Ejercicio 5.3 (Intervalo para una Proporción)
Enunciado: Se desea analizar si los alumnos de la Facultad de Economía utilizan habitualmente el aula virtual. Para ello se ha preguntado a 120 estudiantes elegidos al azar resultando que 72 la utilizan con regularidad. Obtener un intervalo de confianza para la proporción de alumnos que utilizan habitualmente el aula virtual con un nivel de confianza del 97%.
1. Datos y Fórmulas Previas
- Tamaño muestral (n): 120
- Éxitos (x): 72 (alumnos que la usan)
- Proporción muestral (\(\hat{p}\)): \(\hat{p} = \frac{x}{n} = \frac{72}{120} = 0,6\)
- Nivel de confianza (1-α): 0,97 → α = 0,03 → α/2 = 0,015
- Valor crítico (Z): Buscamos \(Z_{1 - 0,015} = Z_{0,985}\) en la tabla Normal. \(Z = 2,17\)
- Comprobación de condiciones: \(n \cdot \hat{p} = 120 \cdot 0,6 = 72 > 5\) y \(n \cdot (1-\hat{p}) = 120 \cdot 0,4 = 48 > 5\). Podemos usar la aproximación Normal.
2. Fórmula del Intervalo para la Proporción
\(I_{1-\alpha}(p) = \left[ \hat{p} - Z_{1-\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} \;;\; \hat{p} + Z_{1-\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} \right]\)
3. Sustitución y Resultado
\(\text{Error de estimación (E)} = 2,17 \cdot \sqrt{\frac{0,6 \cdot 0,4}{120}} = 2,17 \cdot \sqrt{\frac{0,24}{120}} = 2,17 \cdot \sqrt{0,002} = 2,17 \cdot 0,04472 = 0,0970\)
\(I = [0,6 - 0,0970 \;;\; 0,6 + 0,0970] = [0,503 \;;\; 0,697]\)
✅ Intervalo al 97% de confianza: \([0,503 \; , \; 0,697]\)
Es decir, entre el 50,3% y el 69,7% de los alumnos usan el aula virtual.
Ejercicio 5.5 (Diferencia de Proporciones)
Enunciado: Elegidos al azar 130 estudiantes de primer curso y a 110 alumnos de quinto curso se les pregunta sobre la conveniencia de abrir la biblioteca 24 horas. Contestaron afirmativamente 78 alumnos de primer curso y 75 de quinto curso. Estimar la diferencia entre las proporciones a un nivel de confianza del 95%.
1. Datos y Fórmulas Previas
- Primer curso (1): \(n_1 = 130\), \(x_1 = 78 \Rightarrow \hat{p}_1 = \frac{78}{130} = 0,6\)
- Quinto curso (2): \(n_2 = 110\), \(x_2 = 75 \Rightarrow \hat{p}_2 = \frac{75}{110} \approx 0,6818\)
- Diferencia muestral: \(\hat{p}_1 - \hat{p}_2 = 0,6 - 0,6818 = -0,0818\)
- Nivel de confianza: 95% → α = 0,05 → α/2 = 0,025
- Valor crítico (Z): \(Z_{0,975} = 1,96\)
2. Fórmula del Intervalo para la Diferencia de Proporciones
\(I_{1-\alpha}(p_1 - p_2) = \left[ (\hat{p}_1 - \hat{p}_2) \pm Z_{1-\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}_1(1-\hat{p}_1)}{n_1} + \frac{\hat{p}_2(1-\hat{p}_2)}{n_2}} \right]\)
3. Sustitución y Resultado
\(\text{Error típico} = \sqrt{\frac{0,6 \cdot 0,4}{130} + \frac{0,6818 \cdot 0,3182}{110}} = \sqrt{0,001846 + 0,001972} = \sqrt{0,003818} \approx 0,0618\)
\(\text{Margen de error (E)} = 1,96 \cdot 0,0618 = 0,1211\)
\(I = [-0,0818 - 0,1211 \;;\; -0,0818 + 0,1211] = [-0,2029 \;;\; 0,0393]\)
✅ Intervalo al 95% de confianza: \([-0,203 \; , \; 0,039]\)
Como el intervalo incluye el 0, no hay evidencia suficiente para afirmar que exista una diferencia significativa entre las opiniones de ambos cursos.