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El objetivo de esta pagina es registrar la actividad del curso cuatrimestral Geometria Diferencial(34180) 2017-2018, cuyo contenido es la geometria de las variedades Riemannianas.
Como bibliografia basica, seguiremos las Notas de Geometria Diferencial del Prof. Vicente Miquel [M], disponibles en el aula virtual. El libro de Petersen, Riemannian geometry [P] es una referencia moderna que tambien puede utilizarse para preparar la asignatura.
Como referencias complementarias, Warner [W] es la referencia canonica sobre variedades diferenciables (es decir, sin estructura Riemanniana). Una alternativa al Warner, pero con explicaciones mas detalladas (y por tanto mas largo), es el libro de Lee [L]. Para una bateria de ejemplos sobre variedades diferenciables, consultese Gadea et al. [G]
Eisenhart [E] es un tratamiento clasico de la geometria Riemanniana, pero basado en el calculo tensorial. El curso no hara enfasis en las descripciones del calculo tensorial, si bien familiaridad con el es un requisito para quien quiera aplicar las tecnicas de la geometria Riemanniana a la teoria de la Relatividad General de A. Einstein.
Como bibliografia basica, seguiremos las Notas de Geometria Diferencial del Prof. Vicente Miquel [M], disponibles en el aula virtual. El libro de Petersen, Riemannian geometry [P] es una referencia moderna que tambien puede utilizarse para preparar la asignatura.
Como referencias complementarias, Warner [W] es la referencia canonica sobre variedades diferenciables (es decir, sin estructura Riemanniana). Una alternativa al Warner, pero con explicaciones mas detalladas (y por tanto mas largo), es el libro de Lee [L]. Para una bateria de ejemplos sobre variedades diferenciables, consultese Gadea et al. [G]
Eisenhart [E] es un tratamiento clasico de la geometria Riemanniana, pero basado en el calculo tensorial. El curso no hara enfasis en las descripciones del calculo tensorial, si bien familiaridad con el es un requisito para quien quiera aplicar las tecnicas de la geometria Riemanniana a la teoria de la Relatividad General de A. Einstein.
| 13/09 |
Leccion 1. ([M] pp.1-20, [W] pp.5-8) Introduccion. Concepto de variedad diferenciable. Definiciones de variedad diferenciable (Familia completa de sistemas de coordenadas compatibles). Condiciones topologicas extra (Hausdorff, 2AN). Atlas/Estructura diferenciable. Atlas maximal. Ejemplos: (1) proyeccion estereografica, (2) espacio pryectivo. Aplicaciones diferenciables (calculo en coordenadas locales). |
| 15/09 |
Leccion 2. ([M] pp. 21-35, [W] pp.12-18) Introduccion al espacio tangente. Vector tangente definido como derivacion de germenes de funciones locales en un punto. Propiedades de las derivaciones.Definicion de espacio tangente. Base canonica del espacio tangente asociada a un sistema de coordenadas. Calculo en coordenadas locales y formulas utiles. Comparativa con la definicion de vector tangente dada en GDC. Diferencial de una aplicacion (aka aplicacion tangente). Expresion en coordeanadas locales. Relacion con la matriz Jacobiana. Propiedades basicas. Caso \phi:M-->R^n. Diferencial de una aplicacion en R^n. Espacio cotangente (dual del tangente). Diferenciales de las funciones coordenadas como elementos duales de la base canonica de TM en el sistema coordenado dado. Otras propiedades. |
| 20/09 | Leccion 3. Teorema de la funcion implicita. Teorema de la funcion inversa. |
| 22/09 | Leccion 4. |
| 27/09 |
