Problema 5.1 (Desconocimiento de la distribución)
Enunciado: Se conoce la desviación típica (\(\sigma = 2\) Kg.) del peso de los esturiones adultos criados en cautividad, pero no la distribución que sigue. De una m.a.s. se obtiene una media de 11 Kg.:
a) Obtener un intervalo al 75% al menos, de confianza para el peso medio, suponiendo que la muestra fue de 25 piezas.
b) Obtener un intervalo al 95% de confianza suponiendo que la muestra de estudio constaba de 400 piezas.
1. Planteamiento y Fórmulas
Como no conocemos la distribución de la población, no podemos usar la distribución Z de forma exacta. Debemos recurrir a la Desigualdad de Chebyshev.
\(P\left(|\bar{X} - \mu| < k \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right) \ge 1 - \frac{1}{k^2}\)
Para garantizar un nivel de confianza de al menos \(1 - \alpha\), igualamos \(1 - \frac{1}{k^2} = 1 - \alpha\), lo que implica que \(k = \frac{1}{\sqrt{\alpha}}\).
Sin embargo, en el apartado b) el tamaño muestral es muy grande (\(n=400\)), por lo que podemos aplicar el Teorema Central del Límite (TCL) y usar la distribución Normal estándar (Z).
a) Intervalo al 75% "al menos" con n = 25 (Chebyshev)
- Confianza (1 - α): 0,75 → α = 0,25
- Valor de k: \(k = \frac{1}{\sqrt{0,25}} = \frac{1}{0,5} = 2\)
- Media (\(\bar{x}\)): 11 Kg
- Desviación típica (\(\sigma\)): 2 Kg
- n: 25
\(\text{Error máximo} = k \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 2 \cdot \frac{2}{\sqrt{25}} = 2 \cdot \frac{2}{5} = \frac{4}{5} = 0,8 \text{ Kg}\)
\(I = [\bar{x} - 0,8 \;;\; \bar{x} + 0,8] = [11 - 0,8 \;;\; 11 + 0,8] = [10,2 \;;\; 11,8]\)
✅ Intervalo al 75% (al menos): \([10,2 \; , \; 11,8] \text{ Kg}\)
b) Intervalo al 95% con n = 400 (TCL - Distribución Z)
- Confianza (1 - α): 0,95 → α/2 = 0,025
- Valor crítico Z: \(Z_{0,975} = 1,96\)
- n: 400
\(\text{Error máximo} = Z_{1-\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 1,96 \cdot \frac{2}{\sqrt{400}} = 1,96 \cdot \frac{2}{20} = 1,96 \cdot 0,1 = 0,196 \text{ Kg}\)
\(I = [11 - 0,196 \;;\; 11 + 0,196] = [10,804 \;;\; 11,196]\)
✅ Intervalo al 95% (TCL): \([10,80 \; , \; 11,20] \text{ Kg}\)
Problema 5.3 (Intervalo para la dispersión/Varianza)
Enunciado: El director de un gran parque de atracciones supone que el número de visitantes diarios, en días laborables, se distribuye según una normal con media 5000. Estimar un intervalo para la dispersión de visitantes con un nivel de confianza del 95%, sabiendo que, observada una muestra de 12 días laborables, se ha obtenido que el número de visitantes fue: 4500, 4650, 4800, 5000, 5010, 5100, 4900, 5025, 5001, 4999, 4850, 4823.
1. Cálculo de la Media y la Varianza Muestral (\(s_n^2\))
Primero calculamos la media y la varianza muestral (dividiendo entre \(n\)) de los 12 datos:
\(\bar{x} = \frac{\sum X_i}{n} = \frac{58658}{12} \approx 4888,17\)
Para la varianza muestral, usamos la fórmula:
\(s_n^2 = \frac{\sum X_i^2}{n} - \bar{x}^2 = \frac{287.133.666}{12} - (4888,17)^2 \approx 30.125,14\)
(Nota: Si usáramos la cuasivarianza \(S^2\), sería \(s_n^2 \cdot \frac{n}{n-1} = 32.863,79\). La diferencia es el factor de corrección de Bessel).
2. Fórmula del Intervalo para la Varianza
Usamos la distribución Chi-cuadrado (\(\chi^2\)) con \(n-1 = 11\) grados de libertad. Al usar la varianza muestral, la fórmula es:
\(I_{1-\alpha}(\sigma^2) = \left[ \frac{n \cdot s_n^2}{\chi^2_{n-1, 1-\alpha/2}} \;;\; \frac{n \cdot s_n^2}{\chi^2_{n-1, \alpha/2}} \right]\)
3. Valores Críticos y Sustitución
- \(n \cdot s_n^2\) = \(12 \cdot 30.125,14 = 361.501,68\)
- Cola derecha (0,975): \(\chi^2_{11, 0.975} = 21,920\)
- Cola izquierda (0,025): \(\chi^2_{11, 0.025} = 3,816\)
\(\text{Límite Inferior} = \frac{361.501,68}{21,920} \approx 16.491,86\)
\(\text{Límite Superior} = \frac{361.501,68}{3,816} \approx 94.733,15\)
✅ Intervalo para la Varianza (\(\sigma^2\)) al 95%: \([16.491,86 \; , \; 94.733,15]\)
(Si se pide el intervalo para la desviación típica \(\sigma\), sería la raíz cuadrada: \([128,42 \; , \; 307,79]\)).