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3.3.1 Números de máquina aproximados

Estamos interesados en estimar el error en que se incurre al aproximar un número real positivo x mediante un número de máquina del MARC-32. Si representamos el número mediante:

\begin{displaymath}x = (a_{1}a_{2} \cdots a_{24}a_{25}a_{26} \cdots)_{2} \times 2^{m}
\end{displaymath}

en donde cada ai es 0 ó 1 y el bit principal es a1 = 1. Un número de máquina se puede obtener de dos formas:

Todo lo anterior, aplicado al caso del MARC-32, se resume diciendo que si x es un número real distinto de 0 dentro del intervalo de la máquina, entonces el número de máquina x* más cercano a x satisface la desigualdad:

 \begin{displaymath}\delta = \left \vert \frac{x - x^{*}}{x} \right \vert \leq 2^{-24}
\end{displaymath} (20)

que se puede escribir de la siguiente forma:
$\displaystyle x^{*} = x(1 + \delta)$ $\textstyle \vert\delta\vert \leq 2^{-24}$    

Ejemplo 6: ¿Cómo se expresa en binario el número x = 2/3? ¿Cuáles son los números de máquina x' y x'' próximos en el MARC-32?

El número 2/3 en binario se expresa como:

\begin{displaymath}\left ( \frac{2}{3} \right )_{10} = (0.\overline{10})_{2}
\end{displaymath}

Los dos números de máquina próximos, cada uno con 24 bits, son:
x' = $\displaystyle (0.101010\cdots1010)_{2}$  
x'' = $\displaystyle (0.101010\cdots1011)_{2}$  

en donde x' se ha obtenido por truncamiento y x'' mediante redondeo por exceso. Calculamos ahora las diferencias x - x' y x'' - x para estimar cual es el error cometido:
x - x' = $\displaystyle \frac{2}{3} \times 10^{-24}$  
x'' - x = $\displaystyle \frac{1}{3} \times 10^{-24}$  

Por tanto, el número más próximo es fl(x) = x'' y los errores de redondeo absoluto y relativo son:
|fl(x) - x| = $\displaystyle \frac{1}{3} \times 10^{-24}$  
$\displaystyle \left \vert \frac{fl(x) - x}{x} \right \vert$ = 2-25 < 2-24  


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Wladimiro Diaz Villanueva
1998-05-11