TEMA 2. INTRODUCCION A LA TEORIA DE LA MEDICION.

1. APROXIMACION HISTORICA Y CONCEPTUAL.

2. ENFOQUE MODERNO DE LA TEORIA DE LA MEDICION: LA TEORIA REPRESENTACIONAL.

2.1. PROBLEMA DE LA REPRESENTACION.

2.2. PROBLEMA DE LA UNICIDAD.

2.3. PROBLEMA DE LA SIGNIFICACION.

	En palabras de Aftanas (1988, p. 325), "las teorías de la medición intentan explicar cómo y bajo qué circunstancias es posible usar números para representar la información acerca de las magnitudes de atributos".

	A lo largo del presente siglo, y desde el marco de la Psicología, se han desarrollado diversas teorías y modelos de medición, que incluso han incidido sobre otras áreas científicas (Santisteban, 1990; Jáñez, 1989). Según Jáñez (1989, p. 400), "la Psicología ha realizado con la teoría de la medición la máxima contribución posible al progreso del conocimiento". Veamos a continuación cuáles han sido las propuestas teóricas más relevantes desarrolladas durante el presente siglo a través de una aproximación histórica y conceptual.

1. APROXIMACION HISTORICA Y CONCEPTUAL.

	Allen y Yen (1979), citando a DuBois (1970), señalan como uno de los antecedentes más remotos de la medición de la conducta, la selección de funcionarios mediante diversas pruebas en China hace unos 3.000 años. Jáñez (1989) señala que ya en la Atenas de Aristóteles existía cierta preocupación por la medición de atributos subjetivos. Todos estos antecedentes remotos de medición de la conducta sugieren que éste fue un tema que preocupó pronto al hombre. Sin embargo, no es hasta principios de este siglo cuando se desarrollan las teorías que intentan establecer las condiciones y fundamentos de la medición. El origen de los esfuerzos sistemáticos por medir variables psicológicas puede situarse en cuatro áreas diferentes (Jáñez, 1989; Santisteban, 1990): 1. la psicofísica y la medición de la sensación; 2. los estudios sobre el tiempo de reacción y sus aplicaciones al cronometraje de los actos mentales; 3. el análisis cuantitativo del aprendizaje iniciado por Ebbinghaus; y 4. el estudio de las diferencias individuales y su medida iniciado por Galton.

	Jáñez (1989) ha distinguido tres épocas en el desarrollo de las teorías de la medición: época del idealismo platónico, época de la teoría de las escalas de medición, y época de la teoría representacional. Por su parte, López Feal (1986) incluye las aportaciones que aparecen en las dos primeras épocas señaladas por Jáñez (1989) dentro de lo que denomina teoría clásica de la medida.

	La época del idealismo platónico se caracteriza porque se supone que en los objetos existe un valor verdadero de la propiedad que está siendo medida; ese valor verdadero se denomina magnitud (López Feal, 1986; Jáñez, 1989). Según Jáñez (1989), en las ciencias físicas esta perspectiva filosófica cristalizó en la teoría axiomática del matemático O. Hölder (1901), "en la que se expresan las condiciones que debe satisfacer una magnitud para ser susceptible de medición" (Jáñez, 1989, p. 400). Sin embargo, hay que hacer notar que, según Narens y Luce (1986), las aportaciones de Hölder constituyen un desarrollo de las ideas de H. von Helmholtz (1887), un físico-médico de finales del siglo XIX. Narens y Luce (1986) afirman que las investigaciones de Helmholtz constituyen el punto de arranque de la moderna teoría de la medición. Sus estudios acerca de la naturaleza formal de ciertos atributos físicos básicos, como la masa y la longitud, le llevaron a la conclusión de que estos atributos tenían la misma estructura matemática que los números reales positivos con adición (+) y orden natural (≥)  (Re+, ≥, +) (Narens y Luce, 1986, p. 166). Efectivamente, entre un conjunto de objetos podemos observar una relación natural empírica de orden, ≥, "donde el orden refleja cualitativamente el grado o cantidad del atributo a medir que es mostrado por los objetos" (Narens y Luce, 1986, p. 166). Si x e y son dos varillas metálicas, fácilmente podemos comparar su longitud y determinar si son iguales (x ~ y) o si x es más larga que y (x > y). Asimismo, "también podemos encontrar una operación natural empírica, ◦, que combine cualquier par de objetos que muestren el atributo en un objeto compuesto que también muestre el atributo" (Narens y Luce, 1986, p. 166). Colocando la varilla x a continuación de la varilla y, realizamos la operación de combinación, obteniendo como resultado x ◦ y. Formalmente, esta operación de combinación se denomina concatenación. El conjunto de todos los objetos bajo consideración  (X), la relación de orden observada entre ellos (≥), y todas las combinaciones que puede formarse mediante ◦, constituyen una estructura cualitativa [χ = (X, ≥, ◦)], mientras que una estructura como (Re+, ≥, +) que puede utilizarse para representar a χ recibe el nombre de estructura numérica o de representación (Narens y Luce, 1986).

