Problema 5.19 (Tamaño muestral para una proporción)
Enunciado: En una reunión del sector hostelero, el secretario de dicho gremio da su opinión de que la proporción de personas que elegirán pasar la nochevieja en un local de dicho sector es la misma que la de personas que optan por autoorganizarse la fiesta. Con objeto de aclarar si es cierta la afirmación, se desea estimar la proporción de personas que elegirán la primera opción con un nivel de confianza del 95%. ¿Cuál debería ser el número de personas encuestadas si se está dispuesto a cometer un error de estimación del ±4%?
1. Planteamiento y Fórmulas
La afirmación del secretario implica que ambas opciones son igual de probables, por lo que no tenemos una estimación previa de la proporción (o estamos asumiendo que \(p = 0,5\)). Cuando no se conoce \(p\), se utiliza el caso más desfavorable, que es \(p = 0,5\), porque maximiza el producto \(p(1-p)\).
- Nivel de confianza: 95% → \(\alpha = 0,05\) → \(Z_{1-\alpha/2} = 1,96\)
- Error máximo admisible (E): 4% = 0,04
- Proporción esperada (p): 0,5
2. Fórmula del Tamaño Muestral
\(n = \frac{Z_{1-\alpha/2}^2 \cdot p \cdot (1-p)}{E^2}\)
3. Sustitución y Resultado
\(n = \frac{(1,96)^2 \cdot 0,5 \cdot 0,5}{(0,04)^2} = \frac{3,8416 \cdot 0,25}{0,0016} = \frac{0,9604}{0,0016} = 600,25\)
✅ Tamaño de la muestra necesario: \(n = 601\) personas.
(Siempre se redondea hacia arriba para garantizar que se cumple el error máximo exigido).
Problema 5.23 (Intervalo para la media y tamaño muestral para proporción)
Enunciado: El número diario de turistas que se hospedan en cierto complejo hotelero sigue una distribución Normal con desviación típica 80.
a) Obtener un intervalo del 95% de confianza para la media diaria de turistas sabiendo que, de 9 días observados, la media obtenida ha sido de 125.
b) Se desea estimar el porcentaje de turistas extranjeros con un error de estimación del ±1% y una confianza del 99%. ¿A cuántos turistas se deberá preguntar?
a) Intervalo de confianza para la media
- Media muestral: \(\bar{x} = 125\)
- Desviación típica conocida: \(\sigma = 80\)
- Tamaño: \(n = 9\)
- Nivel de confianza: 95% → \(Z_{0,975} = 1,96\)
\(I_{1-\alpha}(\mu) = \left[ \bar{x} \pm Z_{1-\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right]\)
\(\text{Error típico} = 1,96 \cdot \frac{80}{\sqrt{9}} = 1,96 \cdot \frac{80}{3} = 1,96 \cdot 26,667 = 52,267\)
\(I = [125 - 52,267 \;;\; 125 + 52,267] = [72,733 \;;\; 177,267]\)
✅ Intervalo al 95%: \([72,73 \; , \; 177,27]\) turistas.
b) Tamaño muestral para la proporción de extranjeros
No se nos da una estimación previa de la proporción, así que de nuevo usamos el escenario más desfavorable \(p = 0,5\).
- Nivel de confianza: 99% → \(Z_{0,995} = 2,576\)
- Error máximo (E): 1% = 0,01
\(n = \frac{Z_{1-\alpha/2}^2 \cdot p \cdot (1-p)}{E^2} = \frac{(2,576)^2 \cdot 0,5 \cdot 0,5}{(0,01)^2}\)
\(n = \frac{6,6358 \cdot 0,25}{0,0001} = \frac{1,65895}{0,0001} = 16589,5\)
✅ Tamaño de la muestra necesario: \(n = 16590\) turistas.