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El objetivo de esta pagina es registrar la actividad del curso de Master Fundamentos de Matematica Avanzada, en lo relativo al bloque dedicado a Geometria y Grupos 2017-2018.
Las estructuras geometricas (como metricas o estructuras complejas) son objetos importantes en geometria diferencial, pero con frecuencia es dificil encontrar ejemplos concretos que satisfagan las ecuaciones particuares que nos interesan. Trabajar en espacios con simetrias adicionales simplifica dramaticamente estos problemas y si en particular el espacio subyacente es un grupo de Lie, muchas de las cuestiones geometricas se reducen a simple algebra (multi-)lineal.
El objetivo de esta parte del curso es introducir la geometria de los grupos de Lie desde el punto de vista del algebra lineal. En ultima instancia, como veremos en la ultima parte del curso, estos metodos pueden utilizarse para proporcionar un cierto numero de construcciones concretas de metricas de Einstein, y para dar una clasificacion de otras estructuras interesantes en dimension baja.
El curso seguira fielmente las notas de Swann et al [4].
Las estructuras geometricas (como metricas o estructuras complejas) son objetos importantes en geometria diferencial, pero con frecuencia es dificil encontrar ejemplos concretos que satisfagan las ecuaciones particuares que nos interesan. Trabajar en espacios con simetrias adicionales simplifica dramaticamente estos problemas y si en particular el espacio subyacente es un grupo de Lie, muchas de las cuestiones geometricas se reducen a simple algebra (multi-)lineal.
El objetivo de esta parte del curso es introducir la geometria de los grupos de Lie desde el punto de vista del algebra lineal. En ultima instancia, como veremos en la ultima parte del curso, estos metodos pueden utilizarse para proporcionar un cierto numero de construcciones concretas de metricas de Einstein, y para dar una clasificacion de otras estructuras interesantes en dimension baja.
El curso seguira fielmente las notas de Swann et al [4].
| 1) 21.09 |
I. Grupos matriciales. Definiciones y ejemplos. Homomorfismos de grupos matriciales.([4], pp.1-6) |
| 2) 28.09 | Espacio tangente. Aplicacion diferencial. ([4], pp.7-11) |
| 3) 05.10 |
II. Algebras de Lie. Algebras de Lie generales. Punto de vista dual. Algebra exterior. ([4], pp.15-23) |
| 4) 19.10 |
Clasificacion de las algebras de Lie en dimension 3 ([4] pp. 24-25) III. Coordenadas locales en grupos matriciales. La aplicacion exponencial. ([4], p.29) |
| 5) 26.10 | La aplicacion exponencial. Subvariedades del espacio Euclideo. ([4], pp. 29-33) |
| 6) 02.11 |
Grupos matriciales como subvariedades.
([4] pp. 34-36) IV. Conexion y curvatura Conexiones en algebras de Lie.([4] , pp. 39-40) |
| 7) 09.11 | Algebras de Lie metricas. ([4] pp. 41-43) |
| 8) 16.11 | Punto de vista dual ([4] pp. 44-47) |
| 9) 23.11 | Simetrias de la curvatura. Curvatura de superficies. ([4] pp. 48-55) |
| 10) 30.11 |
V. Aproximacion a la clasificacion de las algebras de Lie Homomorfismos e ideales. Ideales diferenciales.([4] pp. 59-64) |
| 11) 07.12 | |
| 12) 21.12 |