a.s y p=q=0.5
ir a script con irestricto y p=conocida
ir a scrpt con irrestricto y p=q=0.5
Deseamos estimar la proporción con la que se da una característica en una determinada población , esta característica es dicotómica por lo que o bien se posee o bien no . El intervalo se plantea , como todos con un nivel de confianza 1-a prefijado. Realizando , claro está, un muestreo de tamaño n , que en principio consideramos aleatorio simple.
Del estudio de las distribuciones conocemos el
comportamiento de la proporción con la que una
característica se da
en la muestra : así
siendo p la proporción con la que la característica aparece en la
población ;
"q" lógicamente su complementario y n el tamaño
muestral .
Tipificando obtendríamos :
Como en los casos anteriores y dado que
utilizamos la N[0,1] ; para un nivel de confianza dado ,1-a
, los valores de dicha normal que generan un intervalo centrado corresponderían a
por lo que quedaría el siguiente intervalo :
despejando la proporción poblacional :
que es intervalo que estabamos buscando .
En el caso de que el muestreo fuera irrestricto su expresión sería , tras aplicar el f.c.p.f., la siguiente :
Como se ha podido comprobar en ambas expresiones de intervalo está contenida y por tanto es necesaria para su construcción la proporción poblacional "p" .Parece ilógico que si queremos estimar dicha proporción la conozcamos y por tanto la podamos utilizar . El problema puede resolverse de varias formas según el caso :
Si el tamaño muestral es muy grande podríamos utilizar
como proporciones poblacionales las obtenidas por la muestra ; es decir tomar en lugar de pq .
Evidentemente si el intervalo se pre-construye antes de que se realice la muestra (por
ejemplo para calcular el tamaño muestral necesario para un determinado error , como
veremos después) este no será el método aconsejable .
ejemplo 4
En una investigación comercial se muestrea a 100 individuos resultando que 25 de ellos han comprado nuestro producto .Dar un intervalo para la proporción de penetración en el mercado con una probabilidad (nivel de confianza) del 95 % .
conocemos :
1-a = 0.95 ; n=100 (grande) proporción muestral =
el intervalo sería :
donde el valor de = 1.96 según tabla N[0,1] (ir a tabla de la normal) y
0.95 de confianza.
Desconocemos la proporción poblacional p ; dos opciones
p= dado que la muestra es grande ; que aplicada en el intervalo
daría que : la proporción de penetración en el mercado está entre el 16'51 % y el
33'48 % con una confianza del 95 % (ir a script
de realización)
p=q=0.5 poniéndonos en el caso de varianza máxima ; en el caso por tanto más desfavorable. En este caso la proporción de penetración en el mercado estaría entre el 15.2% y el 34.8 con una confianza del 95% ; como se puede apreciar el intervalo tiene más holgura que el realizado por el método anterior. (ir a script de realización)