	Helmholtz (1887) estableció una serie de supuestos sobre χ que cuando se satisfacen "la medición puede llevarse a cabo en el siguiente sentido: Existe una aplicación matemática, a, llamada un homomorfismo, de X en los números reales positivos tal que para cada x e y en X, 
a.	x ≥ y si y sólo si a(x) ≥ a(y), y 
•.	a(x◦ y) = a(x) + a(y). ... . 
Esos homomorfismos de χ  en (Re+, ≥, +) son denominados representaciones aditivas" (Narens y Luce, 1986, p. 167). 

	Partiendo del trabajo de Helmholtz, Hölder (1901) estableció que para que una estructura cualitativa χ = (X, ≥, ◦) tuviera una representación en (Re+, ≥, +) aquélla tenía que satisfacer los siguientes axiomas (Narens y Luce, 1986):

1. Orden débil. 
La relación ≥ es transitiva [ x, y, z  X,  si x ≥ y e y ≥ z, entonces x ≥ z] y conectada [ x, y  X se cumple que x ≥ y o y ≥ x].

2. Monotonicidad.
 [ x, y, w, z  X si x ≥ y  y z ≥ w, entonces x ◦ z ≥ y ◦ w. Esto es, la concatenación de objetos preserva el orden.

3. Resolubilidad limitada.
Para cada x, y  X  si x >  y, existe algún z tal que x >  y ◦ z.

4. Positividad.
 x, y  X se cumple que x ◦ y > x y que x ◦ y > y.

5. Asociatividad.

  x, y, z  X se cumple que x ◦ (y ◦ z) ~ (x ◦ y) ◦ z.

	Una estructura que satisfaga estos axiomas es denominada extensiva (Narens y Luce, 1986). Si imaginamos que x, y, w, z son varillas metálicas y que la propiedad objeto de medición es su longitud, podremos verificar que todos los axiomas se cumples.

	Según Jáñez (1989), el desencadenante de la segunda época (época de las escalas de la medición) fue el estudio realizado por un comité formado en 1938 por The British Association for the Advancement of Science  (BAAS)  para comparar las medidas psicológicas con las físicas (Keats, 1988); concretamente, se le encargó que estudiara "la posibilidad de medir las sensaciones, y para hacer más viable el diálogo, se restringió el estudio a la sensación auditiva" (Jáñez, 1989, p. 401). Campbell, un filósofo de la física, formaba parte del citado comité, y según Narens y Luce (1986, p. 168) fue "una fuerza importante en su creación". Campbell (1928) había distinguido entre medición fundamental y medición derivada. La primera "depende de las leyes que relacionan varias cantidades del constructo. ... es un medio por el que los números pueden ser asignados, de acuerdo con leyes naturales, para representar la propiedad y sin embargo no presupone la medición de otras variables. ... Las propiedades extensivas de la física, por ejemplo, la longitud, la resistencia, y el volumen, son ejemplos de propiedaes medibles por un procedimiento fundamental" (Torgerson, 1958, p. 22). La medición derivada es "aquélla que se define a partir de mediciones fundamentales", como ocurre, por ejemplo, en la medición de la densidad. Campbell sostenía que la medición fundamental se basaba en operaciones monotónicas y asociativas de combinación (Narens y Luce, 1986). La conclusión final del comité fue que "la medición fundamental en Psicología era imposible porque tales operaciones empíricas no se dan" (Narens y Luce, 1986, p. 168).

	Según Jáñez (1989, p. 401), la conclusión del comité de la BAAS "carecía de fundamento, tal como se iba a demostrar más tarde. De todos modos, iba a ser el detonante que haría estallar la concepción platónica de la medición y daría paso a nuevas ideas", las ideas de Stevens.

