Contrastes de Hipótesis Clase 10 del
11 JuanMLejarza
Ejercicio 1
En una muestra de 680 tiendas de ropa se observó un ratio de actividad que resultó con media 104 y desviación típica 28,79. ¿Podemos afirmar que el índice o ratio de actividad es similar al estandarizado para toda la población de comercios que se situó en 100, si trabajamos con nivel de confianza del 99%?
Datos:
Tamaño muestral: n = 680 | Media muestral: x̄ = 104 |
Desviación típica: s = 28,79
Media poblacional estándar: μ₀ = 100 | Nivel de confianza: 99% ⇒ α = 0,01
Hipótesis (contraste bilateral):
H₀: μ = 100 H₁: μ ≠ 100
Estadístico de contraste (muestra grande, aproximación normal):
Valores críticos para α = 0,01 bilateral: Z0,005 = ±2,576
Región de rechazo (α/2) Región de aceptación Estadístico observado
✅ Decisión: |Z| = 3,62 > 2,576 → Se rechaza H₀.
Con un 99% de confianza, el ratio de actividad NO es similar al estándar de 100.
Ejercicio 2
Un fabricante de perfume asegura que los frascos que produce contienen por término medio 100 ml, distribuyéndose el contenido de dichos frascos según una distribución normal. Para corroborar la veracidad de lo expuesto realizamos un muestreo aleatorio a 17 frascos resultando de media 99 ml con desviación típica 2. ¿Podemos confiar en lo que dice el fabricante si nos lo planteamos con nivel de significación del 1%?
Datos: n = 17 | x̄ = 99 ml | s = 2 ml μ₀ = 100 ml | α = 0,01 | Población normal → t de Student con n−1 = 16 g.l.
Valores críticos para α = 0,01 bilateral con 16 g.l.: t0,005; 16 = ±2,921
Región de rechazo (α/2) Región de aceptación Estadístico observado
✅ Decisión: |t| = 2,00 < 2,921 → No se rechaza H₀.
Con un 1% de significación, no hay evidencia suficiente para rechazar al fabricante. Podemos confiar en que el contenido medio es de 100 ml.
Ejercicio 3
Un fabricante de perfume asegura que los frascos que produce contienen por término medio 100 ml, distribuyéndose el contenido de dichos frascos según una distribución normal. Para corroborar la veracidad de lo expuesto realizamos un muestreo aleatorio a 17 frascos resultando de media 99 ml con desviación típica 2. ¿Podemos confiar en lo que dice el fabricante, y que no nos engaña, si nos lo planteamos con nivel de significación del 1%?
Datos: los mismos del ejercicio 2. n = 17, x̄ = 99 ml, s = 2 ml, μ₀ = 100 ml, α = 0,01, 16 g.l.
Valor crítico para α = 0,01 unilateral con 16 g.l.: −t0,01; 16 = −2,583
Región de rechazo (α) Región de aceptación Estadístico observado
✅ Decisión: t = −2,00 > −2,583 → No se rechaza H₀.
Con un 1% de significación, no podemos afirmar que el fabricante engañe.
Resumen comparativo
Ejercicio
Tipo de contraste
Estadístico
Valor crítico
Decisión
Conclusión
1
Bilateral (Z, α=0,01)
Z = 3,62
±2,576
Rechazar H₀
El ratio NO es similar a 100
2
Bilateral (t, α=0,01)
t = −2,00
±2,921
No rechazar H₀
Sí podemos confiar en el fabricante
3
Unilateral (t, α=0,01)
t = −2,00
−2,583
No rechazar H₀
No hay evidencia de que engañe
Nota: La diferencia entre los ejercicios 2 y 3 está en el planteamiento de las hipótesis.
El bilateral reparte α/2 en cada cola (crítico ±2,921); el unilateral concentra todo α en la cola izquierda (crítico −2,583).
En ambos, el estadístico observado (−2,00) cae dentro de la zona de aceptación.