Cuestión 5.6
Enunciado: Sea I₁ el intervalo de confianza para la media de una población Normal con varianza desconocida, obtenido para un nivel de confianza 1 − α = 0,98 y a partir de una muestra de tamaño n₁. Suponiendo una muestra de tamaño n₂ < n₁ y todo lo demás igual, se obtiene un nuevo intervalo I₂. La relación existente entre los dos intervalos es:
- I₁ e I₂ tienen la misma amplitud.
- I₁ tiene mayor amplitud que I₂.
- I₁ tiene menor amplitud que I₂.
Razonamiento
El intervalo de confianza para la media con varianza desconocida es:
IC1−α(μ) = x̄ ± t1−α/2, n−1 · s√(n − 1)
La cuasidesviación típica muestral es s = √[ Σ(xᵢ − x̄)² / (n − 1) ], de ahí el √(n − 1) en el denominador del error estándar.
La amplitud (longitud total) del intervalo es:
A = 2 · t1−α/2, n−1 · s√(n − 1)
La amplitud depende de n de dos formas:
- Por el factor
1/√(n − 1): al aumentar n, disminuye la amplitud.
- Por los grados de libertad
n − 1: al aumentar n, el cuantil t disminuye (se aproxima a z).
Ambos efectos van en la misma dirección: a mayor tamaño muestral, menor amplitud.
Como n₂ < n₁, entonces I₂ tiene mayor amplitud que I₁. Equivalentemente:
Amplitud(I₁) < Amplitud(I₂)
es decir, I₁ tiene menor amplitud que I₂.
Respuesta correcta: c) I₁ tiene menor amplitud que I₂.
Idea clave: más información (mayor n) → estimación más precisa → intervalo más estrecho.
Cuestión 5.7
Enunciado: Sea I₁ el intervalo de confianza para la media de una población Normal con varianza desconocida, obtenido para un nivel de confianza 1 − α = 0,98 y a partir de una muestra de tamaño n₁. Manteniendo todo constante pero considerando un nivel de confianza menor, se obtiene un nuevo intervalo I₃ para la media. Entonces:
- I₁ e I₃ tienen la misma amplitud.
- I₁ tiene mayor amplitud que I₃.
- I₁ tiene menor amplitud que I₃.
Razonamiento
La amplitud del intervalo es:
A = 2 · t1−α/2, n−1 · s√(n − 1)
El nivel de confianza 1 − α entra a través del cuantil t1−α/2, n−1:
- Un nivel de confianza mayor implica un valor
1 − α/2 mayor, luego un cuantil t mayor → intervalo más ancho.
- Un nivel de confianza menor implica un cuantil
t menor → intervalo más estrecho.
Como I₃ se construye con un nivel de confianza menor que I₁ (que tiene 0,98), el cuantil t de I₃ es menor. Por tanto:
Amplitud(I₃) < Amplitud(I₁)
es decir, I₁ tiene mayor amplitud que I₃.
Respuesta correcta: b) I₁ tiene mayor amplitud que I₃.
Idea clave: a mayor nivel de confianza, mayor exigencia de "seguridad" → intervalo más ancho. Al reducir el nivel de confianza, el intervalo se estrecha.
Cuestión 5.8
Enunciado: ¿Cómo influyen los siguientes factores en la determinación de la amplitud de los intervalos de confianza (suponiendo constantes los datos muestrales)?
- Factor nivel de confianza: suponiendo constante el tamaño de la muestra, a mayor nivel de confianza menor será la amplitud del intervalo de confianza.
- Factor nivel de confianza: suponiendo constante el tamaño de la muestra, a mayor nivel de confianza mayor será la amplitud del intervalo de confianza.
- Factor tamaño muestral: suponiendo constante el nivel de confianza, a mayor tamaño muestral menor será la amplitud del intervalo de confianza.
- Factor tamaño muestral: suponiendo constante el nivel de confianza, a mayor tamaño muestral mayor será la amplitud del intervalo de confianza.
- Factores nivel de confianza y tamaño muestral: sus influencias en la determinación de la amplitud de los intervalos dependen del parámetro de la población del que se desea construir el intervalo de confianza.
Razonamiento
Analizamos cada afirmación:
| Opción | Afirmación | ¿Correcta? |
|---|
| a |
A mayor nivel de confianza, menor amplitud. |
✗ Falsa |
| b |
A mayor nivel de confianza, mayor amplitud. |
✓ Verdadera |
| c |
A mayor tamaño muestral, menor amplitud. |
✓ Verdadera |
| d |
A mayor tamaño muestral, mayor amplitud. |
✗ Falsa |
| e |
La influencia depende del parámetro. |
✗ Falsa |
La amplitud de un IC (para la media, proporción, varianza, etc.) siempre tiene la forma:
A = 2 · (cuantil)1−α/2 · (error estándar del estimador)
donde:
- El cuantil aumenta con el nivel de confianza
1 − α.
- El error estándar disminuye al aumentar
n (típicamente como 1/√n o 1/√(n − 1)).
Estas dos reglas son generales para todos los parámetros habituales (media, proporción, varianza, diferencia de medias, razón de varianzas…). Por eso la opción (e) es falsa: la dirección de la influencia no depende del parámetro.
Respuestas correctas: b) y c).
Resumen mnemotécnico:
- ↑ Nivel de confianza → ↑ amplitud (intervalo más ancho, más "seguro").
- ↑ Tamaño muestral → ↓ amplitud (intervalo más estrecho, más preciso).
Ambas reglas valen para cualquier parámetro.