	A finales de los años treinta, Stevens también había discutido con una serie de filósofos y científicos cuestiones similares a las planteadas por la comisión de la BAAS (Narens y Luce, 1986). A diferencia de Campbell, para Stevens la estructura empírica y su representación no constituían el único aspecto importante de la medición. Lo realmente crucial era la unicidad  o singularidad de la representación, esto es, el grupo de transformaciones que dejan invariante la forma de las escalas (Narens y Luce, 1986; Jáñez, 1989). Entre 1946 y 1951, Stevens distinguió cuatro grupos de transformaciones, e introdujo los términos de escala nominal, ordinal, de intervalos, y de razón, para referirse a las mismas (Narens y Luce, 1986). Estas ideas, junto con su concepción de la medición, constituyen las aportaciones más relevantes e innovadoras de Stevens (Jáñez, 1989). Para Stevens, medir ya no consiste en "buscar el número que representa la cantidad de magnitud presente en un objeto" (Jáñez, 1989, p. 402). Medir es asignar números a los objetos según cierta regla (Stevens, 1951), de manera que "los números asignados en la medición, no representan propiamente cantidades, sino relaciones" (Jáñez, 1989, p. 402). Esta concepción de la medición será tomada y desarrollada más tarde por la teoría representacional.

	Por otra parte, también hay que señalar que en respuesta a las conclusiones del comité de la BAAS, varias aportaciones contemporáneas a Stevens mostraron que la medición fundamental mediante escalas de intervalo era también posible para las estructuras no extensivas (Narens y Luce, 1986). Según los citados autores, la prueba más clara al respecto la ofreció la teoría de la medición conjunta aditiva (Krantz, 1964; Holman, 1971).

	A partir de la década de los sesenta, se desarrollan una serie de teorías axiomáticas de la medición (Suppes Zinnes, 1963; Krant, Luce, Suppes y Tversky, 1971; Luce y Tukey, 1964; Roberts, 1979) que dan paso a lo que Jáñez (1989) denomina época de la teoría representacional, ya que desde esta perspectiva "los símbolos asignados a los objetos deben representar las relaciones percibidas entre los atributos de los objetos" (Leaning y Filkenstein, 1980, p. 73; citado en Jáñez, 1989, p. 404). Esta teoría distingue con claridad entre un sistema relacional empírico (X), un sistema relacional numérico (R), y una aplicación u homomorfismo de X en R. El sistema relacional empírico hace referencia al conjunto de objetos que muestran el atributo de interés, y las relaciones entre los mismos; y el sistema relacional numérico alude al conjunto de números y sus relaciones que pueden ser usados para representar las relaciones observadas entre los objetos bajo consideración (Narens y Luce, 1986; Aftanas, 1988). Medir implica traducir la información que contiene el sistema empírico al marco del sistema relacional numérico mediante una aplicación u homomorfismo (Aftanas, 1988, p. 326).

	Según Jáñez (1989), los conceptos de sistema relacional (empírico y numérico) y homomorfismo o aplicación que permite transformar un sistema en otro, constituyen los fundamentos de las teorías modernas de la medición. Estas teorías abordan tres problemas básicos: el de la representación, el de la unicidad, y el de la significación. 

	El problema de la representación consiste en determinar, "las condiciones que debe satisfacer el sistema relacional empírico para que exista un sistema relacional numérico y un homomorfismo entre ambos que permita considerar este último como representación de aquél" (Jáñez, 1989, p. 409). 

	El problema de la unicidad consiste en determinar cuáles son las transformaciones admisibles para un homomorfismo determinado sin que la escala pierda su representación (Jáñez, 1986; Santisteban, 1990). La respuesta a esta cuestión permite conocer el tipo de escala resultante.

	El problema de la significación alude a la validez formal de las inferencias que se realizan sobre un sistema relacional empírico a partir de las propiedades descubiertas en un sistema relacional numérico (Jáñez, 1986; Santisteban, 1990).

2. ENFOQUE MODERNO DE LA TEORIA DE LA MEDICION: LA TEORIA REPRESENTACIONAL.

Texto para preparar este punto: Capítulo 18 del libro:
Jáñez, L. (1989). Fundamentos de Psicología Matemática. Madrid: Pirámide.

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