1.

Cálculo Numérico: Programación, Precisión y Algoritmos

1. Objetivos del cálculo numérico.
2. Tipos de aritméticas.
3. Precisión en el cálculo.
4. Lenguajes de programación. Discusión de la elección de C++.
5. Problemas solubles e insolubles.
6. Algoritmos. Eficiencia y robustez. Programación eficiente.

2.

Resolución de ecuaciones no lineales

1. Introducción. El problema numérico.
2. Métodos de horquillado.
   1. Método de bisección.
   2. Método de regula falsi.
3. Métodos iterativos de interpolación.
   1. Método de la secante.
   2. Método de Muller.
4. Métodos iterativos de un punto.
5. Aceleración de Aitken.
6. Métodos de orden superior. Método de Newton-Raphson.
7. Método de Newton para funciones de varias variables.
8. Raíces complejas
9. Raíces de polinomios.

3.

Problemas lineales

1. Problemas de álgebra lineal.
2. Método simple de eliminación de Gauss. Mal condicionamiento y pivotado.
3. Estructura matricial del método de eliminación de Gauss.
4. Métodos de eliminación compactos. Descomposición LU de una matriz.
5. Resolución de sistemas lineales de ecuaciones.
6. Cálculo del determinante de una matriz.
7. Inversión de matrices.
8. Matrices simétricas. Método de Cholesky.

4.

Valores y vectores propios

1. Establecimiento del problema y resultados principales del Algebra Lineal.
2. Método de Jacobi.
3. Matrices hermíticas.

5.

Interpolación

1. Introducción. Interpolación lineal y polinomial.
2. Interpolación de Lagrange.
3. Algoritmo de Neville.
4. Diferencias divididas. Fórmula de Newton.
5. Puntos igualmente espaciados. Las fórmulas Hacia adelante y hacia detrás de de Gregory.
6. Elección de los puntos de interpolación. Polinomios de Chebychev.
7. Interpolación mediante splines.

6.

Derivación e integración numérica

1. Derivación numérica. El problema numérico.
2. Fórmulas basadas en el polinomio interpolador. Derivadas primeras y de orden superior.
3. Extrapolación al límite o de Richardson.
4. Cálculo de integrales definida. Métodos analíticos y numéricos.
5. Reglas de integración basadas en el polinomio interpolador. Reglas trapezoidal y de Simpson.
6. Integración de Romberg.
7. Reglas de integración gaussianas.
8. Integrales multidimensionales. Ventajas de lenguajes recursivos.

7.

Modelado de datos experimentales

1. Aproximación óptima. Definición y diferentes normas.
2. Aproximación de mínimos cuadrados. Ecuaciones normales.
3. Funciones ortogonales. Polinomios ortogonales sobre un intervalo y sobre un conjunto discreto de puntos.
4. Comportamiento estadístico de los datos experimentales. Principio de máxima verosimilitud.
5. Ajuste de datos experimentales. La distribución χ² y calidad del ajuste. Ecuaciones normales. Matriz de covarianzas y errores de los parámetros.
6. Ajuste mediante funciones no lineales de los parámetros.

8.

Ecuaciones diferenciales ordinarias

1. Ecuaciones diferenciales ordinarias.
2. Transformación de una ecuación diferencial de orden superior en un sistema de primer orden.
3. Conversión de ecuaciones diferenciales en ecuaciones en diferencias. Métodos de Euler y del punto medio.
4. Métodos de un paso.
   1. Método de la serie de Taylor.
   2. Métodos de Runge-Kutta.
      1. Algoritmos de Euler modificado y Runge-Kutta de segundo orden.
      2. Algoritmo de Runge-Kutta de cuarto orden.
      3. Algoritmos de Runge-Kutta de sexto orden con otro de cuarto orden incluido.Adaptación del paso de integración.
5. Aplicación de la extrapolación al límite.
6. Método de Numerov.
7. Estabilidad numérica.

Bibliografía

• J.D. Faires, R. Burden. Métodos Numéricos, Thomson-Paraninfo (2004).
• G.M. Phillips y P.J. Taylor. Theory and Applications of Numerical Analisis, Academic Press, 1994.
• J. M. Ortega y A.S Grimshaw. An Introduction to C++ and Numerical Methods. Oxford University Press. 1999.
• Daoqi Yang. C++ and Object Oriented Numeric Computing. Springer Verlag 2001.

Evaluación

La evaluación de los créditos de Teoría será: 2 puntos de asistencia a clase y 8 puntos a partir de un examen al final del cuatrimestre. El examen será de tipo práctico, proponiéndose problemas sencillos que pueden resolverse con papel, lápiz y calculadora y supongan aplicaciones directas de los algoritmos estudiados en clase. La resolucion de ejercicios en clase podra suponer hasta 2 puntos que se suman a la nota de teoría (asistencia a clase + examen). La nota de teoría constituye el 50 % de la calificación final. El otro 50 % resultará de la valoración de las Prácticas (memorias/ejercicios + examen). Es necesario aprobar ambas partes.