Leccion 5 Campos vectoriales. Corchete de Lie.Campos f-relacionados. |
| 29/09 |
Leccion 6 Curvas integrales. |
| 4/10 | Leccion 7. |
| 6/10* | Leccion 8. Ejemplos: Metrica sobre la esfera (proyeccion estereografica y proyeccion geografica). Metrica sobre el espacio hiperbolico (proyeccion estereografica y geografica). Metrica en el grupo de Lie SU(2). |
| 11/10 | Leccion 9. Existencia de metricas Riemannianas. Funcion meseta. Refinamiento. Refinamiento localmente finito. paracompacidad: las variedades diferenciables (Hausdorff y 2AN) son paracompactas. Existencia de particiones de la unidad. Construccion de metricas Riemannianas mediante particiones de la unidad. Derivada covariante. Simbolos de Christoffel. Conexion de Levi-Civita (mediante formula de Koszul). |
| 18/10 | Leccion 10. ([M] pp. 81-83) Transporte paralelo: Campo vectorial a lo largo de una curva. Derivada covariante a lo largo de una curva. Campo vectorial paralelo a lo largo de una curva. Existencia y unicidad del transporte paralelo. El transporte paralelo es una isometria. Derivada covariante definida a partir del transporte paralelo. Conexion de Levi-Civita de una subvariedad (pseudo)Riemanniana: Conexion inducida. |
| 20/10* | Leccion 11Ejemplos: Metrica del grupo de Heisenberg. Metrica del espacio de De Sitter. Metrica de Minkowski. Introduccion a espacios recubridores. Metrica del grupo SL(2,R). |
| 25/10 | Leccion 12. ([M] pp. 84-89) Segunda forma fundamental. Vector curvatura media. Subvariedad totalmente geodesica. Formalismo de Cartan: Formas de conexion asociadas a una referencia local. (inciso: Repaso de formas diferenciales, algebra exterior y diferencial exterior.) -- Primera ecuacion de estructura de Cartan (torsionfreeness). |
| 27/10* | Leccion 13 Ejemplos: Metrica de Goedel. Metrica de Robertson-Walker. Derivada covariante en el espacio hiperbolico (como inducida por el ambiente, y por medio de la formula de Koszul entendida como metrica conforme a la Euclidea). Espacio proyectivo complejo. |
| 03/11* | Leccion 14 Geodesicas y aplicacion Exp. Geodesicas. Existencia y unicidad de curvas geodesicas. Aplicacion exponencial. Existencia de referencias ortonormales. |
| 08/11 | Leccion 15 |
| 10/11* | Leccion 16 |
| 15/11 | Leccion 17 El tensor curvatura y la curvatura seccional. Tensor de curvatura (3,1) y tensor de curvatura de Riemann (4,0). Simetrias, primera ecuacion de Bianchi. Expresion en coordenadas locales. Curvatura seccional. El tensor de Riemann y la curvatura seccional se determinan mutuamente. |
| 17/11* | Leccion 18 |
| 22/11 | Leccion 19 Formalismo de Cartan para la curvatura. Segunda ecuacion de estructura de Cartan. Ecuacion de Gauss de una subvariedad. Curvatura de Ricci y curvatura escalar. Curvatura seccional constante. Derivada covariante de los tensores curvatura. |
| 24/11* | Leccion 20 |
| 29/11 | Leccion 21 |
| 01/12* | Leccion 22 Derivadas covariantes del tensor de Ricci y de la curvatura escalar. Segunda identidad de Bianchi. Espacios de Einstein. Son "Fuertemente" Einstein si dim M>2. Lemma de Schur: En dim>2, curvatura seccional puntualmente constante implica c.s. constante. El tensor de Ricci determina la curvatura de Riemann en dim M=3. Extra Ecuaciones de campo de Einstein en el vacio. Tensor (conforme) de Weyl. Se anula en dim M<4. Tensor de Weyl de un espacio de Einstein. Relacion entre el tensor de Weyl y la (constancia de la) curvatura seccional. |
| 13/12 | Leccion 23 |
| 15/12* | Leccion 24 |
| 20/12 | Leccion 25 |
| 21/12 | Leccion 26 |
| 22/12* | Leccion 27 |